Modelo de turbulencia del viento de von Kármán

Modelo matemático de ráfagas continuas

El modelo de turbulencia eólica de von Kármán (también conocido como ráfagas de von Kármán ) es un modelo matemático de ráfagas continuas . Coincide mejor con las ráfagas continuas observadas que el modelo de turbulencia eólica de Dryden ^[1] y es el modelo preferido del Departamento de Defensa de los Estados Unidos en la mayoría de las aplicaciones de diseño y simulación de aeronaves. ^[2] El modelo de von Kármán trata los componentes de velocidad lineal y angular de las ráfagas continuas como procesos estocásticos que varían espacialmente y especifica la densidad espectral de potencia de cada componente . El modelo de turbulencia eólica de von Kármán se caracteriza por densidades espectrales de potencia irracionales , por lo que se pueden diseñar filtros que tomen entradas de ruido blanco y generen procesos estocásticos con las densidades espectrales de potencia de las ráfagas de von Kármán aproximadas.

Historia

El modelo de turbulencia del viento de von Kármán apareció por primera vez en un informe de la NACA de 1957 ^[3] basado en un trabajo anterior de Theodore von Kármán . ^{[4] [5] [6]}

Densidades espectrales de potencia

El modelo de von Kármán se caracteriza por densidades espectrales de potencia unilaterales para los tres componentes de velocidad lineal de las ráfagas ( u _g , v _g y w _g ),

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{u_{g}}(\Omega )&=\sigma _{u}^{2}{\frac {2L_{u}}{\pi }}{\frac {1}{\left(1+(1.339L_{u}\Omega )^{2}\right)^{\frac {5}{6}}}}\\\Phi _{v_{g}}(\Omega )&=\sigma _{v}^{2}{\frac {2L_{v}}{\pi }}{\frac {1+{\frac {8}{3}}(2.678L_{v}\Omega )^{2}}{\left(1+(2.678L_{v}\Omega )^{2}\right)^{\frac {11}{6}}}}\\\Phi _{w_{g}}(\Omega )&=\sigma _{w}^{2}{\frac {2L_{w}}{\pi }}{\frac {1+{\frac {8}{3}}(2.678L_{w}\Omega )^{2}}{\left(1+(2.678L_{w}\Omega )^{2}\right)^{\frac {11}{6}}}}\end{aligned}}}$

donde σ _i y L _i son la intensidad de la turbulencia y la longitud de escala, respectivamente, para el componente de velocidad i , y Ω es una frecuencia espacial. ^[2] Estas densidades espectrales de potencia proporcionan variaciones espaciales al proceso estocástico, pero cualquier variación temporal depende del movimiento del vehículo a través del campo de velocidad de ráfaga. La velocidad con la que se mueve el vehículo a través del campo de ráfaga V permite la conversión de estas densidades espectrales de potencia a diferentes tipos de frecuencias, ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\omega }{V}}\\\Phi _{i}(\Omega )&=V\Phi _{i}\left(\omega \right)\end{aligned}}}$

donde ω tiene unidades de radianes por unidad de tiempo.

Los componentes de velocidad angular de la ráfaga ( p _g , q _g , r _g ) se definen como las variaciones de los componentes de velocidad lineal a lo largo de los diferentes ejes del vehículo,

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{g}&={\frac {\partial w_{g}}{\partial y}}\\q_{g}&={\frac {\partial w_{g}}{\partial x}}\\r_{g}&=-{\frac {\partial v_{g}}{\partial x}}\end{aligned}}}$

Aunque en algunas fuentes se pueden utilizar diferentes convenciones de signos, las densidades espectrales de potencia para los componentes de velocidad angular son ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{p_{g}}(\omega )&={\frac {\sigma _{w}^{2}}{2VL_{w}}}{\frac {0.8\left({\frac {2\pi L_{w}}{4b}}\right)^{\frac {1}{3}}}{1+\left({\frac {4b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\\\Phi _{q_{g}}(\omega )&={\frac {\pm \left({\frac {\omega }{V}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {4b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\Phi _{w_{g}}(\omega )\\\Phi _{r_{g}}(\omega )&={\frac {\mp \left({\frac {\omega }{V}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {3b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\Phi _{v_{g}}(\omega )\end{aligned}}}$

Las especificaciones militares proporcionan criterios basados ​​en las derivadas de la estabilidad del vehículo para determinar si los componentes de la velocidad angular de la ráfaga son significativos. ^[9]

Factorización espectral

Las ráfagas generadas por el modelo de von Kármán no son un proceso de ruido blanco y, por lo tanto, pueden denominarse ruido coloreado . El ruido coloreado puede, en algunas circunstancias, generarse como la salida de un filtro lineal de fase mínima a través de un proceso conocido como factorización espectral. Considere un sistema lineal invariante en el tiempo con una entrada de ruido blanco que tiene varianza unitaria , función de transferencia G ( s ) y salida y ( t ). La densidad espectral de potencia de y ( t ) es

${\displaystyle \Phi _{y}(\omega )=|G(i\omega )|^{2}}$

donde i ² = -1. Para densidades espectrales de potencia irracionales, como la del modelo de von Kármán, se puede encontrar una función de transferencia adecuada cuya magnitud al cuadrado evaluada a lo largo del eje imaginario se aproxima a la densidad espectral de potencia. La documentación de MATLAB proporciona una realización de dicha función de transferencia para ráfagas de von Kármán que es consistente con las especificaciones militares, ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{u_{g}}(s)&={\frac {\sigma _{u}{\sqrt {\frac {2L_{u}}{\pi V}}}\left(1+0.25{\frac {L_{u}}{V}}s\right)}{1+1.357{\frac {L_{u}}{V}}s+0.1987\left({\frac {L_{u}}{V}}s\right)^{2}}}\\G_{v_{g}}(s)&={\frac {\sigma _{v}{\sqrt {\frac {2L_{v}}{\pi V}}}\left(1+2.7478{\frac {2L_{v}}{V}}s+0.3398\left({\frac {2L_{v}}{V}}s\right)^{2}\right)}{1+2.9958{\frac {2L_{v}}{V}}s+1.9754\left({\frac {2L_{v}}{V}}s\right)^{2}+0.1539\left({\frac {2L_{v}}{V}}s\right)^{3}}}\\G_{w_{g}}(s)&={\frac {\sigma _{w}{\sqrt {\frac {2L_{w}}{\pi V}}}\left(1+2.7478{\frac {2L_{w}}{V}}s+0.3398\left({\frac {2L_{w}}{V}}s\right)^{2}\right)}{1+2.9958{\frac {2L_{w}}{V}}s+1.9754\left({\frac {2L_{w}}{V}}s\right)^{2}+0.1539\left({\frac {2L_{w}}{V}}s\right)^{3}}}\\G_{p_{g}}(s)&=\sigma _{w}{\sqrt {\frac {0.8}{V}}}{\frac {\left({\frac {\pi }{4b}}\right)^{\frac {1}{6}}}{(2L_{w})^{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {4b}{\pi V}}s\right)}}\\G_{q_{g}}(s)&={\frac {\pm {\frac {s}{V}}}{1+{\frac {4b}{\pi V}}s}}G_{w_{g}}(s)\\G_{r_{g}}(s)&={\frac {\mp {\frac {s}{V}}}{1+{\frac {3b}{\pi V}}s}}G_{v_{g}}(s)\end{aligned}}}$

Al activar estos filtros con ruido blanco independiente, de varianza unitaria y de banda limitada, se obtienen resultados con densidades espectrales de potencia que se aproximan a las densidades espectrales de potencia de los componentes de velocidad del modelo de von Kármán. Los resultados pueden, a su vez, utilizarse como entradas de perturbaciones del viento para aeronaves u otros sistemas dinámicos. ^[10]

Dependencia de la altitud

El modelo de von Kármán está parametrizado por una escala de longitud y una intensidad de turbulencia. La combinación de estos dos parámetros determina la forma de las densidades espectrales de potencia y, por lo tanto, la calidad del ajuste del modelo a los espectros de turbulencia observados. Muchas combinaciones de escala de longitud e intensidad de turbulencia dan densidades espectrales de potencia realistas en los rangos de frecuencia deseados. ^[1] Las especificaciones del Departamento de Defensa incluyen opciones para ambos parámetros, incluida su dependencia de la altitud. ^[11]

Véase también

• Ráfagas continuas
• Modelo de turbulencia eólica de Dryden

Notas

1. Hoblit 1988, cap. 4.
2. MIL-STD-1797A 1990, pág. 678.
3. Diedrich, Franklin W.; Joseph A. Drischler (1957). "Efecto de las variaciones en la intensidad de las ráfagas en el sentido de la envergadura sobre la sustentación debida a la turbulencia atmosférica": NACA TN 3920. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
4. de Kármán, Theodore; Leslie Howarth (1938). "Sobre la teoría estadística de la turbulencia isotrópica". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias matemáticas y físicas . 164 (917): 192–215. Bibcode :1938RSPSA.164..192D. doi : 10.1098/rspa.1938.0013 .
5. von Kármán, Theodore (1948). "Progreso en la teoría estadística de la turbulencia". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 34 (11): 530–539. Bibcode :1948PNAS...34..530V. doi : 10.1073/pnas.34.11.530 . PMC 1079162 . PMID  16588830. 
6. von Kármán, T.; Lin, CC (1951). "Sobre la teoría estadística de la turbulencia isotrópica". En von Mises, Richard; von Kármán, Theodore (eds.). Avances en mecánica aplicada . Academic Press, Inc. págs. 1–19. ISBN 9780080563800.
7. Hoblit 1988, pág. ***.
8. "Modelo de turbulencia eólica de von Karman (continuo)". Páginas de referencia de MATLAB . The MathWorks, Inc. 2010. Consultado el 24 de mayo de 2013 .
9. MIL-STD-1797A 1990, pág. 680.
10. Richardson 2013, pág. 33.
11. MIL-STD-1797A 1990, págs. 673, 678–685, 702.

Referencias

• Hoblit, Frederic M. (1988). Cargas de ráfagas en aeronaves: conceptos y aplicaciones . Washington, DC: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, Inc. ISBN 0930403452.
• Cualidades de vuelo de aeronaves pilotadas (PDF) . Vol. MIL-STD-1797A. Departamento de Defensa de los Estados Unidos. 1990.
• Richardson, Johnhenri (2013). Cuantificación y escalamiento del rendimiento de un avión en condiciones de turbulencia (PDF) (Tesis doctoral). Universidad de Michigan.