Modelado sin ecuaciones

El modelado sin ecuaciones es un método para el cálculo multiescala y el análisis asistido por computadora . Está diseñado para una clase de sistemas complicados en los que se observa la evolución a una escala de interés macroscópica y burda, mientras que los modelos precisos sólo se dan a un nivel de descripción microscópico y finamente detallado. El marco permite realizar tareas computacionales macroscópicas (en grandes escalas espacio-temporales) utilizando solo simulación microscópica apropiadamente inicializada en escalas de tiempo corto y pequeña. La metodología elimina la derivación de ecuaciones de evolución macroscópica explícita cuando estas ecuaciones existen conceptualmente pero no están disponibles en forma cerrada; de ahí el término libre de ecuaciones. ^[1]

Introducción

En una amplia gama de sistemas químicos, físicos y biológicos, el comportamiento macroscópico coherente surge de las interacciones entre las propias entidades microscópicas (moléculas, células, granos, animales de una población, agentes) y con su entorno. A veces, sorprendentemente, un modelo de ecuación diferencial de escala gruesa (como las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo de fluidos o un sistema de reacción-difusión ) puede describir con precisión el comportamiento macroscópico. Dicho modelado a macroescala hace uso de principios generales de conservación (átomos, partículas, masa, momento, energía) y se cierra en un sistema bien planteado a través de ecuaciones constitutivas fenomenológicas o ecuaciones de estado . Sin embargo, cada vez más nos topamos con sistemas complejos que sólo cuentan con modelos microscópicos conocidos a escala fina. En tales casos, aunque observamos el surgimiento de un comportamiento macroscópico a gran escala, modelarlo a través de relaciones de cierre explícitas puede ser imposible o poco práctico. Algunos ejemplos típicos son el flujo de fluidos no newtonianos , la quimiotaxis , el transporte en medios porosos , la epidemiología , el modelado cerebral y los sistemas neuronales. El modelado libre de ecuaciones tiene como objetivo utilizar dichos modelos de microescala para predecir fenómenos emergentes de macroescala burda.

Realizar tareas computacionales de escala gruesa directamente con modelos de escala fina a menudo no es factible: la simulación directa en todo el dominio espacio-temporal de interés suele ser computacionalmente prohibitiva. Además, las tareas de modelado, como el análisis de bifurcación numérica , a menudo son imposibles de realizar directamente en el modelo de escala fina: un estado estacionario de escala gruesa puede no implicar un estado estacionario para el sistema de escala fina, ya que las moléculas o partículas individuales no deje de moverse cuando la densidad o presión del gas se vuelva estacionaria. El modelado sin ecuaciones evita estos problemas mediante el uso de breves ráfagas de simulación a escala fina adecuadamente inicializada y, en problemas espaciales, en pequeñas zonas de espacio bien separadas. ^{[2] [3]} Una caja de herramientas gratuita de Matlab/Octave permite a las personas utilizar estos métodos sin ecuaciones. ^[4]

El tosco paso a paso del tiempo

Los problemas dinámicos invocan el burdo paso del tiempo. En esencia, breves ráfagas de experimentos computacionales con el simulador de escala fina estiman las derivadas de la hora local. Dada una condición inicial para las variables generales en el tiempo , el paso de tiempo aproximado implica cuatro pasos: ${\displaystyle U(t_{k})}$ ${\displaystyle t_{k}}$

• El levantamiento crea condiciones iniciales a microescala , consistentes con el macroestado ; ${\displaystyle u(t_{k})}$ ${\displaystyle U(t_{k})}$
• Simulación, utiliza el simulador de microescala para calcular el estado de microescala en un intervalo corto ; ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle t_{k}\leq t\leq t_{k}+\delta t}$
• Restricción, obtiene el macroestado del estado de escala fina ; ${\displaystyle U(t_{k}+\delta t)}$ ${\displaystyle u(t)}$
• el paso de tiempo, la extrapolación del macroestado de a predice el estado del macrotiempo en el futuro. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle t_{k}}$ ${\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+\Delta t}$

Múltiples pasos de tiempo simulan el sistema en el macrofuturo. Si el modelo de microescala es estocástico, entonces puede ser necesario un conjunto de simulaciones de microescala para obtener una extrapolación suficientemente buena en el paso de tiempo. Un paso de tiempo tan aproximado se puede utilizar en muchos algoritmos de análisis numérico continuo tradicional, como análisis de bifurcación numérica, optimización, control e incluso simulación acelerada a escala gruesa. Para sistemas deterministas, la caja de herramientas Matlab/Octave proporciona al usuario pasos de tiempo precisos de orden superior: ^[4] un esquema Runge-Kutta de segundo y cuarto orden, y un esquema de interfaz general.

Tradicionalmente, las fórmulas algebraicas determinan las derivadas temporales del modelo aproximado. En este enfoque, la derivada a macroescala es estimada por el simulador interno a microescala, realizando de hecho un cierre según demanda. Una razón para el nombre libre de ecuaciones es por analogía con el álgebra lineal numérica sin matrices ; ^[5] el nombre enfatiza que las ecuaciones de nivel macro nunca se construyen explícitamente en forma cerrada.

Restricción

El operador de restricción a menudo se deriva directamente de la elección específica de las variables de macroescala. Por ejemplo, cuando el modelo a microescala desarrolla un conjunto de muchas partículas, la restricción normalmente calcula los primeros momentos de la distribución de las partículas (la densidad, el momento y la energía).

Levantamiento

El operador de elevación suele estar mucho más involucrado. Por ejemplo, considere un modelo de partículas: necesitamos definir un mapeo desde algunos momentos de bajo orden de la distribución de partículas hasta las condiciones iniciales de cada partícula. La suposición de que existe una relación que se cierra en estos momentos gruesos y de bajo orden, implica que las configuraciones detalladas a microescala son funcionales de los momentos (a veces denominados esclavos ^[6] ). Suponemos que esta relación se establece/surge en escalas de tiempo que son rápidas en comparación con la evolución general del sistema (ver teoría y aplicaciones de la variedad lenta ^[7] ). Desafortunadamente, las relaciones de cierre (relaciones de esclavitud) son algebraicamente desconocidas (ya que de lo contrario se conocería la ley de evolución aproximada).

La inicialización aleatoria de los modos de microescala desconocidos introduce un error de elevación: confiamos en la separación de escalas de tiempo macro y micro para garantizar una relajación rápida de las funciones de los macroestados gruesos (curación). Es posible que se requiera un paso preparatorio, que posiblemente implique simulaciones a microescala limitadas a mantener fijos los macroestados. ^[8] Cuando el sistema tiene un punto fijo único para los detalles de microescala desconocidos condicionados a los macroestados gruesos, un algoritmo de ejecuciones restringidas puede realizar este paso preparatorio utilizando solo el controlador de tiempo de microescala. ^[9]

Un ejemplo ilustrativo

Un problema con un juguete ilustra los conceptos básicos. Por ejemplo, considere el sistema de ecuaciones diferenciales para dos variables : ${\displaystyle (U(t),u(t))}$

${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-U-u+2\,,\quad {\frac {du}{dt}}=100(U^{3}-u).}$

Capital denota la supuesta variable de macroescala y minúscula la variable de microescala. Esta clasificación significa que asumimos que existe un modelo aproximado de la forma, aunque no necesariamente sabemos qué es. Defina arbitrariamente el levantamiento de cualquier macroestado dado como . En la figura se muestra una simulación utilizando este levantamiento y el paso a paso del tiempo aproximado. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle dU/dt=G(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U,u)=(U,0.5)}$

Pasos de tiempo aproximados sin ecuaciones aplicados al ejemplo ilustrativo del sistema de ecuaciones diferenciales utilizando y . ${\displaystyle \delta t=0.1}$ ${\displaystyle U(0)=-1}$

La solución de la ecuación diferencial se mueve rápidamente a la variedad lenta para cualquier dato inicial. La solución aproximada de pasos en el tiempo concordará mejor con la solución completa cuando se aumenta el factor 100. El gráfico muestra la solución levantada (línea continua azul) . En ocasiones , la solución se restringe y luego se vuelve a levantar, lo que aquí es simplemente configurar . El colector lento se muestra como una línea roja. El gráfico de la derecha muestra la derivada temporal de la solución restringida en función del tiempo (curva azul), así como la derivada temporal (la derivada temporal aproximada), como se observa en una simulación completa (curva roja). ${\displaystyle u\approx U^{3}}$ ${\displaystyle (U,u)}$ ${\displaystyle t=n\delta t}$ ${\displaystyle u(n\delta t)=0.5}$ ${\displaystyle dU/dt}$

Sobre la aplicación a problemas concretos multiescala.

El enfoque sin ecuaciones se ha aplicado a muchos ejemplos. Los ejemplos ilustran las diversas formas de construir y ensamblar los bloques de construcción algorítmicos. El análisis numérico establece la precisión y eficiencia de este enfoque. También se han realizado análisis numéricos adicionales sobre otros métodos de este tipo. ^[10]

Aplicar el paradigma sin ecuaciones a un problema real requiere un cuidado considerable, especialmente al definir los operadores de elevación y restricción, y el solucionador externo apropiado.

• El primer desafío es identificar los observables a macroescala. Deben ser lo suficientemente completos para que las variables desconocidas a microescala puedan reconstruirse (eliminarse) de manera confiable. Los argumentos físicos a menudo identifican los observables a macroescala. Casi siempre se invoca densidades, pero hay algunos ejemplos sorprendentemente simples en los que las funciones de correlación son variables esenciales a macroescala. ^[11] Si no se recurre a argumentos físicos, entonces la minería de datos moderna o múltiples técnicas de aprendizaje, como Isomap o mapas de difusión, pueden obtener las variables a macroescala a partir de la simulación a microescala. ^[12]
• Debería haber una separación clara entre las escalas de tiempo de los observables a macroescala y las escalas de tiempo de los modos de microescala restantes casi equilibrados dado cualquier macroestado.
• Conocer los observables a macroescala podría no ser suficiente. Una estrategia para obtener dicha información es el esquema de agua de baño para bebés que utiliza sólo simulaciones adecuadamente inicializadas. ^[13]

Análisis de bifurcación gruesa.

El método de proyección recursiva ^[14] permite el cálculo de diagramas de bifurcación utilizando código de simulación heredado. También permite que el medidor de tiempo aproximado realice cálculos de bifurcación sin ecuaciones. Considere el paso a paso del tiempo en su forma efectiva

${\displaystyle {\vec {U}}^{n+1}={\vec {S}}({\vec {U}}^{n},\lambda ;\delta t),}$

que incluye dependencia explícita de uno o más parámetros . El análisis de bifurcación calcula equilibrios u órbitas periódicas , su estabilidad y dependencia de los parámetros . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Calcule un equilibrio aproximado como un punto fijo del paso a paso de tiempo aproximado

${\displaystyle {\vec {U}}-{\vec {S}}({\vec {U}},\lambda ;\delta t)={\vec {0}}.}$

En el contexto libre de ecuaciones, el método de proyección recursiva es el solucionador externo de esta ecuación, y el paso a paso en el tiempo aproximado permite realizar este método utilizando dinámica de escala fina.

Además, para problemas en los que la macroescala tiene simetrías continuas, se puede utilizar un enfoque basado en plantillas ^[15] para calcular soluciones de ondas viajeras o autosimilares gruesas como puntos fijos de un paso de tiempo aproximado que también codifica el cambio de escala y/o el cambio de escala apropiados. espacio-tiempo y/o solución. Por ejemplo, se pueden encontrar soluciones de difusión autosemejantes como función de densidad de probabilidad de la dinámica molecular detallada . ^[dieciséis]

Una alternativa al método de proyección recursiva es utilizar los métodos de Newton-Krylov. ^[17]

Integración proyectiva gruesa

El paso a paso de tiempo aproximado acelera la simulación en tiempos de macroescala grandes. En el esquema descrito anteriormente, sea el gran paso de tiempo macro y esté en la escala de tiempo de la dinámica lenta y gruesa. Deje que se calcule en términos de la variable gruesa y deje que la simulación a microescala se calcule a partir de una simulación de tiempo local con la condición inicial de que la variable gruesa . Luego nos aproximamos extrapolando sobre una brecha por ${\displaystyle \Delta t\gg \delta t}$ ${\displaystyle U^{n}\approx U(n\Delta t)}$ ${\displaystyle U^{n,k}\approx U(n\Delta t+k\delta t)}$ ${\displaystyle U(n\Delta t)=U^{n}=U^{n,0}}$ ${\displaystyle U((n+1)\Delta t)}$

${\displaystyle U^{n+1}=U^{n,k}+(\Delta t-k\delta t)F({\vec {U}}^{n})}$

donde, por ejemplo, una extrapolación lineal simple sería

${\displaystyle F({\vec {U}}^{n})=(U^{n,k}-U^{n,k-1})/\delta t}$

Este esquema se llama Euler proyectivo grueso directo y es el más simple de su clase.

Los pasos dados antes de la extrapolación reflejan que debemos permitir que el sistema se establezca en un cuasi equilibrio (desde el punto de vista de la microescala), para que podamos hacer una extrapolación confiable de la dinámica lenta. Entonces el tamaño del paso de integración proyectiva está limitado por la estabilidad de los modos lentos. ^[18] ${\displaystyle k}$

Se pueden formar versiones de orden superior de integración proyectiva burda, análogas a Adams-Bashforth o Runge-Kutta . ^[19] Los esquemas de orden superior para sistemas donde el ruido a microescala todavía es evidente en el paso de tiempo a macroescala son más problemáticos. ^[20]

Dinámica de parches

El análogo espacial de la integración proyectiva es el esquema de dientes huecos. La idea del esquema de dientes huecos es realizar simulaciones de pequeños parches de espacio, los dientes, separados por un espacio no simulado, los huecos. Al acoplar adecuadamente los pequeños parches de simulaciones, creamos una simulación a gran escala y de nivel aproximado del sistema espacialmente extendido. Cuando el simulador de microescala es computacionalmente costoso, el esquema de dientes huecos permite una predicción eficiente a gran escala. Además, lo hace sin que tengamos que identificar una clausura algebraica para un modelo a gran escala. ^{[21] [22] [23]} La caja de herramientas Matlab/Octave brinda soporte a los usuarios para implementar simulaciones en una cuadrícula rectangular de parches en un espacio 1D o 2D. ^[4]

La combinación del esquema de dientes huecos con una integración proyectiva gruesa se denomina dinámica de parche.

Condiciones de contorno de acoplamiento

La clave del esquema de dientes huecos y parches es el acoplamiento de los pequeños parches a través de un espacio no simulado. Sorprendentemente, la respuesta genérica es simplemente utilizar la interpolación clásica de Lagrange, ya sea en una dimensión ^[23] o en múltiples dimensiones. ^[24] Esta respuesta está relacionada con el acoplamiento de la discretización holística y el apoyo teórico proporcionado por la teoría de las variedades lentas . La interpolación proporciona condiciones límite de valor o flujo según lo requiera el simulador de microescala. La coherencia de alto orden entre el esquema de parche/diente hueco a macroescala y la simulación a microescala se logra mediante la interpolación de Lagrange de alto orden.

Sin embargo, comúnmente la microescala es un modelo basado en partículas o agentes ruidosos . En tales casos, las variables macroescala relevantes son promedios como la densidad de masa y de momento. Entonces, generalmente hay que formar promedios sobre un núcleo de cada diente/parche, y aplicar la condición de acoplamiento sobre una región de acción finita en los bordes de cada diente/parche. La recomendación provisional es hacer que estas regiones sean tan grandes como la mitad del diente/parche. ^[25] Es decir, para lograr eficiencia, uno hace que el diente/parche a microescala sea lo más pequeño posible, pero limitado por la necesidad de encajar en acción y regiones centrales lo suficientemente grandes como para formar promedios suficientemente precisos.

Levantamiento

La dinámica de parches es la combinación del esquema de dientes huecos y la integración proyectiva gruesa. Al igual que para la integración proyectiva normal, al comienzo de cada ráfaga de simulación a microescala, se debe crear una condición inicial para cada parche que sea consistente con las variables de macroescala locales y los gradientes de macroescala de los parches interpolados vecinos. Las mismas técnicas son suficientes.

Problemas abiertos y direcciones futuras.

Las suposiciones y elecciones sobre la evolución a macroescala son cruciales en el esquema sin ecuaciones. El supuesto clave es que las variables que elegimos para el acoplamiento a macroescala deben cerrarse efectivamente en la macroescala elegida. Si la longitud de macroescala elegida es demasiado pequeña, es posible que se necesiten variables de escala más generales: por ejemplo, en dinámica de fluidos convencionalmente cerramos las PDE para densidad, momento y energía; sin embargo, en el flujo de alta velocidad, especialmente en densidades más bajas, necesitamos resolver los modos de vibración molecular porque no se han equilibrado en las escalas de tiempo del flujo de fluido. Cualitativamente se aplican las mismas consideraciones al enfoque sin ecuaciones.

Para muchos sistemas, las variables aproximadas apropiadas se conocen más o menos por experiencia. Sin embargo, en situaciones complejas existe la necesidad de detectar automáticamente las variables aproximadas apropiadas y luego utilizarlas en la evolución a macroescala. Esto necesita mucha más investigación utilizando técnicas de minería de datos y aprendizaje múltiple. En algunos problemas podría ser que, además de las densidades, las variables gruesas apropiadas también deban incluir correlaciones espaciales, como en los llamados errores brownianos. ^[26]

Es posible que haya que tratar la macroescala como un sistema estocástico, pero entonces es probable que los errores sean mucho mayores y los cierres más inciertos.

Referencias

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enlaces externos

• Yannis Kevrekidis (ed.). "Modelado sin ecuaciones". Scholarpedia .