Matriz comunitaria

En biología matemática , la matriz comunitaria es la linealización de una ecuación de Lotka-Volterra generalizada en un punto de equilibrio . ^[1] Los valores propios de la matriz comunitaria determinan la estabilidad del punto de equilibrio.

Por ejemplo, el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra es

{\begin{array}{rcl}{\dfrac {dx}{dt}}&=&x(\alpha -\beta y)\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&-y(\gamma -\delta x),\end{array}}

donde x ( t ) denota el número de presas, y ( t ) el número de depredadores, y α , β , γ y δ son constantes. Por el teorema de Hartman-Grobman el sistema no lineal es topológicamente equivalente a una linealización del sistema alrededor de un punto de equilibrio ( x *, y *), que tiene la forma

{\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=\mathbf {A} {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},

donde u = x − x * y v = y − y *. En biología matemática, la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio ( x *, y *) se llama matriz de comunidad. ^[2] Por el teorema de variedad estable , si uno o ambos valores propios de tienen parte real positiva, entonces el equilibrio es inestable, pero si todos los valores propios tienen parte real negativa, entonces es estable. $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

Véase también

Paradoja del enriquecimiento

Referencias

^ Berlow, EL; Neutel, A.-M.; Cohen, JE; De Ruiter, PC; Ebenman, B.; Emmerson, M.; Fox, JW; Jansen, VAA; Jones, JI; Kokkoris, GD; Logofet, DO; McKane, AJ; Montoya, J. M; Petchey, O. (2004). "Fortalezas de interacción en redes alimentarias: problemas y oportunidades". Revista de ecología animal . 73 (5): 585–598. doi : 10.1111/j.0021-8790.2004.00833.x . JSTOR 3505669.
^ Kot, Mark (2001). Elementos de ecología matemática. Cambridge University Press. pág. 144. ISBN 0-521-00150-1.

Murray, James D. (2002), Biología matemática I. Introducción , Matemáticas aplicadas interdisciplinarias, vol. 17 (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95223-9.