Modelos de campo de fase en gráficos

Modelo matemático basado en gráficos

Los modelos de campo de fase en gráficos son un análogo discreto de los modelos de campo de fase , definidos en un gráfico . Se utilizan en el análisis de imágenes (para la identificación de características) y para la segmentación de redes sociales .

Gráfica funcional de Ginzburg-Landau

Para un gráfico con vértices V y pesos de arista , la función de Ginzburg-Landau del gráfico de un mapa está dada por ${\displaystyle \omega _{i,j}}$ ${\displaystyle u:V\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{\varepsilon }(u)={\frac {\varepsilon }{2}}\sum _{i,j\in V}\omega _{ij}(u_{i}-u_{j})^{2}+{\frac {1}{\varepsilon }}\sum _{i\in V}W(u_{i}),}$

donde W es un potencial de pozo doble, por ejemplo el potencial cuártico W ( x ) = x ² (1 − x ² ). El funcional gráfico de Ginzburg–Landau fue introducido por Bertozzi y Flenner. ^[1] En analogía con los modelos de campo de fase continuo, donde las regiones con u cerca de 0 o 1 son modelos para dos fases del material, los vértices se pueden clasificar en aquellos con u _j cerca de 0 o cerca de 1, y para pequeños , los minimizadores de satisfarán que u _j está cerca de 0 o 1 para la mayoría de los nodos, dividiendo los nodos en dos clases. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle F_{\varepsilon }}$

Graficar la ecuación de Allen-Cahn

Para minimizar de manera efectiva , un enfoque natural es el flujo de gradiente ( descenso más pronunciado ). Esto significa introducir un parámetro de tiempo artificial y resolver la versión gráfica de la ecuación de Allen-Cahn . ${\displaystyle F_{\varepsilon }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u_{j}=-\varepsilon (\Delta u)_{j}-{\frac {1}{\varepsilon }}W'(u_{j}),}$

donde es el laplaciano del grafo . La ecuación de Allen-Cahn del continuo ordinario y la ecuación de Allen-Cahn del grafo son contrapartes naturales, que simplemente reemplazan el cálculo ordinario por el cálculo sobre grafos . Luo y Bertozzi han establecido un resultado de convergencia para un esquema de Allen-Cahn de grafo numérico. ^[2] ${\displaystyle \Delta }$

También es posible adaptar otros esquemas computacionales para el flujo de curvatura media , por ejemplo, esquemas que involucran umbralización como el esquema Merriman-Bence-Osher, a una configuración gráfica, con resultados análogos. ^[3]

Véase también

• Recortes de gráficos en visión artificial

Referencias

1. Bertozzi, A. ; Flenner, A. (1 de enero de 2012). "Modelos de interfaz difusa en gráficos para la clasificación de datos de alta dimensión". Modelado y simulación multiescala . 10 (3): 1090–1118. CiteSeerX  10.1.1.299.4261 . doi :10.1137/11083109X. ISSN  1540-3459.
2. Luo, Xiyang; Bertozzi, Andrea L. (1 de mayo de 2017). "Convergencia del esquema gráfico de Allen–Cahn". Revista de física estadística . 167 (3): 934–958. Bibcode :2017JSP...167..934L. doi : 10.1007/s10955-017-1772-4 . ISSN  1572-9613.
3. van Gennip, Yves. Gráfico de Ginzburg–Landau: dinámica discreta, límites continuos y aplicaciones. Una descripción general. En Ei, S.-I.; Giga, Y.; Hamamuki, N.; Jimbo, S.; Kubo, H.; Kuroda, H.; Ozawa, T.; Sakajo, T.; Tsutaya, K. (30 de julio de 2019). "Actas del 44.º Simposio de Sapporo sobre ecuaciones diferenciales parciales". Serie de informes técnicos de la Universidad de Hokkaido en matemáticas . 177 : 89–102. doi :10.14943/89899.