Función monótona

Función matemática que preserva el orden

Figura 1. Una función monótona no decreciente

Figura 2. Una función monótona no creciente

Figura 3. Una función que no es monótona

En matemáticas , una función monótona (o función monótona ) es una función entre conjuntos ordenados que preserva o invierte el orden dado . ^{[1] [2] [3]} Este concepto surgió por primera vez en el cálculo y luego se generalizó al entorno más abstracto de la teoría del orden .

En cálculo y análisis

En cálculo , una función definida en un subconjunto de números reales con valores reales se denomina monótona si es completamente no decreciente o completamente no creciente. ^[2] Es decir, como en la figura 1, una función que aumenta monótonamente no tiene que aumentar exclusivamente, simplemente no debe disminuir. ${\displaystyle f}$

Una función se denomina monótonamente creciente (también creciente o no decreciente ) ^[3] si para todos y tales que uno tiene , por lo que conserva el orden (véase la Figura 1). Del mismo modo, una función se denomina monótonamente decreciente (también decreciente o no creciente ) ^[3] si, siempre que , entonces , por lo que invierte el orden (véase la Figura 2). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)}$

Si el orden en la definición de monotonía se reemplaza por el orden estricto , se obtiene un requisito más fuerte. Una función con esta propiedad se llama estrictamente creciente (también creciente ). ^{[3] [4]} Nuevamente, al invertir el símbolo de orden, se encuentra un concepto correspondiente llamado estrictamente decreciente (también decreciente ). ^{[3] [4]} Una función con cualquiera de las propiedades se llama estrictamente monótona . Las funciones que son estrictamente monótonas son biunívocas (porque para no igual a , o bien o bien y entonces, por monotonía, o bien o bien , por lo tanto ). ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)}$ ${\displaystyle f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)}$ ${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)}$

Para evitar ambigüedades, a menudo se utilizan los términos débilmente monótono , débilmente creciente y débilmente decreciente para referirse a la monotonía no estricta.

Los términos "no decreciente" y "no creciente" no deben confundirse con las calificaciones negativas (mucho más débiles) "no decreciente" y "no creciente". Por ejemplo, la función no monótona que se muestra en la figura 3 primero cae, luego aumenta y luego cae nuevamente. Por lo tanto, no es decreciente ni creciente, pero tampoco es ni decreciente ni creciente.

Se dice que una función es absolutamente monótona en un intervalo si las derivadas de todos los órdenes son no negativas o todas no positivas en todos los puntos del intervalo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ ${\displaystyle f}$

Inversa de función

Todas las funciones estrictamente monótonas son invertibles porque se garantiza que tienen una correspondencia uno a uno desde su rango a su dominio.

Sin embargo, las funciones que son sólo débilmente monótonas no son invertibles porque son constantes en algún intervalo (y por lo tanto no son biunívocas).

Una función puede ser estrictamente monótona en un rango limitado de valores y, por lo tanto, tener una inversa en ese rango, aunque no sea estrictamente monótona en todas partes. Por ejemplo, si es estrictamente creciente en el rango , entonces tiene una inversa en el rango . ${\displaystyle y=g(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle [g(a),g(b)]}$

El término monótono se utiliza a veces en lugar de estrictamente monótono , por lo que una fuente puede afirmar que todas las funciones monótonas son invertibles cuando en realidad quiere decir que todas las funciones estrictamente monótonas son invertibles. ^{[ cita requerida ]}

Transformación monótona

El término transformación monótona (o transformación monótona ) también puede causar confusión porque se refiere a una transformación por una función estrictamente creciente. Este es el caso en economía con respecto a las propiedades ordinales de una función de utilidad que se conservan a lo largo de una transformación monótona (véase también preferencias monótonas ). ^[5] En este contexto, el término "transformación monótona" se refiere a una transformación monótona positiva y tiene como objetivo distinguirla de una "transformación monótona negativa", que invierte el orden de los números. ^[6]

Algunas aplicaciones y resultados básicos

Función monótona con un conjunto denso de discontinuidades de salto (se muestran varias secciones)

Gráficas de 6 funciones de crecimiento monótonas

Las siguientes propiedades son verdaderas para una función monótona : ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f}$tiene límites por la derecha y por la izquierda en cada punto de su dominio ;
• ${\displaystyle f}$tiene un límite en el infinito positivo o negativo ( ) de un número real, , o . ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$
• ${\displaystyle f}$solo puede tener discontinuidades de salto ;
• ${\displaystyle f}$solo puede tener un número contable de discontinuidades en su dominio. Las discontinuidades, sin embargo, no necesariamente consisten en puntos aislados e incluso pueden ser densas en un intervalo ( a , b ). Por ejemplo, para cualquier secuencia sumable de números positivos y cualquier enumeración de los números racionales , la función monótonamente creciente es continua exactamente en cada número irracional (cf. figura). Es la función de distribución acumulativa de la medida discreta en los números racionales, donde es el peso de . $(a_{i})$ ${\displaystyle (q_{i})}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$
• Si es diferenciable en y , entonces existe un intervalo no degenerado I tal que y es creciente en I . Como recíproco parcial, si f es diferenciable y creciente en un intervalo, I , entonces su derivada es positiva en cada punto en I . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{*}\in {\mathbb {R}}}$ ${\displaystyle f'(x^{*})>0}$ ${\displaystyle x^{*}\in I}$ ${\displaystyle f}$

Estas propiedades son la razón por la que las funciones monótonas son útiles en el trabajo técnico de análisis . Otras propiedades importantes de estas funciones incluyen:

• Si es una función monótona definida en un intervalo , entonces es diferenciable casi en todas partes en ; es decir, el conjunto de números en tal que no es diferenciable en tiene medida de Lebesgue cero . Además, este resultado no se puede mejorar a contable: consulte Función de Cantor . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Si este conjunto es contable, entonces es absolutamente continuo. ${\displaystyle f}$
• Si es una función monótona definida en un intervalo , entonces es integrable según Riemann . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ ${\displaystyle f}$

Una aplicación importante de las funciones monótonas es la teoría de la probabilidad . Si es una variable aleatoria , su función de distribución acumulativa es una función monótona creciente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)}$

Una función es unimodal si aumenta monótonamente hasta cierto punto (la moda ) y luego disminuye monótonamente.

Cuando es una función estrictamente monótona , entonces es inyectiva en su dominio, y si es el rango de , entonces existe una función inversa en para . Por el contrario, cada función constante es monótona, pero no inyectiva, ^[7] y, por lo tanto, no puede tener una inversa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$

El gráfico muestra seis funciones monótonas. Sus formas más simples se muestran en el área de diagrama y las expresiones utilizadas para crearlas se muestran en el eje y .

En topología

Se dice que un mapa es monótono si cada una de sus fibras está conexa ; es decir, para cada elemento el conjunto (posiblemente vacío) es un subespacio conexo de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X.}$

En el análisis funcional

En el análisis funcional de un espacio vectorial topológico , se dice que un operador (posiblemente no lineal) es un operador monótono si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}}$

$${\displaystyle (Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.}$$El teorema de Kachurovskii muestra que las funciones convexas en los espacios de Banach tienen operadores monótonos como sus derivadas.

Se dice que un subconjunto de es un conjunto monótono si para cada par y en , ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\times X^{*}}$ ${\displaystyle [u_{1},w_{1}]}$ ${\displaystyle [u_{2},w_{2}]}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle (w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.}$$ ${\displaystyle G}$Se dice que un operador monótono es monótono maximalista si es máximo entre todos los conjuntos monótonos en el sentido de inclusión de conjuntos. El gráfico de un operador monótono es un conjunto monótono. Se dice que un operador monótono es monótono maximalista si su gráfico es un conjunto monótono maximalista . ${\displaystyle G(T)}$

En orden teoría

La teoría del orden trata de conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados y preordenados como una generalización de los números reales. La definición anterior de monotonía también es relevante en estos casos. Sin embargo, se evitan los términos "creciente" y "decreciente", ya que su representación pictórica convencional no se aplica a órdenes que no son totales . Además, las relaciones estrictas y son de poca utilidad en muchos órdenes no totales y, por lo tanto, no se introduce ninguna terminología adicional para ellos. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$

Sea que denote la relación de orden parcial de cualquier conjunto parcialmente ordenado, una función monótona , también llamada isótona , o ${\displaystyle \leq }$preservando el orden , satisface la propiedad

$${\displaystyle x\leq y\implies f(x)\leq f(y)}$$

para todos los x e y en su dominio. La composición de dos aplicaciones monótonas también es monótona.

La noción dual se suele denominar antítona , antimonótona o de orden inverso . Por lo tanto, una función antitona f satisface la propiedad

$${\displaystyle x\leq y\implies f(y)\leq f(x),}$$

para todos los x e y en su dominio.

Una función constante es a la vez monótona y antitona; por el contrario, si f es a la vez monótona y antitona, y si el dominio de f es una red , entonces f debe ser constante.

Las funciones monótonas son fundamentales en la teoría del orden. Aparecen en la mayoría de los artículos sobre el tema y en estos lugares se encuentran ejemplos de aplicaciones especiales. Algunas funciones monótonas especiales notables son las incrustaciones de orden (funciones para las que si y solo si y los isomorfismos de orden ( incrustaciones de orden sobreyectivo ). ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y))}$

En el contexto de los algoritmos de búsqueda

En el contexto de los algoritmos de búsqueda, la monotonía (también llamada consistencia) es una condición que se aplica a las funciones heurísticas . Una heurística es monótona si, para cada nodo n y cada sucesor n' de n generado por cualquier acción a , el costo estimado de alcanzar la meta desde n no es mayor que el costo del paso de llegar a n' más el costo estimado de alcanzar la meta desde n' , ${\displaystyle h(n)}$

$${\displaystyle h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).}$$

Esta es una forma de desigualdad triangular , con n , n' y el objetivo G _n más cercano a n . Debido a que cada heurística monótona también es admisible , la monotonía es un requisito más estricto que la admisibilidad. Algunos algoritmos heurísticos como A* pueden demostrarse óptimos siempre que la heurística que utilicen sea monótona. ^[8]

En funciones booleanas

En álgebra de Boole , una función monótona es aquella que para todo a _i y b _i en {0,1} , si a ₁ ≤ b ₁ , a ₂ ≤ b ₂ , ..., a _n ≤ b _n (es decir, el producto cartesiano {0, 1} ⁿ está ordenado coordinadamente ), entonces f( a ₁ , ..., a _n ) ≤ f( b ₁ , ..., b _n ) . En otras palabras, una función booleana es monótona si, para cada combinación de entradas, cambiar una de las entradas de falso a verdadero solo puede hacer que la salida cambie de falso a verdadero y no de verdadero a falso. Gráficamente, esto significa que una función booleana n -aria es monótona cuando su representación como un n -cubo etiquetado con valores de verdad no tiene borde ascendente de verdadero a falso . (Este diagrama de Hasse etiquetado es el dual del diagrama de Venn etiquetado de la función , que es la representación más común para n ≤ 3 ).

Las funciones booleanas monótonas son precisamente aquellas que pueden definirse mediante una expresión que combina las entradas (que pueden aparecer más de una vez) utilizando únicamente los operadores and y or (en particular not está prohibido). Por ejemplo, "al menos dos de a , b , c son válidos" es una función monótona de a , b , c , ya que puede escribirse, por ejemplo, como (( a y b ) o ( a y c ) o ( b y c )).

El número de tales funciones en n variables se conoce como el número de Dedekind de n .

La resolución de SAT , generalmente una tarea NP-difícil , se puede lograr de manera eficiente cuando todas las funciones y predicados involucrados son monótonos y booleanos. ^[9]

Véase también

• Interpolación cúbica monótona
• Operador pseudomonótono
• Coeficiente de correlación de rangos de Spearman : medida de monotonía en un conjunto de datos
• Monotonía total
• Monotonía cíclica
• Función monótona del operador
• Función de ajuste monótono
• Funciones y sucesiones absolutamente y completamente monótonas

Notas

1. Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014). Oxford Concise Dictionary of Mathematics (5.ª ed.). Oxford University Press.
2. Stover, Christopher. "Función monótona". Wolfram MathWorld . Consultado el 29 de enero de 2018 .
3. «Función monótona». Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 29 de enero de 2018 .
4. Spivak, Michael (1994). Cálculo . Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. pág. 192. ISBN 0-914098-89-6.
5. Véase la sección sobre utilidad cardinal versus utilidad ordinal en Simon y Blume (1994).
6. Varian, Hal R. (2010). Microeconomía intermedia (8.ª ed.). WW Norton & Company. pág. 56. ISBN 9780393934243.
7. si su dominio tiene más de un elemento
8. Condiciones de optimalidad: admisibilidad y consistencia pág. 94–95 (Russell y Norvig 2010).
9. Bayless, Sam; Bayless, Noah; Hoos, Holger H.; Hu, Alan J. (2015). SAT Modulo Monotonic Theories. Proc. 29th AAAI Conf. on Artificial Intelligence. AAAI Press. págs. 3702–3709. arXiv : 1406.0043 . doi : 10.1609/aaai.v29i1.9755 . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2023.

Bibliografía

• Bartle, Robert G. (1976). Los elementos del análisis real (segunda ed.).
• Grätzer, George (1971). Teoría de retículos: primeros conceptos y retículos distributivos . ISBN 0-7167-0442-0.
• Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2001). Matemáticas para economistas: un libro de texto introductorio . Manchester University Press. ISBN 0-7190-3341-1.
• Renardy, Michael y Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemáticas Aplicadas 13 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. pág. 356. ISBN. 0-387-00444-0.
• Riesz, Frigyes y Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Análisis funcional . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 978-0-486-66289-3.
• Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2010). Inteligencia artificial: un enfoque moderno (3.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (abril de 1994). Matemáticas para economistas (primera edición). ISBN 978-0-393-95733-4.(Definición 9.31)

Enlaces externos

• "Función monótona", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Convergencia de una secuencia monótona por Anik Debnath y Thomas Roxlo (The Harker School), Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Función monótona". MathWorld .