En matemáticas recreativas , un repdigit o, a veces, un monodigit [1] es un número natural compuesto por instancias repetidas del mismo dígito en un sistema numérico posicional (a menudo implícitamente decimal ). La palabra es un acrónimo de "repetido" y "dígito". Algunos ejemplos son 11 , 666 , 4444 y 999999. Todos los repdigits son números palindrómicos y son múltiplos de repunits . Otros repdigits conocidos incluyen los primos repunit y, en particular, los primos de Mersenne (que son repdigits cuando se representan en binario).
Los repdigits son la representación en base del número donde es el dígito repetido y es el número de repeticiones. Por ejemplo, el repdigit 77777 en base 10 es .
Una variación de los repdigits llamados números brasileños son números que se pueden escribir como un repdigit en alguna base, no permitiendo el repdigit 11, y no permitiendo los números de un solo dígito (o todos los números serán brasileños). Por ejemplo, 27 es un número brasileño porque 27 es el repdigit 33 en base 8, mientras que 9 no es un número brasileño porque su única representación repdigit es 11 8 , no permitida en la definición de números brasileños. Las representaciones de la forma 11 se consideran triviales y están deshabilitadas en la definición de números brasileños, porque todos los números naturales n mayores que dos tienen la representación 11 n − 1 . [2] Los primeros veinte números brasileños son
En algunos sitios web (incluidos los foros de imágenes como 4chan ), se considera un evento auspicioso cuando el número de identificación asignado secuencialmente a una publicación es un repdigit, como 22,222,222, que es un tipo de "GET" (otros incluyen números redondos como 34,000,000 o dígitos secuenciales como 12,345,678). [3] [4]
El concepto de repdigit ha sido estudiado bajo ese nombre desde al menos 1974, [5] y anteriormente Beiler (1966) los llamó "números monodigit". [1] Los números brasileños fueron introducidos más tarde, en 1994, en la IX Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas que tuvo lugar en Fortaleza , Brasil. El primer problema de esta competencia, propuesto por México, fue el siguiente: [6]
Un número n > 0 se llama "brasileño" si existe un entero b tal que 1 < b < n – 1 para el cual la representación de n en base b se escribe con todos los dígitos iguales. Demuestre que 1994 es brasileño y que 1993 no es brasileño.
Para que un repdigit sea primo , debe ser un repunit (es decir, el dígito que se repite es 1) y tener un número primo de dígitos en su base (excepto números triviales de un solo dígito), ya que, por ejemplo, el repdigit 77777 es divisible por 7, en cualquier base > 7. En particular, como los repunit brasileños no permiten que el número de dígitos sea exactamente dos, los primos brasileños deben tener un número primo impar de dígitos. [7] Tener un número primo impar de dígitos no es suficiente para garantizar que un repunit sea primo; por ejemplo, 21 = 111 4 = 3 × 7 y 111 = 111 10 = 3 × 37 no son primos. En cualquier base dada b , cada primo repunit en esa base con la excepción de 11 b (si es primo) es un primo brasileño. Los primos brasileños más pequeños son
Mientras que la suma de los recíprocos de los números primos es una serie divergente, la suma de los recíprocos de los números primos brasileños es una serie convergente cuyo valor, llamado "constante de primos brasileños", es ligeramente mayor que 0,33 (secuencia A306759 en la OEIS ). [8] Esta convergencia implica que los primos brasileños forman una fracción minúscula de todos los números primos. Por ejemplo, entre los 3,7×10 10 números primos menores que 10 12 , solo 8,8×10 4 son brasileños.
Los números primos de repunit decimales tienen la forma de los valores de n que figuran en OEIS : A004023 . Se ha conjeturado que existen infinitos números primos de repunit decimales. [9] Los números primos de repunit binarios son los números de Mersenne y los números primos de repunit binarios son los números primos de Mersenne .
Se desconoce si hay infinitos primos brasileños. Si la conjetura de Bateman-Horn es cierta, entonces para cada número primo de dígitos existirían infinitos primos repunit con ese número de dígitos (y en consecuencia infinitos primos brasileños). Alternativamente, si hay infinitos primos repunit decimales, o infinitos primos de Mersenne, entonces hay infinitos primos brasileños. [10] Debido a que una fracción extremadamente pequeña de primos son brasileños, hay infinitos primos no brasileños, formando la secuencia
Si un número de Fermat es primo, no es brasileño, pero si es compuesto, es brasileño. [11] Contradiciendo una conjetura previa, [12] Resta, Marcus, Grantham y Graves encontraron ejemplos de primos de Sophie Germain que son brasileños, el primero es 28792661 = 11111 73 . [13]
Los únicos números enteros positivos que pueden ser no brasileños son 1, 6, los primos y los cuadrados de los primos, pues todo otro número es el producto de dos factores x e y con 1 < x < y − 1, y puede escribirse como xx en base y − 1. [14] Si un cuadrado de un primo p 2 es brasileño, entonces el primo p debe satisfacer la ecuación diofántica.
El matemático noruego Trygve Nagell ha demostrado [15] que esta ecuación tiene una única solución cuando p es primo correspondiente a ( p , b , q ) = (11, 3, 5) . Por lo tanto, el único primo al cuadrado que es brasileño es 11 2 = 121 = 11111 3 . También hay un cuadrado repunit más no trivial, la solución ( p , b , q ) = (20, 7, 4) correspondiente a 20 2 = 400 = 1111 7 , pero no es excepcional con respecto a la clasificación de los números brasileños porque 20 no es primo.
Las potencias perfectas que son repeticiones con tres dígitos o más en alguna base b se describen mediante la ecuación diofántica de Nagell y Ljunggren [16]
Yann Bugeaud y Maurice Mignotte conjeturan que sólo tres potencias perfectas son repeticiones brasileñas: 121, 343 y 400 (secuencia A208242 en la OEIS ), los dos cuadrados enumerados anteriormente y el cubo 343 = 7 3 = 111 18 . [17]
Algunas publicaciones de medios populares han publicado artículos que sugieren que los números de repunit tienen un significado numerológico , describiéndolos como "números de ángel". [19] [20] [21]
