Modelo Su-Schrieffer-Heeger

Modelo simple de aislante topológico

Trans -poliacetileno

En física de la materia condensada , el modelo Su–Schrieffer–Heeger ( SSH ) o cadena SSH es un modelo reticular unidimensional que presenta características topológicas . ^[1] Fue ideado por Wu-Pei Su, John Robert Schrieffer y Alan J. Heeger en 1979, para describir el aumento de la conductividad eléctrica de la cadena de polímero de poliacetileno cuando se dopa, basándose en la existencia de defectos solitónicos . ^{[2] [3]} Es un enfoque de enlace estrecho mecánico cuántico , que describe el salto de electrones sin espín en una cadena con dos tipos de enlaces alternados. ^[1] Los electrones en un sitio dado solo pueden saltar a sitios adyacentes. ^[1]

Dependiendo de la relación entre las energías de salto de los dos enlaces posibles, el sistema puede estar en fase metálica (conductora) o en fase aislante . La cadena SSH finita puede comportarse como un aislante topológico , dependiendo de las condiciones de contorno en los bordes de la cadena. Para la cadena finita, existe una fase aislante, que es topológicamente no trivial y permite la existencia de estados de borde que se localizan en los límites. ^[1]

Descripción

El modelo describe una red unidimensional semillena, con dos sitios por celda unitaria, A y B , que corresponden a un solo electrón por celda unitaria. En esta configuración, cada electrón puede saltar dentro de la celda unitaria o saltar a una celda adyacente a través de los sitios vecinos más cercanos. Como con cualquier modelo 1D, con dos sitios por celda, habrá dos bandas en la relación de dispersión (generalmente llamadas bandas ópticas y acústicas). Si las bandas no se tocan, hay una brecha de banda. Si la brecha se encuentra en el nivel de Fermi , entonces el sistema se considera un aislante .

El hamiltoniano de enlace fuerte en una cadena con N sitios se puede escribir como ^[1]

${\displaystyle H=v\sum _{n=1}^{N}|n,B\rangle \langle n,A|+w\sum _{n=1}^{N}|n+1,A\rangle \langle n,B|+\mathrm {h.c.} }$

donde hc denota el conjugado hermítico , v es la energía requerida para saltar de un sitio A a B dentro de la celda unitaria, y w es la energía requerida para saltar entre celdas unitarias. Aquí la energía de Fermi se fija en cero.

Solución a granel

Esquema de la estructura de bandas de un aislante topológico (como en la cadena SSH masiva). El nivel de Fermi se encuentra dentro de la brecha de banda masiva.

La relación de dispersión para el volumen se puede obtener mediante una transformada de Fourier . Tomando condiciones de contorno periódicas , donde , pasamos al espacio k haciendo ${\displaystyle |N+1,X\rangle =|1,X\rangle }$ ${\displaystyle X=A,B}$

${\displaystyle |n,X\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}e^{ikn}|k,X\rangle }$,

lo que da como resultado el siguiente hamiltoniano

${\displaystyle H=\sum _{k}(v+e^{ik}w)|k,A\rangle \langle k,B|+{\text{h.c.}}=\sum _{k}H(k)|k\rangle \langle k|,}$

${\displaystyle H(k)={\begin{pmatrix}0&v+e^{ik}w\\v+e^{-ik}w&0\end{pmatrix}}}$

donde las energías propias se calculan fácilmente como

${\displaystyle E_{vw}=\pm {\sqrt {v^{2}+w^{2}+2vw\cos k}},}$

y los estados propios correspondientes son

${\displaystyle |k,\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\pm e^{i\phi _{k}}|k,A\rangle +|k,B\rangle \right),}$

dónde

${\displaystyle \tan \phi _{k}={\frac {w\sin k}{v+w\cos k}}.}$

Las energías propias son simétricas bajo el intercambio de , y la relación de dispersión es mayoritariamente entrecortada (aislante) excepto cuando (metal). Al analizar las energías, el problema es aparentemente simétrico con respecto a , el tiene la misma dispersión que . Sin embargo, no todas las propiedades del sistema son simétricas, por ejemplo, los vectores propios son muy diferentes bajo el intercambio de . Se puede demostrar, por ejemplo, que la conexión de Berry ${\displaystyle v\leftrightarrow w}$ ${\displaystyle v=w}$ ${\displaystyle v=w}$ ${\displaystyle v>w}$ ${\displaystyle v<w}$ ${\displaystyle v\leftrightarrow w}$

${\displaystyle A_{-}(k)=i\left\langle k,-\left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\right|k,-\right\rangle =-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} \phi _{k}}{\mathrm {d} k}},}$

Integrado sobre la zona de Brillouin , produce diferentes números de bobinado : ^[1] ${\displaystyle k\in \{-\pi ,\pi \}}$

${\displaystyle g=-{\frac {1}{\pi }}\int _{\rm {BZ}}A_{-}(k)\mathrm {d} k=\left\{{\begin{matrix}0&v>w\\{\text{undefined}}&v=w\\1&v<w\end{matrix}}\right.,}$

mostrando que las dos fases aislantes, y , son topológicamente diferentes (pequeños cambios en v y w cambian pero no sobre la zona de Brillouin). El número de bobinado permanece indefinido para el caso metálico . Esta diferencia en la topología significa que no se puede pasar de una fase aislante a otra sin cerrar el espacio (pasando por la fase metálica). Este fenómeno se llama transición de fase topológica. ^[1] ${\displaystyle v>w}$ ${\displaystyle v<w}$ ${\displaystyle A_{-}(k)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v=w}$

Solución de cadena finita y estados de borde

Las consecuencias físicas de tener un número de vueltas diferente se hacen más evidentes en el caso de una cadena finita con un número par de puntos de la red. Es mucho más difícil diagonalizar el hamiltoniano analíticamente en el caso finito debido a la falta de simetría traslacional. ^[1] ${\displaystyle N}$

Casos dimerizados

Existen dos casos límite para la cadena finita, o bien o bien . En ambos casos, la cadena es claramente un aislante, ya que la cadena está dividida en dímeros (dimerizada). Sin embargo, uno de los dos casos consistiría en dímeros, mientras que el otro caso consistiría en dímeros y dos sitios no apareados en los bordes de la cadena. En el último caso, como no hay energía en el sitio, si un electrón se encuentra en cualquiera de los dos sitios del borde, su energía sería cero. Por lo tanto, el caso o bien el caso tendría necesariamente dos estados propios con energía cero, mientras que el otro caso no tendría estados propios de energía cero. A diferencia del caso masivo, los dos casos límite no son simétricos en su espectro. ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle N/2}$ ${\displaystyle (N-2)/2}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle w=0}$

Valores intermedios

Al representar gráficamente los estados propios de la cadena finita en función de la posición, se puede demostrar que hay dos tipos distintos de estados. Para energías propias distintas de cero, las funciones de onda correspondientes estarían deslocalizadas a lo largo de la cadena, mientras que los estados propios de energía cero representarían amplitudes localizadas en los puntos de los bordes. Estos últimos se denominan estados de borde. Incluso si las energías propias se encuentran en el espacio, los estados de borde están localizados y corresponden a una fase aislante.

Al representar gráficamente el espectro como una función de para un valor fijo de , el espectro se divide en dos regiones aislantes divididas por la intersección metálica en . El espectro estaría dividido en ambas regiones aislantes, pero una de las regiones mostraría estados propios de energía cero y la otra región no, lo que corresponde a los casos dimerizados. La existencia de estados de borde en una región y no en la otra demuestra la diferencia entre fases aislantes y es esta transición aguda en la que corresponde a una transición de fase topológica. ^[1] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w=v}$ ${\displaystyle w=v}$

Correspondencia entre soluciones finitas y masivas

El caso masivo permite predecir qué región aislante presentaría estados de borde, dependiendo del valor del número de devanados en el caso masivo. Para la región donde el número de devanados está en el masivo, la cadena finita correspondiente con un número par de sitios presentaría estados de borde, mientras que para la región donde el número de devanados está en el caso masivo, la cadena finita correspondiente no lo haría. Esta relación entre los números de devanados en el masivo y los estados de borde en la cadena finita se denomina correspondencia masivo-borde . ^[1] ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle g=0}$

Véase también

• Cadena Kitaev
• Transición de Peierls

Referencias

1. Batra, Navketan; Sheet, Goutam (2020). "Física con café y donas: comprensión de la física detrás de los aislantes topológicos a través del modelo Su-Schrieffer-Heeger". Resonancia . 25 (6): 765–786. arXiv : 1906.08435 . doi :10.1007/s12045-020-0995-x. ISSN  0971-8044. S2CID  225802659.
2. Meier, Eric J.; An, Fangzhao Alex; Gadway, Bryce (23 de diciembre de 2016). "Observación del estado solitón topológico en el modelo Su–Schrieffer–Heeger". Nature Communications . 7 (1): 13986. arXiv : 1607.02811 . Bibcode :2016NatCo...713986M. doi :10.1038/ncomms13986. ISSN  2041-1723. PMC 5196433 . PMID  28008924. 
3. Su, WP; Schrieffer, JR; Heeger, AJ (18 de junio de 1979). "Solitones en poliacetileno". Physical Review Letters . 42 (25): 1698–1701. Código Bibliográfico :1979PhRvL..42.1698S. doi :10.1103/PhysRevLett.42.1698. ISSN  0031-9007.