Matriz de Carleman

En matemáticas, una matriz de Carleman es una matriz que se utiliza para convertir la composición de funciones en una multiplicación de matrices . Se utiliza a menudo en la teoría de iteración para encontrar la iteración continua de funciones que no se pueden iterar solo mediante el reconocimiento de patrones . Otros usos de las matrices de Carleman se dan en la teoría de funciones generadoras de probabilidad y en las cadenas de Markov .

Definición

La matriz de Carleman de una función infinitamente diferenciable se define como: ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0}~,}$

para satisfacer la ecuación ( serie de Taylor ):

${\displaystyle (f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.}$

Por ejemplo, el cálculo de por ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}.~}$

simplemente equivale al producto escalar de la fila 1 de con un vector columna . ${\displaystyle M[f]}$ ${\displaystyle \left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }}$

Las entradas de en la siguiente fila dan la 2da potencia de : ${\displaystyle M[f]}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}~,}$

y además, para tener la potencia cero de en , adoptamos la fila 0 que contiene ceros en todas partes excepto en la primera posición, de modo que ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M[f]}$

${\displaystyle f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0\cdot x^{k}~.}$

Por lo tanto, el producto escalar de con el vector columna produce el vector columna , es decir, ${\displaystyle M[f]}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1,x,x^{2},...\end{bmatrix}}^{T}}$ ${\displaystyle \left[1,f(x),f(x)^{2},...\right]^{T}}$

${\displaystyle M[f]{\begin{bmatrix}1\\x\\x^{2}\\x^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\f(x)\\(f(x))^{2}\\(f(x))^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}.}$

Generalización

Se puede definir una generalización de la matriz de Carleman de una función alrededor de cualquier punto, como por ejemplo:

${\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]M_{x}[x+x_{0}]}$

o donde . Esto permite relacionar la potencia de la matriz como: ${\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M[g]}$ ${\displaystyle g(x)=f(x+x_{0})-x_{0}}$

${\displaystyle (M[f]_{x_{0}})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]}$

Serie general

Otra forma de generalizarlo aún más es pensar en una serie general de la siguiente manera:

Sea una aproximación en serie de , donde es una base del espacio que contiene ${\displaystyle h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ ${\displaystyle h(x)}$

Suponiendo que también es una base para , podemos definir , por lo tanto tenemos , ahora podemos demostrar que , si suponemos que también es una base para y . ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)}$ ${\displaystyle \psi _{m}\circ f=\sum _{n}c_{n}(\psi _{m}\circ f)\cdot \psi _{n}=\sum _{n}G[f]_{mn}\cdot \psi _{n}}$ ${\displaystyle G[g\circ f]=G[g]\cdot G[f]}$ ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(f(x))}$

Sea tal que donde . ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \psi _{l}\circ g=\sum _{m}G[g]_{lm}\cdot \psi _{m}}$ ${\displaystyle G[g]_{lm}=c_{m}(\psi _{l}\circ g)}$

Ahora

 ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}G[g\circ f]_{ln}\psi _{n}=\psi _{l}\circ (g\circ f)&=(\psi _{l}\circ g)\circ f\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}(\psi _{m}\circ f)\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}\sum _{n}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n,m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n}(\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn})\psi _{n}\end{aligned}}}$

Comparando el primer y el último término, y de ser una base para , se sigue que ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(f(x))}$ ${\displaystyle G[g\circ f]=\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}=G[g]\cdot G[f]}$

Ejemplos

Rederivación de la matriz de Carleman (Taylor)

Si establecemos que tenemos la matriz de Carleman . Porque entonces sabemos que el coeficiente n-ésimo debe ser el coeficiente n-ésimo de la serie de Taylor de . Por lo tanto Por lo tanto Cuál es la matriz de Carleman dada anteriormente. (Es importante notar que esta no es una base ortornormal) ${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}}$
${\displaystyle h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot x^{n}}$
${\displaystyle c_{n}(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c_{n}(h)={\frac {1}{n!}}h^{(n)}(0)}$
${\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)=c_{n}(f(x)^{m})={\frac {1}{n!}}\left[{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(f(x))^{m}\right]_{x=0}}$

Matriz de Carleman para base ortonormal

Si es una base ortonormal para un espacio de Hilbert con un producto interno definido , podemos establecer y será . Entonces . ${\displaystyle \{e_{n}(x)\}_{n}}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle }$ ${\displaystyle \psi _{n}=e_{n}}$ ${\displaystyle c_{n}(h)}$ ${\displaystyle {\displaystyle \langle h,e_{n}\rangle }}$ ${\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle }$

Matriz de Carleman para series de Fourier

Si tenemos el análogo para la serie de Fourier , seamos y representemos el coeficiente de Carleman y la matriz en la base de Fourier. Como la base es ortogonal, tenemos. ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{inx}}$ ${\displaystyle {\hat {c}}_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$

${\displaystyle {\hat {c}}_{n}(h)=\langle h,e_{n}\rangle ={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle h(x)\cdot e^{-inx}dx}$.

Entonces, por tanto, ¿cuál es? ${\displaystyle {\hat {G}}[f]_{mn}={\hat {c_{n}}}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle }$

${\displaystyle {\hat {G}}[f]_{mn}={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle e^{imf(x)}\cdot e^{-inx}dx}$

Propiedades

Las matrices de Carleman satisfacen la relación fundamental

• ${\displaystyle M[f\circ g]=M[f]M[g]~,}$

lo que hace que la matriz de Carleman M sea una representación (directa) de . Aquí el término denota la composición de funciones . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f(g(x))}$

Otras propiedades incluyen:

• ${\displaystyle \,M[f^{n}]=M[f]^{n}}$, donde es una función iterada y ${\displaystyle \,f^{n}}$
• ${\displaystyle \,M[f^{-1}]=M[f]^{-1}}$, donde es la función inversa (si la matriz de Carleman es invertible ). ${\displaystyle \,f^{-1}}$

Ejemplos

La matriz de Carleman de una constante es:

${\displaystyle M[a]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

La matriz de Carleman de la función identidad es:

${\displaystyle M_{x}[x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

La matriz de Carleman de una adición constante es:

${\displaystyle M_{x}[a+x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

La matriz de Carleman de la función sucesora es equivalente al coeficiente binomial :

${\displaystyle M_{x}[1+x]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&1&0&0&\cdots \\1&2&1&0&\cdots \\1&3&3&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[1+x]_{jk}={\binom {j}{k}}}$

La matriz de Carleman del logaritmo está relacionada con los números de Stirling (con signo) del primer tipo escalados por factoriales :

${\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&-1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&-{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]_{jk}=s(k,j){\frac {j!}{k!}}}$

La matriz de Carleman del logaritmo está relacionada con los números de Stirling (sin signo) del primer tipo escalados por factoriales :

${\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]_{jk}=|s(k,j)|{\frac {j!}{k!}}}$

La matriz de Carleman de la función exponencial está relacionada con los números de Stirling de segundo tipo escalados por factoriales :

${\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{24}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {7}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]_{jk}=S(k,j){\frac {j!}{k!}}}$

La matriz de Carleman de funciones exponenciales es:

${\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&a&{\frac {a^{2}}{2}}&{\frac {a^{3}}{6}}&\cdots \\1&2a&2a^{2}&{\frac {4a^{3}}{3}}&\cdots \\1&3a&{\frac {9a^{2}}{2}}&{\frac {9a^{3}}{2}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]_{jk}={\frac {(ja)^{k}}{k!}}}$

La matriz de Carleman de un múltiplo constante es:

${\displaystyle M_{x}[cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

La matriz de Carleman de una función lineal es:

${\displaystyle M_{x}[a+cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

La matriz de Carleman de una función es: ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}}$

${\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

La matriz de Carleman de una función es: ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}}$

${\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

Matrices relacionadas

La matriz de Bell o matriz de Jabotinsky de una función se define como ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}~,}$

para satisfacer la ecuación

${\displaystyle (f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}~,}$

Estas matrices fueron desarrolladas en 1947 por Eri Jabotinsky para representar convoluciones de polinomios. ^[4] Es la transpuesta de la matriz de Carleman y satisface

${\displaystyle B[f\circ g]=B[g]B[f]~,}$lo que hace que la matriz de Bell B sea una anti-representación de . ${\displaystyle f(x)}$

Véase también

• Linealización de Carleman
• Operador de composición
• Composición de funciones
• La ecuación de Schröder
• Polinomios de Bell

Notas

1. Knuth, D. (1992). "Polinomios de convolución". The Mathematica Journal . 2 (4): 67–78. arXiv : math/9207221 . Código Bibliográfico :1992math......7221K.
2. Jabotinsky, Eri (1953). "Representación de funciones mediante matrices. Aplicación a polinomios de Faber". Actas de la American Mathematical Society . 4 (4): 546–553. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0059359-0 . ISSN  0002-9939.
3. Lang, W. (2000). "Sobre las generalizaciones de los triángulos de números de Stirling". Journal of Integer Sequences . 3 (2.4): 1–19. Bibcode :2000JIntS...3...24L.
4. Jabotinsky, Eri (1947). "Sobre la representación de la composición de funciones de un producto de matrices. Aplicación a la iteración de e^x et de e^x-1". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 224 : 323–324.

Referencias

• R Aldrovandi, Matrices especiales de física matemática: matrices estocásticas, circulantes y de Bell, World Scientific, 2001. (vista previa)
• R. Aldrovandi, LP Freitas, Iteración continua de mapas dinámicos, preimpresión en línea, 1997.
• P. Gralewicz, K. Kowalski, Evolución temporal continua a partir de mapas iterados y linealización de Carleman, preimpresión en línea, 2000.
• K Kowalski y WH Steeb, Sistemas dinámicos no lineales y linealización de Carleman, World Scientific, 1991. (vista previa)