En matemáticas , una matriz de signos alternos es una matriz cuadrada de 0, 1 y −1 tal que la suma de cada fila y columna es 1 y las entradas distintas de cero en cada fila y columna alternan en signo. Estas matrices generalizan matrices de permutación y surgen naturalmente cuando se utiliza la condensación de Dodgson para calcular un determinante. [1] También están estrechamente relacionados con el modelo de seis vértices con las condiciones de contorno de la pared de dominio de la mecánica estadística . Fueron definidos por primera vez por William Mills, David Robbins y Howard Rumsey en el contexto anterior.
Ejemplos
Una matriz de permutación es una matriz de signos alternos, y una matriz de signos alternos es una matriz de permutación si y solo si ninguna entrada es igual a −1 .
Un ejemplo de una matriz de signos alternos que no es una matriz de permutación es
Teorema de la matriz de signos alternos
El teorema de la matriz de signos alternos establece que el número de matrices de signos alternos es
Los primeros términos de esta secuencia para n = 0, 1, 2, 3,… son
1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348,… (secuencia A005130 en el OEIS ).
Este teorema fue demostrado por primera vez por Doron Zeilberger en 1992. [2] En 1995, Greg Kuperberg dio una breve prueba [3] basada en la ecuación de Yang-Baxter para el modelo de seis vértices con condiciones de contorno de dominio-pared, que utiliza un determinante cálculo debido a Anatoli Izergin. [4] En 2005, Ilse Fischer proporcionó una tercera prueba utilizando lo que se llama el método del operador . [5]
Problema de Razumov-Stroganov
En 2001, A. Razumov e Y. Stroganov conjeturaron una conexión entre el modelo de bucle O (1), el modelo de bucle completamente empaquetado (FPL) y los ASM. [6]
Esta conjetura fue probada en 2010 por Cantini y Sportiello. [7]
Referencias
^ Hone, Andrew NW (2006), "Condensación de Dodgson, signos alternos y hielo cuadrado", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 364 (1849): 3183–3198, doi :10.1098/rsta.2006.1887, MR 2317901
^ Zeilberger, Doron, "Prueba de la conjetura de la matriz de signos alternos", Electronic Journal of Combinatorics 3 (1996), R13.
^ Kuperberg, Greg , "Otra prueba de la conjetura de la matriz de signos alternos", International Mathematics Research Notes (1996), 139-150.
^ "Fórmula determinante para el modelo de seis vértices", AG Izergin et al. 1992 J. Física. R : Matemáticas. Génesis 25 4315.
^ Fischer, Ilse (2005). "Una nueva prueba del teorema refinado de la matriz de signos alternos". Revista de teoría combinatoria, serie A. 114 (2): 253–264. arXiv : matemáticas/0507270 . Código Bib : 2005 matemáticas ...... 7270F. doi :10.1016/j.jcta.2006.04.004.
^ Razumov, AV, Stroganov Yu.G., Cadenas de espín y combinatoria, Journal of Physics A , 34 (2001), 3185-3190.
^ L. Cantini y A. Sportiello, Prueba de la conjetura de Razumov-Stroganov Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 118 (5) , (2011) 1549-1574,
Otras lecturas
Bressoud, David M. , Pruebas y confirmaciones: la historia de la conjetura de la matriz de signos alternos , MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, DC, 1999. ISBN 978-0521666466
Bressoud, David M. y Propp, James, Cómo se resolvió la conjetura de la matriz de signos alternos, Notices of the American Mathematical Society , 46 (1999), 637–646.
Mills, William H., Robbins, David P. y Rumsey, Howard Jr., Prueba de la conjetura de Macdonald, Inventiones Mathematicae , 66 (1982), 73–87.
Mills, William H., Robbins, David P. y Rumsey, Howard Jr., Matrices de signos alternos y particiones de planos descendentes, Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 34 (1983), 340–359.
Propp, James, Las muchas caras de las matrices de signos alternos, Matemáticas discretas e informática teórica , Número especial sobre modelos discretos: combinatoria, computación y geometría (julio de 2001).
Razumov, AV, Stroganov Yu. G., Naturaleza combinatoria del vector de estado fundamental del modelo de bucle O (1), Theor. Matemáticas. Física. , 138 (2004), 333–337.
Razumov, AV, Stroganov Yu. G., modelo de bucle O(1) con diferentes condiciones de contorno y clases de simetría de matrices de signos alternos], Theor. Matemáticas. Física. , 142 (2005), 237–243, arXiv :cond-mat/0108103
Robbins, David P. , La historia de , The Mathematical Intelligencer , 13 (2), 12–19 (1991), doi :10.1007/BF03024081.
Zeilberger, Doron , Prueba de la conjetura refinada de la matriz de signos alternos, New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.