Expectativa no lineal

En teoría de la probabilidad , una expectativa no lineal es una generalización no lineal de la expectativa . Las expectativas no lineales son útiles en la teoría de la utilidad, ya que se ajustan más al comportamiento humano que las expectativas tradicionales. ^[1] El uso común de las expectativas no lineales es para evaluar los riesgos en condiciones de incertidumbre. En general, las expectativas no lineales se clasifican en expectativas sublineales y superlineales en función de las propiedades aditivas de los conjuntos dados. Gran parte del estudio de la expectativa no lineal se atribuye al trabajo de los matemáticos de las últimas dos décadas.

Definición

Una función (donde es una red vectorial en un conjunto dado ) es una expectativa no lineal si satisface: ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {E} :{\mathcal {H}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

1. Monotonía: si tal que entonces ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X\geq Y}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X]\geq \mathbb {E} [Y]}$
2. Preservación de constantes: si entonces ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} [c]=c}$

La consideración completa del conjunto dado, el espacio lineal para las funciones dado ese conjunto y el valor esperado no lineal se denomina espacio esperado no lineal.

A menudo también son deseables otras propiedades, por ejemplo , convexidad , subaditividad , homogeneidad positiva y traslatividad de constantes. ^[2] Para que una expectativa no lineal se clasifique además como expectativa sublineal, también se deben cumplir las dos condiciones siguientes:

1. Subaditividad: para entonces ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]\geq \mathbb {E} [X+Y]}$
2. Homogeneidad positiva: para entonces ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [\lambda X]=\lambda \mathbb {E} [X]}$

Para que una expectativa no lineal se clasifique como expectativa superlineal, la condición de subaditividad anterior se reemplaza por la condición: ^[5]

1. Superaditividad : para entonces ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]\leq \mathbb {E} [X+Y]}$

Ejemplos

• Expectativa de Choquet : una integral subaditiva o superaditiva que se utiliza en el procesamiento de imágenes y en la teoría de decisiones conductuales.
• Expectativa g a través de BSDE no lineales: se utiliza con frecuencia para modelar la incertidumbre de la deriva financiera. ^[6]
• Si es una medida de riesgo entonces define una expectativa no lineal. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X]:=\rho (-X)}$
• Cadenas de Markov : para la predicción de eventos sometidos a incertidumbres del modelo. ^[7]

Referencias

1. Peng, Shige (2017). "Teoría, métodos y significado de la teoría de la expectativa no lineal". Scientia Sinica Mathematica . 47 (10): 1223–1254. doi : 10.1360/N012016-00209 . S2CID  125094517.
2. Peng, Shige (2006). "G–Expectativa, movimiento G–browniano y cálculo estocástico relacionado de tipo Itô". Abel Symposia . 2 . Springer-Verlag. arXiv : math/0601035 . Bibcode :2006math......1035P.
3. Peng, Shige (2004). "Expectativas no lineales, evaluaciones no lineales y medidas de riesgo". Métodos estocásticos en finanzas (PDF) . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 1856. págs. 165–138. doi :10.1007/978-3-540-44644-6_4. ISBN 978-3-540-22953-7. Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 9 de agosto de 2012 .
4. Peng, Shige (2019). Expectativas no lineales y cálculo estocástico bajo incertidumbre. Berlín, Heidelberg: Springer. doi :10.1007/978-3-662-59903-7. ISBN 978-3-662-59902-0.
5. Molchanov, Ilya; Mühlemann, Anja (1 de enero de 2021). "Expectativas no lineales de conjuntos aleatorios". Finanzas y estocástica . 25 (1): 5–41. arXiv : 1903.04901 . doi :10.1007/s00780-020-00442-3. ISSN  1432-1122. S2CID  254080636.
6. Chen, Zengjing; Epstein, Larry (2002). "Ambigüedad, riesgo y rentabilidad de los activos en tiempo continuo". Econometrica . 70 (4): 1403–1443. doi :10.1111/1468-0262.00337. ISSN  0012-9682. JSTOR  3082003.
7. Nendel, Max (2021). "Cadenas de Markov bajo expectativa no lineal". Finanzas matemáticas . 31 (1): 474–507. arXiv : 1803.03695 . doi : 10.1111/mafi.12289 . ISSN  1467-9965. S2CID  52064327.