Modelo de microplano para leyes constitutivas de materiales

El modelo de microplano , concebido en 1984, ^[1] es un modelo constitutivo de material para el daño por ablandamiento progresivo. Su ventaja sobre los modelos constitutivos tensoriales clásicos es que puede capturar la naturaleza orientada del daño, como el agrietamiento por tracción , el deslizamiento, la fricción y la división por compresión, así como la orientación del refuerzo de fibra. Otra ventaja es que la anisotropía de materiales como el esquisto gaseoso o los compuestos de fibra se puede representar de manera efectiva. Para evitar la localización inestable de la deformación (y la sensibilidad de malla espuria en los cálculos de elementos finitos), este modelo debe usarse en combinación con alguna formulación de continuo no local (por ejemplo, el modelo de banda de grietas). Antes de 2000, estas ventajas se veían superadas por mayores demandas computacionales de la subrutina de material, pero gracias al enorme aumento de la potencia de las computadoras, el modelo de microplano ahora se usa rutinariamente en programas de computadora, incluso con decenas de millones de elementos finitos .

Método y motivación

La idea básica del modelo de microplano es expresar la ley constitutiva no en términos de tensores , sino en términos de vectores de tensión y deformación que actúan sobre planos de varias orientaciones llamados microplanos. El uso de vectores se inspiró en la idea de GI Taylor en 1938 ^[2] que condujo a los modelos de Taylor para la plasticidad de los metales policristalinos. ^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8] Pero los modelos de microplano ^[1]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13] difieren conceptualmente de dos maneras.

En primer lugar, para evitar la inestabilidad del modelo en el daño por ablandamiento posterior al pico , se debe utilizar la restricción cinemática en lugar de la estática. Por lo tanto, el vector de deformación (en lugar del estrés) en cada microplano es la proyección del tensor de deformación macroscópico , es decir,

\varepsilon _{N}=\varepsilon _{ij}N_{ij}~~\varepsilon _{M}=\varepsilon _{ij}M_{ij}~~\varepsilon _{L}=\varepsilon _{ij}L_{ij}

donde y son el vector normal y dos vectores de deformación correspondientes a cada microplano, y y donde y son tres vectores mutuamente ortogonales , uno normal y dos tangenciales, que caracterizan cada microplano particular (los subíndices se refieren a coordenadas cartesianas). $\varepsilon _ {N}, \ varepsilon _ {M}$ $\varepsilon _{L}$ $N_{ij}=n_{i}n_{j},M_{ij}=(n_{i}m_{j}+m_{i}n_{j})/2$ $L_{ij}=(n_{i}\ell _ {j}+\ell _ {i}n_ {j})/2$ $n_{i},m_{i}$ $\ell _{i}$ $i,j=1,2,3$

En segundo lugar, un principio variacional (o principio de trabajo virtual ) relaciona los componentes del vector de tensión en los microplanos ( y ) con el tensor de tensión del macrocontinuo , para asegurar el equilibrio. Esto produce para el tensor de tensión la expresión: ^[9]^[13] $\sigma_{N},\sigma_{M}$ $estilo de visualización {\displaystyle \sigma__{L}}$ $estilo de visualización sigma _{ij}$

\sigma _{ij}={\frac {3}{2\pi }}\int _{\Omega }s_{ij}\,d\Omega \approx 6\sum _{\mu =1}^{N_{m}}w_{\mu }s_{ij}^{(\mu )}

con

s_{ij}=\sigma _{N}N_{ij}+\sigma _{L}L_{ij}+\sigma _{M}M_{ij}

Aquí se muestra la superficie de un hemisferio unitario y la suma es una aproximación de la integral . Los pesos, , se basan en una fórmula de integración gaussiana óptima para una superficie esférica. ^[9]^[14]^[15] Se necesitan al menos 21 microplanos para lograr una precisión aceptable, pero 37 son claramente más precisos. ${\estilo de visualización \Omega}$ $w_{\mu}(\mu =1,2,\ldots ,n_{M})$

El comportamiento inelástico o de daño se caracteriza por someter a los microplanos a tensiones y límites de resistencia dependientes de la deformación, llamados límites de tensión-deformación, impuestos a cada microplano. Son de cuatro tipos, ^[13] a saber: $\sigma_{N},\sigma_{M}$ $estilo de visualización {\displaystyle \sigma__{L}}$

El límite normal de tracción: para capturar la fracturación por tracción progresiva;
El límite volumétrico compresivo: para capturar fenómenos como el colapso de poros bajo presiones extremas;
El límite de corte: para capturar la fricción; y
Límite desviador de compresión: para capturar el ablandamiento en la compresión, utilizando la tensión volumétrica y la tensión desviadora en los microplanos. $\sigma _{V}=\sigma _{kk}/3$ $\sigma _{D}=\sigma _{N}-\sigma _{V}$

Cada paso del análisis explícito comienza con un predictor elástico y, si se ha excedido el límite, el componente del vector de tensión en el microplano se reduce a una deformación constante hasta el límite.

Aplicaciones

El modelo constitutivo de microplano para daños en hormigón evolucionó desde 1984 a través de una serie de modelos progresivamente mejorados etiquetados M0, M1, M2, ..., M7. ^[13] También se extendió a compuestos de fibra (laminados tejidos o trenzados), roca , masa rocosa articulada, arcilla , arena , espuma y metal . ^[8]^[11]^[16]^{[17] [18] [19}^{] [}^20]^[^21]^[22]^[23]^{[24] [}^25] Se ha demostrado que el modelo de microplano permite ajustes cercanos de los datos de prueba de hormigón para cargas uniaxiales , biaxiales y triaxiales con ablandamiento posterior al pico, ciclos de carga de compresión-tensión, fracturas de apertura y de modo mixto, fallas de tensión-cizallamiento y compresión-cizallamiento, compresión axial seguida de torsión (es decir, el efecto de vértice) y fatiga. También se han incorporado el efecto de la velocidad de carga y la fluencia del hormigón por envejecimiento a largo plazo. Los modelos M4 y M7 se han generalizado a deformaciones finitas. El modelo de microplano se ha introducido en varios programas comerciales (ATENA, OOFEM, DIANA, SBETA,...) y en grandes códigos de onda propietarios (EPIC, PRONTO, MARS,...). Alternativamente, se utiliza a menudo como subrutina del usuario, como UMAT o VUMAT en ABAQUS.

Referencias

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