Teorema de Mazur-Ulam

En matemáticas , el teorema de Mazur-Ulam establece que si y son espacios normados sobre R y la aplicación ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle f\colon V\to W}$

es una isometría sobreyectiva , entonces es afín . Fue demostrado por Stanisław Mazur y Stanisław Ulam en respuesta a una pregunta planteada por Stefan Banach . ${\displaystyle f}$

Para espacios estrictamente convexos el resultado es verdadero y fácil, incluso para isometrías que no son necesariamente sobreyectivas. En este caso, para cualquier y en , y para cualquier en , escribe y denota la bola cerrada de radio R alrededor de v por . Entonces es el único elemento de , por lo que, como es inyectiva, es el único elemento de y por lo tanto es igual a . Por lo tanto es una función afín. Este argumento falla en el caso general, porque en un espacio normado que no es estrictamente convexo dos bolas tangentes pueden encontrarse en alguna región convexa plana de su frontera, no solo en un único punto. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle r=\|u-v\|_{V}=\|f(u)-f(v)\|_{W}}$$ ${\displaystyle {\bar {B}}(v,R)}$ ${\displaystyle tu+(1-t)v}$ ${\displaystyle {\bar {B}}(v,tr)\cap {\bar {B}}(u,(1-t)r)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(tu+(1-t)v)}$ $${\displaystyle f{\bigl (}{\bar {B}}(v,tr)\cap {\bar {B}}(u,(1-t)r{\bigr )}=f{\bigl (}{\bar {B}}(v,tr){\bigr )}\cap f{\bigl (}{\bar {B}}(u,(1-t)r{\bigr )}={\bar {B}}{\bigl (}f(v),tr{\bigr )}\cap {\bar {B}}{\bigl (}f(u),(1-t)r{\bigr )},}$$ ${\displaystyle tf(u)+(1-t)f(v)}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

Problema de Aleksandrov-Rassias

Referencias

• Richard J. Fleming; James E. Jamison (2003). Isometrías en espacios de Banach: espacios funcionales . CRC Press . pág. 6. ISBN. 1-58488-040-6.
• Estanislao Mazur ; Estanislao Ulam (1932). "Sobre las transformaciones isométricas de espacios vectoriales normativos". CR Acad. Ciencia. París . 194 : 946–948.
• Nica, Bogdan (2012). "El teorema de Mazur-Ulam". Exposiciones Mathematicae . 30 (4): 397–398. arXiv : 1306.2380 . doi : 10.1016/j.exmath.2012.08.010 .
• Jussi Väisälä (2003). "Una prueba del teorema de Mazur-Ulam". El Mensual Matemático Estadounidense . 110 (7): 633–635. doi :10.1080/00029890.2003.11920004. JSTOR  3647749 . S2CID  43171421.