Teorema de Myers

Limita la longitud de los segmentos geodésicos en variedades de Riemann basándose en la curvatura de Ricci

El teorema de Myers , también conocido como teorema de Bonnet-Myers , es un teorema fundamental y célebre en el campo matemático de la geometría de Riemann . Fue descubierto por Sumner Byron Myers en 1941. Afirma lo siguiente:

Sea una variedad riemanniana completa y conexa de dimensión cuya curvatura de Ricci satisface para algún número real positivo fijo la desigualdad para cada y de longitud unitaria. Entonces dos puntos cualesquiera de M pueden estar unidos por un segmento geodésico de longitud como máximo . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(v)\geq (n-1){\frac {1}{r^{2}}}}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \pi r}$

En el caso especial de las superficies, Ossian Bonnet demostró este resultado en 1855. Para una superficie, las curvaturas de Gauss, seccional y de Ricci son todas iguales, pero la prueba de Bonnet se generaliza fácilmente a dimensiones superiores si se supone un límite inferior positivo en la curvatura seccional . Por lo tanto, la contribución clave de Myers fue demostrar que un límite inferior de Ricci es todo lo que se necesita para llegar a la misma conclusión.

Corolarios

La conclusión del teorema dice, en particular, que el diámetro de es finito. Por lo tanto, debe ser compacto, ya que una bola cerrada (y, por lo tanto, compacta) de radio finito en cualquier espacio tangente se traslada a todos los de por la función exponencial. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Como caso muy particular, esto demuestra que cualquier variedad riemanniana suave, completa y no compacta que sea Einstein debe tener una constante de Einstein no positiva.

Como es conexo, existe el mapa de recubrimiento universal suave. Se puede considerar la métrica de pull-back π ^* g en Como es una isometría local, el teorema de Myers se aplica a la variedad de Riemann ( N ,π ^* g ) y, por lo tanto, es compacto y el mapa de recubrimiento es finito. Esto implica que el grupo fundamental de es finito. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :N\to M.}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Teorema de rigidez de diámetro de Cheng

La conclusión del teorema de Myers dice que para cualquier uno d _​​g ( p , q ) ≤ π / √ k . En 1975, Shiu-Yuen Cheng demostró: ${\displaystyle p,q\in M,}$

Sea una variedad riemanniana completa y suave de dimensión n . Si k es un número positivo con Ric ^g ≥ ( n -1) k , y si existen p y q en M con d _g ( p , q ) = π / √ k , entonces ( M , g ) es simplemente conexo y tiene curvatura seccional constante k . ${\displaystyle (M,g)}$

Véase también

• Teorema de compacidad de Gromov (geometría)  : sobre cuándo un conjunto de variedades riemannianas compactas de una dimensión dada es relativamente compacto

Referencias

• Ambrose, W. Un teorema de Myers. Duke Math. J. 24 (1957), 345–348.
• Cheng, Shiu Yuen (1975), "Teoremas de comparación de valores propios y sus aplicaciones geométricas", Mathematische Zeitschrift , 143 (3): 289–297, doi :10.1007/BF01214381, ISSN  0025-5874, MR  0378001
• do Carmo, MP (1992), Geometría de Riemann , Boston, Mass.: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
• Myers, SB (1941), "Variedades de Riemann con curvatura media positiva", Duke Mathematical Journal , 8 (2): 401–404, doi :10.1215/S0012-7094-41-00832-3