número de ermita

En matemáticas , los números de Hermite son valores de polinomios de Hermite con argumento cero. Normalmente se definen para los polinomios de Hermite de los físicos.

Definicion formal

Los números H _n = H _n (0), donde H _n ( x ) es un polinomio de Hermite de orden n , pueden denominarse números de Hermite. ^[1]

Los primeros números de Hermite son:

${\displaystyle H_{0}=1\,}$

${\displaystyle H_{1}=0\,}$

${\displaystyle H_{2}=-2\,}$

${\displaystyle H_{3}=0\,}$

${\displaystyle H_{4}=+12\,}$

${\displaystyle H_{5}=0\,}$

${\displaystyle H_{6}=-120\,}$

${\displaystyle H_{7}=0\,}$

${\displaystyle H_{8}=+1680\,}$

${\displaystyle H_{9}=0\,}$

${\displaystyle H_{10}=-30240\,}$

Relaciones de recursividad

Se obtienen a partir de relaciones de recursividad de polinomios hermitianos para x = 0:

${\displaystyle H_{n}=-2(n-1)H_{n-2}.\,\!}$

Dado que H ₀ = 1 y H ₁ = 0 se puede construir una fórmula cerrada para H _n :

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\\(-1)^{n/2}2^{n/2}(n-1)!!,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\end{cases}}}$

donde ( n - 1)!! = 1 × 3 × ... × ( norte - 1).

Uso

De la función generadora de polinomios hermitianos se deduce que

${\displaystyle \exp(-t^{2}+2tx)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$

La referencia ^[1] proporciona una serie de potencias formal :

${\displaystyle H_{n}(x)=(H+2x)^{n}\,\!}$

donde formalmente la n -ésima potencia de H , H ⁿ , es el n -ésimo número de Hermita, H _n . (Ver Cálculo umbral ).

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Número de Hermite". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HermiteNumber.html