Números de Stirling del segundo tipo

Números que parametrizan formas de particionar un conjunto

Las 15 particiones de un conjunto de 4 elementos ordenadas en un diagrama de Hasse

Hay S (4,1), ..., S (4, 4) = 1, 7, 6, 1 particiones que contienen 1, 2, 3, 4 conjuntos.

En matemáticas , particularmente en combinatoria , un número de Stirling de segundo tipo (o número de partición de Stirling ) es el número de formas de particionar un conjunto de n objetos en k subconjuntos no vacíos y se denota por o . ^[1] Los números de Stirling de segundo tipo aparecen en el campo de las matemáticas llamado combinatoria y el estudio de las particiones . Reciben su nombre en honor a James Stirling . ${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle \textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

Los números de Stirling de primera y segunda especie pueden entenderse como inversos entre sí cuando se los considera como matrices triangulares . Este artículo está dedicado a los detalles de los números de Stirling de segunda especie. Las identidades que vinculan las dos especies aparecen en el artículo sobre los números de Stirling .

Definición

Los números de Stirling del segundo tipo, escritos como o con otras notaciones, cuentan la cantidad de formas de dividir un conjunto de objetos etiquetados en subconjuntos no vacíos y no etiquetados. De manera equivalente, cuentan la cantidad de relaciones de equivalencia diferentes con clases de equivalencia precisas que se pueden definir en un conjunto de elementos. De hecho, existe una biyección entre el conjunto de particiones y el conjunto de relaciones de equivalencia en un conjunto dado. Obviamente, ${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left\{{n \atop n}\right\}=1}$para n ≥ 0, y para n ≥ 1, ${\displaystyle \left\{{n \atop 1}\right\}=1}$

ya que la única forma de dividir un conjunto de n elementos en n partes es poner cada elemento del conjunto en su propia parte, y la única forma de dividir un conjunto no vacío en una parte es poner todos los elementos en la misma parte. A diferencia de los números de Stirling del primer tipo , se pueden calcular utilizando una fórmula de suma única: ^[2]

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}i^{n}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-i}i^{n}}{(k-i)!i!}}.}$

Los números de Stirling del primer tipo pueden caracterizarse como los números que surgen cuando uno expresa potencias de una x indeterminada en términos de los factoriales descendentes ^[3]

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).}$

(En particular, ( x ) ₀ = 1 porque es un producto vacío .)

Los números de Stirling del segundo tipo satisfacen la relación

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}.}$

Notación

Se han utilizado varias notaciones para los números de Stirling de segunda especie. La notación de llaves fue utilizada por Imanuel Marx y Antonio Salmeri en 1962 para variantes de estos números. ^{[4] [5]} Esto llevó a Knuth a utilizarla, como se muestra aquí, en el primer volumen de The Art of Computer Programming (1968). ^{[6] [7]} Según la tercera edición de The Art of Computer Programming , esta notación también fue utilizada anteriormente por Jovan Karamata en 1935. ^{[8] [9]} La notación S ( n , k ) fue utilizada por Richard Stanley en su libro Combinatoria enumerativa y también, mucho antes, por muchos otros escritores. ^[6] ${\textstyle \textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace }$

Las notaciones utilizadas en esta página para los números de Stirling no son universales y pueden entrar en conflicto con notaciones de otras fuentes.

Relación con los números de Bell

Dado que el número de Stirling cuenta las particiones de un conjunto de n elementos en k partes, la suma ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}}$

sobre todos los valores de k es el número total de particiones de un conjunto con n miembros. Este número se conoce como el n- ésimo número de Bell .

De manera análoga, los números de Bell ordenados se pueden calcular a partir de los números de Stirling de segundo tipo mediante

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}k!\left\{{n \atop k}\right\}.}$^[10]

Tabla de valores

A continuación se muestra una matriz triangular de valores para los números de Stirling del segundo tipo (secuencia A008277 en la OEIS ):

Al igual que con los coeficientes binomiales , esta tabla podría extenderse a  k > n , pero todas las entradas serían 0.

Propiedades

Relación de recurrencia

Los números de Stirling del segundo tipo obedecen a la relación de recurrencia

${\displaystyle \left\{{n+1 \atop k}\right\}=k\left\{{n \atop k}\right\}+\left\{{n \atop k-1}\right\}\quad {\mbox{for}}\;0<k<n}$

con condiciones iniciales

${\displaystyle \left\{{n \atop n}\right\}=1\quad {\mbox{ for}}\;n\geq 0\quad {\text{ and }}\quad \left\{{n \atop 0}\right\}=\left\{{0 \atop n}\right\}=0\quad {\text{ for }}n>0{\text{.}}}$

Por ejemplo, el número 25 en la columna k  = 3 y la fila n  = 5 está dado por 25 = 7 + (3×6), donde 7 es el número arriba y a la izquierda de 25, 6 es el número arriba de 25 y 3 es la columna que contiene el 6.

Para demostrar esta recurrencia, observe que una partición de los objetos en ${\displaystyle n+1}$ k subconjuntos no vacíos contiene el objeto -ésimo como singleton ${\displaystyle (n+1)}$ o no lo contiene. La cantidad de formas en que el singleton es uno de los subconjuntos está dada por

${\displaystyle \left\{{n \atop k-1}\right\}}$

ya que debemos dividir los n objetos restantes en los subconjuntos disponibles . En ${\displaystyle k-1}$ el otro caso, el objeto ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -ésimo pertenece a un subconjunto que contiene otros objetos. El número de formas está dado por

${\displaystyle k\left\{{n \atop k}\right\}}$

ya que dividimos todos los objetos excepto el ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -ésimo en k subconjuntos, y luego nos quedan k opciones para insertar el objeto ⁠ ⁠ ${\displaystyle n+1}$ . Sumar estos dos valores da el resultado deseado.

Otra relación de recurrencia está dada por

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rbrace ={\frac {k^{n}}{k!}}-\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {\left\lbrace {\begin{matrix}n\\r\end{matrix}}\right\rbrace }{(k-r)!}}.}$

lo cual se deduce de evaluar en . ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}\left\{{n \atop r}\right\}(x)_{r}=x^{n}}$ ${\displaystyle x=k}$

Identidades simples

Algunas identidades simples incluyen

${\displaystyle \left\{{n \atop n-1}\right\}={\binom {n}{2}}.}$

Esto se debe a que dividir n elementos en n  − 1 conjuntos significa necesariamente dividirlos en un conjunto de tamaño 2 y n  − 2 conjuntos de tamaño 1. Por lo tanto, solo necesitamos elegir esos dos elementos;

y

${\displaystyle \left\{{n \atop 2}\right\}=2^{n-1}-1.}$

Para comprobarlo, primero hay que tener en cuenta que hay 2 ⁿ pares ordenados de subconjuntos complementarios A y B. En un caso, A está vacío y en otro, B está vacío, por lo que quedan 2 ⁿ  − 2 pares ordenados de subconjuntos. Por último, como queremos pares desordenados en lugar de pares ordenados , dividimos este último número por 2, lo que da el resultado anterior.

Otra expansión explícita de la relación de recurrencia da identidades en el espíritu del ejemplo anterior.

Identidades

La tabla de la sección 6.1 de Matemáticas concretas proporciona una gran cantidad de formas generalizadas de sumas finitas que involucran los números de Stirling. Varias sumas finitas particulares relevantes para este artículo incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}&=\sum _{j=k}^{n}{n \choose j}\left\{{j \atop k}\right\}\\\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}&=\sum _{j=k}^{n}(k+1)^{n-j}\left\{{j \atop k}\right\}\\\left\{{n+k+1 \atop k}\right\}&=\sum _{j=0}^{k}j\left\{{n+j \atop j}\right\}\\\left\{{n \atop \ell +m}\right\}{\binom {\ell +m}{\ell }}&=\sum _{k}\left\{{k \atop \ell }\right\}\left\{{n-k \atop m}\right\}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}$

Fórmula explícita

Los números de Stirling del segundo tipo se dan mediante la fórmula explícita:

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}=\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}j^{n}}{(k-j)!j!}}.}$

Esto se puede derivar utilizando inclusión-exclusión para contar las sobreyecciones de n a k y utilizando el hecho de que el número de dichas sobreyecciones es . ${\textstyle k!\left\{{n \atop k}\right\}}$

Además, esta fórmula es un caso especial de la k- ésima diferencia hacia adelante del monomio evaluado en x = 0: ${\displaystyle x^{n}}$

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}$

Como los polinomios de Bernoulli pueden escribirse en términos de estas diferencias hacia adelante, se obtiene inmediatamente una relación en los números de Bernoulli :

${\displaystyle B_{m}(0)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {(-1)^{k}k!}{k+1}}\left\{{m \atop k}\right\}.}$

La evaluación del polinomio de Bell exponencial incompleto B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) en la secuencia de unos es igual a un número de Stirling de segundo tipo:

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=B_{n,k}(1,1,\dots ,1).}$

Otra fórmula explícita dada en el Manual de Funciones Matemáticas del NIST es

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{\begin{array}{c}c_{1}+\ldots +c_{k}=n-k\\c_{1},\ldots ,\ c_{k}\ \geq \ 0\end{array}}1^{c_{1}}2^{c_{2}}\cdots k^{c_{k}}}$

Paridad

Paridad de números de Stirling del segundo tipo.

La paridad de un número de Stirling de segundo tipo es la misma que la paridad de un coeficiente binomial relacionado :

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\equiv {\binom {z}{w}}\ {\pmod {2}},}$dónde ${\displaystyle z=n-\left\lceil \displaystyle {\frac {k+1}{2}}\right\rceil ,\ w=\left\lfloor \displaystyle {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor .}$

Esta relación se especifica asignando las coordenadas n y k al triángulo de Sierpiński .

Más directamente, supongamos que dos conjuntos contienen posiciones de 1 en representaciones binarias de resultados de expresiones respectivas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} :\ \sum _{i\in \mathbb {A} }2^{i}&=n-k,\\\mathbb {B} :\ \sum _{j\in \mathbb {B} }2^{j}&=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor .\\\end{aligned}}}$

Se puede imitar una operación AND bit a bit intersectando estos dos conjuntos:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2={\begin{cases}0,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} \neq \emptyset ;\\1,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} =\emptyset ;\end{cases}}}$

para obtener la paridad de un número de Stirling de segunda especie en tiempo O (1) . En pseudocódigo :

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2:=\left[\left(\left(n-k\right)\ \And \ \left(\left(k-1\right)\,\mathrm {div} \,2\right)\right)=0\right];}$

¿Dónde está el soporte de Iverson ? ${\displaystyle \left[b\right]}$

La paridad de un número de Stirling central de segundo tipo es impar si y sólo si es un número fibinario , un número cuya representación binaria no tiene dos 1 consecutivos. ^[11] ${\displaystyle \textstyle \left\{{2n \atop n}\right\}}$ ${\displaystyle n}$

Funciones generadoras

Para un entero fijo n , la función generadora ordinaria para números de Stirling del segundo tipo está dada por ${\displaystyle \left\{{n \atop 0}\right\},\left\{{n \atop 1}\right\},\ldots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}=T_{n}(x),}$

¿Dónde están los polinomios de Touchard ? Si, ​​en cambio, se suman los números de Stirling con el factorial descendente, se pueden demostrar, entre otras, las siguientes identidades: ${\displaystyle T_{n}(x)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}}$

y

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}\left\{{n+1 \atop k}\right\}(x-1)_{k-1}=x^{n},}$

que tiene caso especial

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(n)_{k}=n^{n}.}$

Para un entero fijo k , los números de Stirling del segundo tipo tienen función generadora ordinaria racional

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}x^{n-k}=\prod _{r=1}^{k}{\frac {1}{1-rx}}={\frac {1}{x^{k+1}(1/x)_{k+1}}}}$

y tienen una función generadora exponencial dada por

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {(e^{x}-1)^{k}}{k!}}.}$

Una función generadora bivariada mixta para los números de Stirling del segundo tipo es

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}y^{k}=e^{y(e^{x}-1)}.}$

Límites inferior y superior

Si y , entonces ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(k^{2}+k+2)k^{n-k-1}-1\leq \left\{{n \atop k}\right\}\leq {\frac {1}{2}}{n \choose k}k^{n-k}}$ ^[12]

Aproximación asintótica

Para un valor fijo del valor asintótico de los números de Stirling de segundo tipo como se da por ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {k^{n}}{k!}}.}$

Si (donde o denota la notación o minúscula ) entonces ${\displaystyle k=o({\sqrt {n}})}$

${\displaystyle \left\{{n+k \atop n}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n^{2k}}{2^{k}k!}}.}$^[13]

También existe una aproximación uniformemente válida: para todo k tal que 1 < k < n , se tiene

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\sim {\sqrt {\frac {v-1}{v(1-G)}}}\left({\frac {v-1}{v-G}}\right)^{n-k}{\frac {k^{n}}{n^{k}}}e^{k(1-G)}\left({n \atop k}\right),}$

donde , y es la solución única de . ^[14] El error relativo está limitado por aproximadamente . ${\displaystyle v=n/k}$ ${\displaystyle G\in (0,1)}$ ${\displaystyle G=ve^{G-v}}$ ${\displaystyle 0.066/n}$

Unimodalidad

Para fijo , es unimodal, es decir, la sucesión crece y luego decrece. El máximo se alcanza para, como máximo, dos valores consecutivos de k . Es decir, existe un entero tal que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ ${\displaystyle k_{n}}$

${\displaystyle \left\{{n \atop 1}\right\}<\left\{{n \atop 2}\right\}<\cdots <\left\{{n \atop k_{n}}\right\}\geq \left\{{n \atop k_{n}+1}\right\}>\cdots >\left\{{n \atop n}\right\}.}$

Mirando la tabla de valores anterior, los primeros valores para son ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle 0,1,1,2,2,3,3,4,4,4,5,\ldots }$

Cuando es grande ${\displaystyle n}$

${\displaystyle k_{n}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n}{\log n}},}$

y el valor máximo del número de Stirling se puede aproximar con

${\displaystyle \log \left\{{n \atop k_{n}}\right\}=n\log n-n\log \log n-n+O(n\log \log n/\log n).}$ ^[12]

Aplicaciones

Momentos de la distribución de Poisson

Si X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson con valor esperado λ, entonces su momento n- ésimo es

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\lambda ^{k}.}$

En particular, el n- ésimo momento de la distribución de Poisson con valor esperado 1 es precisamente el número de particiones de un conjunto de tamaño n , es decir, es el n -ésimo número de Bell (este hecho es la fórmula de Dobiński ).

Momentos de puntos fijos de permutaciones aleatorias

Sea la variable aleatoria X el número de puntos fijos de una permutación aleatoria uniformemente distribuida de un conjunto finito de tamaño m . Entonces el momento n de X es

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=0}^{m}\left\{{n \atop k}\right\}.}$

Nota: El límite superior de la suma es m , no n .

En otras palabras, el momento n de esta distribución de probabilidad es el número de particiones de un conjunto de tamaño n en no más de m partes. Esto se demuestra en el artículo sobre estadísticas de permutación aleatoria , aunque la notación es un poco diferente.

Esquemas de rima

Los números de Stirling del segundo tipo pueden representar el número total de esquemas de rima para un poema de n líneas. da el número de posibles esquemas de rima para n líneas utilizando k sílabas de rima únicas. A modo de ejemplo, para un poema de 3 líneas, hay 1 esquema de rima que utiliza solo una rima (aaa), 3 esquemas de rima que utilizan dos rimas (aab, aba, abb) y 1 esquema de rima que utiliza tres rimas (abc). ${\displaystyle S(n,k)}$

Variantes

a-Números de Stirling del segundo tipo

El número r -Stirling del segundo tipo cuenta el número de particiones de un conjunto de n objetos en k subconjuntos disjuntos no vacíos, tales que los primeros r elementos están en subconjuntos distintos. ^[15] Estos números satisfacen la relación de recurrencia ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}_{r}}$

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}_{r}=k\left\{{n-1 \atop k}\right\}_{r}+\left\{{n-1 \atop k-1}\right\}_{r}}$

Algunas identidades combinatorias y una conexión entre estos números y gramáticas libres de contexto se pueden encontrar en ^[16].

Números de Stirling asociados del segundo tipo

Un número de Stirling asociado a r del segundo tipo es el número de formas de particionar un conjunto de n objetos en k subconjuntos, cada subconjunto conteniendo al menos r elementos. ^[17] Se denota por y obedece a la relación de recurrencia ${\displaystyle S_{r}(n,k)}$

${\displaystyle S_{r}(n+1,k)=k\ S_{r}(n,k)+{\binom {n}{r-1}}S_{r}(n-r+1,k-1)}$

Los números 2-asociados (secuencia A008299 en la OEIS ) aparecen en otros lugares como "números de Ward" y como las magnitudes de los coeficientes de los polinomios de Mahler .

Números de Stirling reducidos del segundo tipo

Denotemos los n objetos a particionar por los enteros 1, 2, ..., n . Definamos los números de Stirling reducidos de segunda especie, denotados , como el número de formas de particionar los enteros 1, 2, ..., n en k subconjuntos no vacíos tales que todos los elementos en cada subconjunto tengan una distancia entre pares de al menos d . Es decir, para cualesquiera enteros i y j en un subconjunto dado, se requiere que . Se ha demostrado que estos números satisfacen ${\displaystyle S^{d}(n,k)}$ ${\displaystyle |i-j|\geq d}$

${\displaystyle S^{d}(n,k)=S(n-d+1,k-d+1),n\geq k\geq d}$

(de ahí el nombre "reducido"). ^[18] Obsérvese (tanto por definición como por la fórmula de reducción), que , los conocidos números de Stirling del segundo tipo. ${\displaystyle S^{1}(n,k)=S(n,k)}$

Véase también

• Número de Stirling
• Números de Stirling del primer tipo
• Número de Bell : el número de particiones de un conjunto con n miembros
• Polinomios de Stirling
• Doce maneras
• Materiales de aprendizaje relacionados con Particiones relacionadas con triángulos numéricos en Wikiversidad

Referencias

1. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Matemáticas concretas , Addison–Wesley, Reading MA. ISBN  0-201-14236-8 , pág. 244.
2. "Números de Stirling del segundo tipo, teorema 3.4.1".
3. De manera confusa, la notación que utilizan los combinatorios para factoriales descendentes coincide con la notación utilizada en funciones especiales para factoriales ascendentes ; véase el símbolo de Pochhammer .
4. Transformación de series mediante una variante de los números de Stirling, Imanuel Marx, The American Mathematical Monthly 69 , #6 (junio-julio de 1962), págs. 530-532, JSTOR  2311194.
5. Antonio Salmeri, Introduzione alla teoria dei coeficientei fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962), págs.
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7. Donald E. Knuth, Algoritmos fundamentales , Reading, Mass.: Addison–Wesley, 1968.
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9. Jovan Karamata, Théorèmes sur la sommabilité exponentielle et d'autres sommabilités s'y rattachant, Mathematica (Cluj) 9 (1935), págs., 164-178.
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12. Rennie, BC; Dobson, AJ (1969). "Sobre los números de Stirling del segundo tipo". Journal of Combinatorial Theory . 7 (2): 116–121. doi : 10.1016/S0021-9800(69)80045-1 . ISSN  0021-9800.
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