Número de pacientes altamente tolerantes

Un número altamente totiente es un entero que tiene más soluciones para la ecuación , donde es la función totiente de Euler , que cualquier entero más pequeño que él. Los primeros números altamente totientes son ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi (x)=k}$ ${\displaystyle \phi }$

1 , 2 , 4 , 8 , 12 , 24 , 48 , 72 , 144 , 240 , 432, 480, 576, 720 , 1152, 1440 (secuencia A097942 en la OEIS ), con 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54 y 72 soluciones totientes respectivamente. La secuencia de números altamente totientes es un subconjunto de la secuencia del número más pequeño con soluciones exactas para . ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi (x)=k}$

El tociente de un número , con factorización prima , es el producto: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}}}$

${\displaystyle \phi (x)=\prod _{i}(p_{i}-1)p_{i}^{e_{i}-1}.}$

Por lo tanto, un número altamente totiente es un número que tiene más formas de expresarse como producto de esta forma que cualquier número más pequeño.

El concepto es algo análogo al de los números altamente compuestos , y de la misma manera que 1 es el único número altamente compuesto impar, también es el único número altamente totiente impar (de hecho, el único número impar que no es un no totiente ). Y así como hay infinitos números altamente compuestos, también hay infinitos números altamente totientes, aunque los números altamente totientes se vuelven más difíciles de encontrar a medida que se asciende, ya que calcular la función totiente implica factorización en primos , algo que se vuelve extremadamente difícil a medida que los números se hacen más grandes.

Ejemplo

Hay cinco números (15, 16, 20, 24 y 30) cuyo número totiente es 8. Ningún entero positivo menor que 8 tiene tantos números de este tipo, por lo que 8 es altamente totiente.

Mesa

Véase también

• Número altamente co-conciente

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A097942 (Números altamente tocientes: cada número k en esta lista tiene más soluciones para la ecuación phi(x) = k que cualquier k precedente (donde phi es la función tociente de Euler, A000010))". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.