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Modelo Fermi-Ulam

El modelo de Fermi-Ulam (FUM) es un sistema dinámico introducido por el matemático polaco Stanislaw Ulam en 1961.

FUM es una variante del trabajo principal de Enrico Fermi sobre la aceleración de los rayos cósmicos , concretamente la aceleración de Fermi . El sistema consta de una partícula que choca elásticamente entre una pared fija y otra en movimiento, cada una de masa infinita. Las paredes representan los espejos magnéticos con los que chocan las partículas cósmicas .

AJ Lichtenberg y MA Lieberman proporcionaron una versión simplificada de FUM (SFUM) que se deriva de la superficie de sección de Poincaré y escribe


donde es la velocidad de la partícula después de la enésima colisión con la pared fija, es la fase correspondiente de la pared en movimiento, es la ley de velocidad de la pared en movimiento y es el parámetro de estocasticidad del sistema.

Si la ley de velocidad de la pared en movimiento es suficientemente diferenciable, según el teorema de KAM existen curvas invariantes en el espacio de fases . Estas curvas invariantes actúan como barreras que no permiten que una partícula se acelere más y la velocidad promedio de una población de partículas se satura después de iteraciones finitas del mapa. Por ejemplo, para la ley de velocidad sinusoidal de una pared en movimiento existen tales curvas, mientras que no existen para la ley de velocidad en diente de sierra que es discontinua. En consecuencia, en el primer caso las partículas no pueden acelerar infinitamente, al contrario de lo que ocurre en el último.

Con el paso de los años, FUM se convirtió en un modelo prototipo para estudiar dinámicas no lineales y mapeos acoplados .

La solución rigurosa del problema de Fermi-Ulam (la velocidad y la energía de la partícula están acotadas) fue dada por primera vez por LD Pustyl'nikov en [1] (ver también [2] y las referencias allí).

A pesar de estos resultados negativos, si se considera el modelo de Fermi-Ulam en el marco de la teoría especial de la relatividad , entonces, bajo algunas condiciones generales, la energía de la partícula tiende al infinito para un conjunto abierto de datos iniciales. [3]

generalización 2D

Aunque el modelo 1D de Fermi-Ulam no conduce a una aceleración para oscilaciones suaves, se ha observado un crecimiento de energía ilimitado en billares 2D con límites oscilantes, [4] [5] [6] [7] [8] La tasa de crecimiento de energía en Se encuentra que el billar caótico es mucho más grande que el de los billares que son integrables en el límite estático.

El billar fuertemente caótico con límites oscilantes puede servir como paradigma para sistemas caóticos impulsados. [9] En el ámbito experimental este tema surge en la teoría de la fricción nuclear , [10] [11] y más recientemente en los estudios de átomos fríos que quedan atrapados en billares ópticos . [12] La conducción induce la difusión de energía, [13] [14] y, en consecuencia, el coeficiente de absorción está determinado por la fórmula de Kubo. [15] [16] [17] [18]

Referencias

  1. ^ LD Pustyl'nikov, (1983). Sobre un problema de Ulam. Teoret. Mat.Fiz.57, 128-132. ingles. trad. en Theor. Matemáticas. Física. 57.
  2. ^ LD Pustyl'nikov (1995). "Modelos de Poincaré, justificación rigurosa de la segunda ley de la termodinámica desde la mecánica y mecanismo de aceleración de Fermi". Matemáticas rusas. Encuestas . 50 (1): 145–189. Código Bib : 1995RuMaS..50..145P. doi :10.1070/RM1995v050n01ABEH001663. S2CID  250875392.
  3. ^ LD Pustyl'nikov (1988). "Un nuevo mecanismo para la aceleración de partículas y un análogo relativista del modelo de Fermi-Ulam". Teor. Matemáticas. Física . 77 (1): 1110-1115. Código bibliográfico : 1988TMP....77.1110P. doi :10.1007/BF01028687. S2CID  120290250.
  4. ^ Loskutov A., Ryabov AB, Akinshin LG (2000). "Propiedades de algunos billares caóticos con límites que dependen del tiempo". J. Física. R: Matemáticas. Gen.​ 33 (44): 7973. Código bibliográfico : 2000JPhA...33.7973L. doi :10.1088/0305-4470/33/44/309. S2CID  55969054.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  5. ^ AP Itin, AI Neishtadt, AA Vasiliev (2001), Fenómenos resonantes en billares rectangulares lentamente perturbados, Phys. Letón. A 291, 133. https://doi.org/10.1016/S0375-9601(01)00670-3
  6. ^ Gelfreich V., Turaev D. (2008). "Aceleración de Fermi en billar no autónomo". J. Física. R: Matemáticas. Teor . 41 (21): 212003. Código Bib :2008JPhA...41u2003G. doi :10.1088/1751-8113/41/21/212003. S2CID  12572964.
  7. ^ F. Lenz; FK Diakonos; P. Schmelcher (2008). "Aceleración sintonizable de Fermi en el billar elíptico impulsado". Física. Rev. Lett . 100 (1): 014103. arXiv : 0801.0641 . Código bibliográfico : 2008PhRvL.100a4103L. doi :10.1103/PhysRevLett.100.014103. PMID  18232773. S2CID  35145404.
  8. ^ AP Itin, AI Neishtadt (2012), Aceleración de Fermi en billares rectangulares dependientes del tiempo debido a múltiples pasajes a través de resonancias, Caos 22, 026119. https://doi.org/10.1063/1.4705101
  9. ^ Sistemas mesoscópicos caóticos impulsados, disipación y decoherencia , en Actas de la 38ª Escuela de Física Teórica de Invierno de Karpacz, editado por P. Garbaczewski y R. Olkiewicz (Springer, 2002). https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403061
  10. ^ DHE bruto (1975). "Teoría de la fricción nuclear". Núcleo. Física. A . 240 (3): 472–484. Código bibliográfico : 1975NuPhA.240..472G. doi :10.1016/0375-9474(75)90305-X.
  11. ^ Blocki J., Boneh Y., Nix JR, Randrup J., Robel M., Sierk AJ, Swiatecki WJ (1978). "Disipación de un cuerpo y superviscidez de los núcleos". Ana. Física . 113 (2): 330. Bibcode : 1978AnPhy.113..330B. doi :10.1016/0003-4916(78)90208-7.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  12. ^ Friedman N., Kaplan A., Carasso D., Davidson N. (2001). "Observación de la dinámica caótica y regular en billares de óptica atómica". Física. Rev. Lett . 86 (8): 1518–21. Código bibliográfico : 2001PhRvL..86.1518F. doi : 10.1103/physrevlett.86.1518. PMID  11290182.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  13. ^ E. Ott (1979). "Bondad de las invariantes adiabáticas ergódicas". Física. Rev. Lett . 42 (24): 1628-1631. Código bibliográfico : 1979PhRvL..42.1628O. doi :10.1103/PhysRevLett.42.1628.
  14. ^ R. Marrón; E. Ott; C. Grebogi (1987). "Invariantes adiabáticas ergódicas de sistemas caóticos". Física. Rev. Lett . 59 (11): 1173-1176. Código bibliográfico : 1987PhRvL..59.1173B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.1173. PMID  10035162.
  15. ^ Wilkinson M (1988). "Aspectos estadísticos de la disipación por las transiciones Landau-Zener". J. Física. A . 21 (21): 4021. Código bibliográfico : 1988JPhA...21.4021W. doi :10.1088/0305-4470/21/21/011.
  16. ^ Cohen D (2000). "El caos y la energía se extienden para los hamiltonianos dependientes del tiempo y los diversos regímenes en la teoría de la disipación cuántica". Anales de Física . 283 (2): 175. arXiv : cond-mat/9902168 . Código Bib : 2000AnPhy.283..175C. doi :10.1006/aphy.2000.6052. S2CID  51787849.
  17. ^ Barnett A., Cohen D., Heller EJ (2000). "Deformaciones y dilataciones de billares caóticos: tasa de disipación y cuasiortogonalidad de las funciones de onda límite". Física. Rev. Lett . 85 (7): 1412–5. arXiv : nlin/0003018 . Código bibliográfico : 2000PhRvL..85.1412B. doi :10.1103/physrevlett.85.1412. PMID  10970517. S2CID  10273905.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  18. ^ Barnett A., Cohen D., Heller EJ (2001). "Tasa de absorción de energía para una cavidad caótica impulsada". J. Física. A . 34 (3): 413–438. arXiv : nlin/0006041 . Código Bib : 2001JPhA...34..413B. doi :10.1088/0305-4470/34/3/308. S2CID  10454573.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )

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