Mecánica de suelos en estado crítico

El suelo normalmente consolidado pasa a un estado crítico a lo largo de la trayectoria de tensión en la superficie de Roscoe.

La mecánica de suelos en estado crítico es el área de la mecánica de suelos que abarca los modelos conceptuales que representan el comportamiento mecánico de suelos saturados remodelados basados ​​en el concepto de estado crítico . En el estado crítico , la relación entre las fuerzas aplicadas en el suelo ( tensión ) y la deformación resultante de esta tensión ( deformación ) se vuelve constante. El suelo continuará deformándose, pero la tensión ya no aumentará.

Las fuerzas se aplican a los suelos de diversas maneras, por ejemplo, cuando se cargan mediante cimientos o se descargan mediante excavaciones . El concepto de estado crítico se utiliza para predecir el comportamiento de los suelos en diversas condiciones de carga, y los ingenieros geotécnicos utilizan el modelo de estado crítico para estimar cómo se comportará el suelo bajo diferentes tensiones.

El concepto básico es que el suelo y otros materiales granulares, si se distorsionan continuamente hasta que fluyen como un fluido de fricción, alcanzarán un estado crítico bien definido. En términos prácticos, el estado crítico puede considerarse una condición de falla del suelo. Es el punto en el que el suelo no puede soportar ninguna carga adicional sin sufrir una deformación continua, de manera similar al comportamiento de los fluidos .

Ciertas propiedades del suelo, como la porosidad , la resistencia al corte y el volumen, alcanzan valores característicos. Estas propiedades son intrínsecas al tipo de suelo y a sus condiciones iniciales. ^[1]

Formulación

El concepto de estado crítico es una idealización del comportamiento observado de arcillas saturadas remodeladas en pruebas de compresión triaxial , y se supone que se aplica a suelos no perturbados. Afirma que los suelos y otros materiales granulares, si se distorsionan (cortan) continuamente hasta que fluyen como un fluido de fricción, llegarán a un estado crítico bien definido. Al comienzo del estado crítico, se producen distorsiones por corte sin ningún cambio adicional en la tensión efectiva media , la tensión desviatoria (o tensión de fluencia, , en tensión uniaxial según el criterio de fluencia de von Mises ), o el volumen específico : ${\displaystyle \ \varepsilon _{s}}$ ${\displaystyle \ p'}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \ \nu }$

${\displaystyle \ {\frac {\partial p'}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial q}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial \nu }{\partial \varepsilon _{s}}}=0}$

dónde,

${\displaystyle \ \nu =1+e}$

${\displaystyle \ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+\sigma _{2}'+\sigma _{3}')}$

${\displaystyle \ q={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}'-\sigma _{2}')^{2}+(\sigma _{2}'-\sigma _{3}')^{2}+(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')^{2}}{2}}}}$

Sin embargo, para condiciones triaxiales , por lo tanto, ${\displaystyle \ \sigma _{2}'=\sigma _{3}'}$

${\displaystyle \ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+2\sigma _{3}')}$

${\displaystyle \ q=(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')}$

Todos los estados críticos, para un suelo dado, forman una línea única llamada Línea de Estado Crítico ( CSL ) definida por las siguientes ecuaciones en el espacio : ${\displaystyle \ (p',q,v)}$

${\displaystyle \ q=Mp'}$

${\displaystyle \ \nu =\Gamma -\lambda \ln(p')}$

donde , , y son constantes del suelo. La primera ecuación determina la magnitud de la tensión desviadora necesaria para mantener el suelo fluyendo continuamente como el producto de una constante de fricción (capital ) y la tensión efectiva media . La segunda ecuación establece que el volumen específico ocupado por unidad de volumen de partículas que fluyen disminuirá a medida que aumenta el logaritmo de la tensión efectiva media. ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle \ \Gamma }$ ${\displaystyle \ \lambda }$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle \ \mu }$ ${\displaystyle \ p'}$ ${\displaystyle \ \nu }$

Historia

En un intento de avanzar en las técnicas de análisis de suelos , Kenneth Harry Roscoe de la Universidad de Cambridge , a finales de los años cuarenta y principios de los cincuenta, desarrolló un aparato de corte simple en el que sus sucesivos estudiantes intentaron estudiar los cambios en las condiciones de la zona de corte tanto en suelos arenosos como arcillosos. En 1958, un estudio de la fluencia del suelo basado en algunos datos de Cambridge de los ensayos con aparatos de corte simples, y en datos mucho más extensos de ensayos triaxiales en el Imperial College de Londres a partir de la investigación dirigida por el profesor Sir Alec Skempton en el Imperial College , condujo a la publicación del concepto de estado crítico (Roscoe, Schofield y Wroth 1958).

Roscoe obtuvo su título universitario en ingeniería mecánica ^[2] y sus experiencias al intentar crear túneles para escapar cuando fue prisionero de guerra de los nazis durante la Segunda Guerra Mundial le introdujeron a la mecánica de suelos. ^[2] Después de este artículo de 1958, Schofield introdujo conceptos de plasticidad y los publicó en su libro de texto. ^[1] Schofield fue alumno de Cambridge del profesor John Baker , un ingeniero estructural que creía firmemente en el diseño de estructuras que fallaran "plásticamente". Las teorías del profesor Baker influyeron fuertemente en el pensamiento de Schofield sobre el esfuerzo cortante del suelo. Las opiniones del profesor Baker se desarrollaron a partir de su trabajo de preguerra sobre estructuras de acero y se basaron en sus experiencias en tiempos de guerra evaluando estructuras dañadas por explosiones y con el diseño del "Morrison Shelter", un refugio antiaéreo que podría ubicarse en interiores (Schofield 2006).

Modelo original de Cam-Clay

El nombre de arcilla de leva afirma que el cambio de volumen plástico típico del comportamiento del suelo arcilloso se debe a la estabilidad mecánica de un agregado de partículas duras entrelazadas, pequeñas, rugosas y friccionales. ^[3] El modelo original de arcilla de leva se basa en el supuesto de que el suelo es isótropo, elasto-plástico, se deforma como un continuo y no se ve afectado por la fluencia. La superficie de fluencia del modelo de arcilla de leva se describe mediante la ecuación

${\displaystyle f(p,q,p_{c})=q+M\,p\,\ln \left[{\frac {p}{p_{c}}}\right]\leq 0}$

donde es la tensión equivalente, es la presión, es la presión de preconsolidación y es la pendiente de la línea de estado crítico en el espacio. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p-q}$

La presión de preconsolidación evoluciona a medida que cambia la relación de vacíos ( ) (y, por lo tanto, el volumen específico ) del suelo. Una relación que se utiliza habitualmente es ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle e=e_{0}-\lambda \ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}$

donde es el índice de compresión virgen del suelo. Una limitación de este modelo es la posibilidad de volúmenes específicos negativos a valores realistas de tensión. ${\displaystyle \lambda }$

Una mejora del modelo anterior es la forma bilogarítmica ${\displaystyle p_{c}}$

${\displaystyle \ln \left[{\frac {1+e}{1+e_{0}}}\right]=\ln \left[{\frac {v}{v_{0}}}\right]=-{\tilde {\lambda }}\ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}$

donde es el índice de compresibilidad apropiado del suelo. ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

Superficie de fluencia de arcilla de leva en el espacio pq.

Superficie de fluencia de arcilla de leva en el espacio de tensión principal.

Modelo Cam-Clay modificado

El profesor John Burland del Imperial College, que trabajó con el profesor Roscoe, es reconocido por el desarrollo de la versión modificada del modelo original. La diferencia entre el Cam Clay y el Cam Clay modificado ^[4] (MCC) es que la superficie de fluencia del MCC se describe mediante una elipse y, por lo tanto, el vector de incremento de la deformación plástica (que es perpendicular a la superficie de fluencia) para el valor más grande de la tensión efectiva media es horizontal y, por lo tanto, no se produce ninguna deformación plástica desviatoria incremental para un cambio en la tensión efectiva media (para estados de tensión puramente hidrostáticos). Esto es muy conveniente para el modelado constitutivo en el análisis numérico, especialmente el análisis de elementos finitos , donde las cuestiones de estabilidad numérica son importantes (ya que una curva debe ser continua para ser diferenciable).

La superficie de rendimiento del modelo Cam-clay modificado tiene la forma

${\displaystyle f(p,q,p_{c})=\left[{\frac {q}{M}}\right]^{2}+p\,(p-p_{c})\leq 0}$

donde es la presión, es la tensión equivalente, es la presión de preconsolidación y es la pendiente de la línea de estado crítico. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle M}$

Superficie de fluencia de arcilla Cam modificada en el espacio pq.

Superficie de fluencia de Cam-clay modificada en el espacio de tensión principal.

Crítica

Los conceptos básicos del método elasto-plástico fueron propuestos por primera vez por dos matemáticos, Daniel C. Drucker y William Prager (Drucker y Prager, 1952), en una breve nota de ocho páginas. ^[5] En su nota, Drucker y Prager también demostraron cómo utilizar su método para calcular la altura crítica de un banco vertical utilizando una superficie de falla plana o espiral logarítmica. Su criterio de fluencia se denomina hoy criterio de fluencia de Drucker-Prager . Su método fue ampliado posteriormente por Kenneth H. Roscoe y otros en el departamento de mecánica de suelos de la Universidad de Cambridge.

La mecánica de suelos elasto-plástica y en estado crítico ha sido objeto de críticas desde su introducción. El factor clave que impulsa las críticas es principalmente la suposición implícita de que los suelos están hechos de partículas puntuales isotrópicas. Los suelos reales están compuestos de partículas de tamaño finito con propiedades anisotrópicas que determinan fuertemente el comportamiento observado. En consecuencia, los modelos basados ​​en una teoría de plasticidad basada en metales no son capaces de modelar el comportamiento de los suelos que es resultado de propiedades de partículas anisotrópicas, un ejemplo de lo cual es la caída de las resistencias al corte después de la resistencia máxima, es decir, el comportamiento de ablandamiento por deformación. Debido a esto, los modelos de suelos elasto-plásticos solo pueden modelar "curvas de esfuerzo-deformación simples" como las de las arcillas "gordas" isotrópicas normalmente o ligeramente sobre consolidadas, es decir, suelos de tipo CL-ML constituidos por partículas de grano muy fino.

Además, en general, el cambio de volumen se rige por consideraciones de elasticidad y, siendo esta suposición en gran medida falsa para suelos reales, da como resultado coincidencias muy pobres de estos modelos con cambios de volumen o cambios de presión de poro. Además, los modelos elasto-plásticos describen todo el elemento como un todo y no específicamente las condiciones directamente en el plano de falla, como consecuencia de lo cual, no modelan la curva de tensión-deformación después de la falla, particularmente para suelos que exhiben ablandamiento por deformación después del pico. Finalmente, la mayoría de los modelos separan los efectos de la tensión hidrostática y la tensión cortante , y se supone que cada una causa solo un cambio de volumen y un cambio de corte respectivamente. En realidad, la estructura del suelo, al ser análoga a un "castillo de naipes", muestra tanto deformaciones por corte en la aplicación de compresión pura como cambios de volumen en la aplicación de corte puro.

Otras críticas son que la teoría es "solo descriptiva", es decir, solo describe el comportamiento conocido y carece de la capacidad de explicar o predecir comportamientos estándar del suelo, como por ejemplo, por qué la relación de huecos en una prueba de compresión unidimensional varía linealmente con el logaritmo de la tensión vertical efectiva. Este comportamiento, la mecánica de suelos en estado crítico simplemente lo asume como algo dado.

Por estas razones, la mecánica de suelos elasto-plástica y de estado crítico ha sido objeto de acusaciones de escolasticismo; las pruebas para demostrar su validez son generalmente "pruebas de conformación" en las que sólo se demuestra que curvas de esfuerzo-deformación simples se pueden modelar satisfactoriamente. El estado crítico y los conceptos que lo rodean tienen una larga historia de ser "escolásticos", y Sir Alec Skempton, el "padre fundador" de la mecánica de suelos británica, atribuyó la naturaleza escolástica de la CSSM a Roscoe, de quien dijo: "... hizo poco trabajo de campo y, creo, nunca estuvo involucrado en un trabajo práctico de ingeniería". ^[6] En los años 1960 y 1970, el profesor Alan Bishop del Imperial College solía demostrar rutinariamente la incapacidad de estas teorías para coincidir con las curvas de esfuerzo-deformación de suelos reales. Joseph (2013) ha sugerido que la mecánica de suelos elasto-plástica y de estado crítico cumple con el criterio de un “programa de investigación degenerado”, un concepto propuesto por el filósofo de la ciencia Imre Lakatos , para teorías en las que se utilizan excusas para justificar la incapacidad de la teoría para coincidir con los datos empíricos. ^[7]

Respuesta

Las afirmaciones de que la mecánica de suelos en estado crítico es sólo descriptiva y cumple con el criterio de un programa de investigación degenerado no han sido resueltas. Andrew Jenike utilizó una relación logarítmica-logarítmica para describir la prueba de compresión en su teoría del estado crítico y admitió disminuciones en la tensión durante el flujo convergente y aumentos en la tensión durante el flujo divergente. ^[8] Chris Szalwinski ha definido un estado crítico como un estado multifásico en el que el volumen específico es el mismo tanto en las fases sólida como fluida. ^[9] Según su definición, la relación lineal-logarítmica de la teoría original y la relación logarítmica-logarítmica de Jenike son casos especiales de un fenómeno físico más general.

Formulaciones de tensores de tensión

Estrés en el plano

Estado de tensión de deformación plana

${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]}$^[10]

Condiciones de drenaje

Estado de tensión de deformación plana

Separación de la matriz de estados de tensión de deformación plana en partes volumétricas y distorsionadas : ${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle \sigma _{hydrostatic}=p_{mean}={\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{zz}}{2}}}$

Después de cargar ${\displaystyle \delta \sigma _{z}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]}$

Estado de estrés agotado

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\mathbf {\delta z} \ \\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {-{\delta p}_{w}}{2}}\ &0\\0&\sigma _{z}-{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}&0\\0&{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}$

Estado de deformación del plano drenado

para el estado de deformación del plano drenado

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {\Delta h}{h_{0}}}}$; ${\displaystyle \ \varepsilon _{x}=\varepsilon _{y}=0}$

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(\sigma _{z}-\nu )(\sigma _{x}+\sigma _{z})={\frac {1}{E}}\sigma _{z}(1-2\nu \varepsilon )}$; ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\nu }{1-\nu }};\ \nu ={\frac {\varepsilon }{1+\varepsilon }}}$

Por matriz:

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(1-2\nu \varepsilon )\ \left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]\right]}$;

Condiciones sin drenaje

Estado de estrés no drenado

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\delta \sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]=}$

${\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]=}$

${\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&\tau _{xz}\\{\tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]}$

Estado de tensión no drenado

Estado no drenado del estado de deformación del plano

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)=}$

${\displaystyle =\left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&\delta \tau _{xz}\\{\delta \tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]\right]=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)\left[\rho _{u}+\rho _{w}+p\right]}$

${\displaystyle \rho _{u}=K_{u}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{w}={\frac {K_{w}}{n}}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{=}K_{\Delta }\varepsilon _{z};}$

Estado de tensión triaxial

Estado de tensión triaxial

Matriz de separación en partes volumétricas y distorsionadas :

${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

Estado no drenado de tensión triaxial

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{-\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{-\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{-\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{-\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\-\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}$

Estado drenado de tensión triaxial

Sólo volumétrico en caso de drenaje:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}$

Ejemplo de solución en forma matricial

Los siguientes datos se obtuvieron a partir de una prueba de compresión triaxial convencional sobre una arcilla simple saturada (B=1) y normalmente consolidada (Ladd, 1964). La presión de la celda se mantuvo constante a 10 kPa, mientras que la tensión axial se incrementó hasta la falla (prueba de compresión axial). [ ^{11] [12]}

Fase inicial: ${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]}$

Paso uno: ${\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\mathbf {\sigma } =\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&3.5\\0&-1&0\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1-1.9&0&0\\0&10-1.9&3.5\\0&-1\ &10-1.9\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1.9&0&0\\0&1.9&0\\0&0&1.9\\\end{matrix}}\right]}$

El paso 2-9 es el mismo paso uno.

Paso siete: ^[13] ${\displaystyle \sigma _{7}=\left[{\begin{matrix}12-4.4\ \ \ &0&0\\0&10-4.4&2.9\\0&-2\ &10-4.4\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}4.4&0&0\\0&4.4&0\\0&0&4.4\\\end{matrix}}\right]}$

Notas

1. Schofield, AN; Wroth, P. (1968). Mecánica de suelos en estado crítico. McGraw-Hill. ISBN 978-0-641-94048-4. Recuperado el 16 de diciembre de 2023 .
2. Oxford Dictionary of National Biography, 1961-1970, entrada sobre Roscoe, Kenneth Harry, págs. 894-896
3. K. H Roscoe, Andrew Schofield, C. P Wroth, 1958, Sobre el rendimiento de los suelos, Géotechnique 8(1), 22-53
4. Roscoe KH y Burland JB, 1968, Sobre el comportamiento generalizado de tensión-deformación de la arcilla "húmeda", Eng. plasticity, Cambridge Univ. Press, 535-609
5. Drucker, DC; Prager, W. (1958), "Mecánica de suelos y análisis plástico para diseño límite", Quarterly of Applied Mathematics , vol. 10, núm. 2, págs. 157–165
6. Niechcial, J. (2002), Una partícula de arcilla: la biografía de Alec Skempton, ingeniero civil , Whittles Publishing
7. Joseph, PG (2013), Deconstructing Critical State Soil Mechanics , consultado el 14 de mayo de 2017
8. Jenike, AW (1987), "Una teoría del flujo de sólidos particulados en canales convergentes y divergentes basada en una función de rendimiento cónica", Powder Technology , vol. 50, núm. 3, págs. 229–236, doi :10.1016/0032-5910(87)80068-2
9. Szalwinski, CM (2017), "Sobre estados críticos, estados de ruptura y resistencia al enclavamiento de materiales granulares", Materials , vol. 10, núm. 8, pág. 865, Bibcode :2017Mate...10..865S, doi : 10.3390/ma10080865 , PMC 5578231 , PMID  28773226 
10. Las tensiones efectivas principales en el plano de corte se pueden calcular a partir de la construcción del círculo de Mohr: ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma _{1}^{,}\\\sigma _{3}^{,}\\\end{matrix}}\right\}={\frac {\sigma _{xx}^{,}+\sigma _{zz}^{,}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}^{,}{\ -\ \sigma }_{zz}^{,}}{2}}\right)^{2}+\sigma _{zx}^{2}}}}$
11. Problema 54P
12. Introducción a la ingeniería geotécnica. 2da edición.
13. Si "Poro" aumenta, "efectivo" disminuye.

Referencias

• Roscoe, KH; Schofield, AN; Wroth, CP (1958), "Sobre el rendimiento de los suelos", Geotechnique , vol. 8, págs. 22–53, doi :10.1680/geot.1958.8.1.22
• Schofield, AN; Wroth, CP (1968), Mecánica de suelos en estado crítico, McGraw-Hill, pág. 310, ISBN 978-0641940484
• Schofield, AN (2006), Propiedades del suelo alteradas y diseño geotécnico , Thomas Telford, pág. 216, ISBN 978-0727729828