Nivel cuasi-Fermi

Un nivel cuasi-Fermi es un término utilizado en mecánica cuántica y especialmente en física del estado sólido para el nivel de Fermi ( potencial químico de los electrones) que describe la población de electrones por separado en la banda de conducción y la banda de valencia , cuando sus poblaciones se desplazan del equilibrio . Este desplazamiento podría ser causado por la aplicación de un voltaje externo, o por la exposición a la luz de energía , que altera las poblaciones de electrones en la banda de conducción y la banda de valencia. Dado que la tasa de recombinación (la tasa de equilibrio entre bandas) tiende a ser mucho más lenta que la tasa de relajación de energía dentro de cada banda, la banda de conducción y la banda de valencia pueden tener cada una una población individual que está internamente en equilibrio, aunque las bandas no estén en equilibrio con respecto al intercambio de electrones. El desplazamiento del equilibrio es tal que las poblaciones de portadores ya no pueden describirse mediante un solo nivel de Fermi, sin embargo es posible describir utilizando el concepto de niveles cuasi-Fermi separados para cada banda. ${\displaystyle E>E_{g}}$

Definición

Cuando un semiconductor está en equilibrio térmico , la función de distribución de los electrones en el nivel de energía de E se presenta mediante una función de distribución de Fermi-Dirac . En este caso, el nivel de Fermi se define como el nivel en el que la probabilidad de ocupación del electrón en esa energía es 1 ⁄ 2 . En equilibrio térmico, no es necesario distinguir entre el nivel cuasi-Fermi de banda de conducción y el nivel cuasi-Fermi de banda de valencia, ya que son simplemente iguales al nivel de Fermi.

Cuando se produce una perturbación de una situación de equilibrio térmico, las poblaciones de electrones en la banda de conducción y la banda de valencia cambian. Si la perturbación no es demasiado grande o no cambia demasiado rápido, las bandas se relajan hasta un estado de equilibrio cuasi térmico. Debido a que el tiempo de relajación para los electrones dentro de la banda de conducción es mucho menor que a través de la brecha de banda , podemos considerar que los electrones están en equilibrio térmico en la banda de conducción. Esto también es aplicable a los electrones en la banda de valencia (a menudo entendida en términos de huecos ). Podemos definir un nivel cuasi de Fermi y una temperatura cuasi debido al equilibrio térmico de los electrones en la banda de conducción, y un nivel cuasi de Fermi y una temperatura cuasi para la banda de valencia de manera similar.

Podemos enunciar la función general de Fermi para electrones en la banda de conducción como y para electrones en la banda de valencia como donde: $${\displaystyle f_{\rm {c}}(k,r)\approx f_{0}(E,E_{\rm {Fc}},T_{\rm {c}})}$$ $${\displaystyle f_{\rm {v}}(k,r)\approx f_{0}(E,E_{\rm {Fv}},T_{\rm {v}})}$$

• ${\displaystyle f_{0}(E,E_{\rm {F}},T)={\frac {1}{e^{(E-E_{\rm {F}})/(k_{\rm {B}}T)}+1}}}$es la función de distribución de Fermi-Dirac ,
• ${\displaystyle E_{\rm {Fc}}}$es el nivel cuasi-Fermi de la banda de conducción en la ubicación r ,
• ${\displaystyle E_{\rm {Fv}}}$es el nivel cuasi-Fermi de la banda de valencia en la ubicación r ,
• ${\displaystyle T_{c}}$es la temperatura de la banda de conducción,
• ${\displaystyle T_{v}}$es la temperatura de la banda de valencia,
• ${\displaystyle f_{\rm {c}}(k,r)}$es la probabilidad de que un estado particular de la banda de conducción, con vector de onda k y posición r , esté ocupado por un electrón,
• ${\displaystyle f_{\rm {v}}(k,r)}$es la probabilidad de que un estado particular de la banda de valencia, con vector de onda k y posición r , esté ocupado por un electrón (es decir, no ocupado por un hueco).
• ${\displaystyle E}$es la energía del estado de la banda de conducción o de valencia en cuestión,
• ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$es la constante de Boltzmann .

unión p–n

Como se muestra en la figura a continuación, la banda de conducción y la banda de valencia en una unión p–n se indican mediante una línea sólida azul a la izquierda, y el nivel cuasi Fermi se indica mediante la línea discontinua roja.

Cuando no se aplica voltaje externo (polarización) a la unión p–n, los niveles de cuasi Fermi para el electrón y los huecos se superponen entre sí. A medida que aumenta la polarización, la banda de valencia del lado p se reduce, y lo mismo ocurre con el nivel de cuasi Fermi de huecos. Como resultado, la separación del nivel de cuasi Fermi de huecos y electrones aumenta.

Operación de la unión p-n en modo de polarización directa que muestra una reducción del ancho de empobrecimiento. Tanto las uniones p como las n están dopadas a unaNivel de dopaje de 10 ¹⁵  /cm ³ , que genera un potencial incorporado de ~ 0,59 V. Observe los diferentes niveles de cuasi-fermi para la banda de conducción y la banda de valencia en las regiones n y p (curvas rojas).

Solicitud

Esta simplificación nos ayudará en muchas áreas. Por ejemplo, podemos utilizar la misma ecuación para las densidades de electrones y huecos que se utiliza en el equilibrio térmico, pero sustituyendo los niveles cuasi-Fermi y la temperatura. Es decir, si dejamos que sea la densidad espacial de los electrones de la banda de conducción y sea la densidad espacial de huecos en un material, y si se cumple la aproximación de Boltzmann , es decir, suponiendo que las densidades de electrones y huecos no son demasiado altas, entonces donde es la densidad espacial de los electrones de la banda de conducción que estarían presentes en el equilibrio térmico si el nivel de Fermi estuviera en , y es la densidad espacial de huecos que estarían presentes en el equilibrio térmico si el nivel de Fermi estuviera en . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle n=n(E_{\rm {F_{c}}})}$$ $${\displaystyle p=p(E_{\rm {F_{v}}})}$$ ${\displaystyle n(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p(E)}$ ${\displaystyle E}$

Una corriente (debido a los efectos combinados de la deriva y la difusión ) solo aparecerá si hay una variación en el nivel de Fermi o cuasi Fermi. Se puede demostrar que la densidad de corriente para el flujo de electrones es proporcional al gradiente en el nivel cuasi Fermi del electrón. Porque si dejamos que sea la movilidad del electrón y sea la energía cuasi Fermi en el punto espacial , entonces tenemos De manera similar, para los huecos, tenemos ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle E_{F}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{n}(\mathbf {r} )=\mu _{n}n\cdot (\nabla E_{\rm {F_{c}}})}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{p}(\mathbf {r} )=\mu _{p}p\cdot (\nabla E_{\rm {F_{v}}})}$$

Lectura adicional

• Nelson, Jenny (1 de enero de 2003). La física de las células solares. Imperial College Press. ISBN 9781860943492.