Matrices de duplicación y eliminación

En matemáticas , especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices , la matriz de duplicación y la matriz de eliminación son transformaciones lineales utilizadas para transformar semivectorizaciones de matrices en vectorizaciones o (respectivamente) viceversa.

Matriz de duplicación

La matriz de duplicación es la única matriz que, para cualquier matriz simétrica , se transforma en : ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle n^{2}\times {\frac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {vech} (A)}$ ${\displaystyle \mathrm {vec} (A)}$

${\displaystyle D_{n}\mathrm {vech} (A)=\mathrm {vec} (A)}$.

Para la matriz simétrica , esta transformación se lee ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A=\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\b&d\end{smallmatrix}}\right]}$

${\displaystyle D_{n}\mathrm {vech} (A)=\mathrm {vec} (A)\implies {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\b\\b\\d\end{bmatrix}}}$

La fórmula explícita para calcular la matriz de duplicación de una matriz es: ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle D_{n}^{T}=\sum \limits _{i\geq j}u_{ij}(\mathrm {vec} T_{ij})^{T}}$

Dónde:

• ${\displaystyle u_{ij}}$es un vector unitario de orden que tiene el valor en la posición y 0 en el resto; ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (j-1)n+i-{\frac {1}{2}}j(j-1)}$
• ${\displaystyle T_{ij}}$es una matriz con 1 en posición y cero en el resto ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (j,i)}$

Aquí hay una función de C++ que utiliza Armadillo (biblioteca de C++) :

arma :: mat duplication_matrix ( const int & n ) { arma :: mat out (( n * ( n + 1 )) / 2 , n * n , arma :: fill :: ceros ); for ( int j = 0 ; j < n ; ++ j ) { for ( int i = j ; i < n ; ++ i ) { arma :: vec u (( n * ( n + 1 )) / 2 , arma :: fill :: ceros ); u ( j * n + i - (( j + 1 ) * j ) / 2 ) = 1.0 ; arma :: mat T ( n , n , arma :: fill :: ceros ); T ( i , j ) = 1.0 ; T ( j , i ) = 1.0 ; out += u * arma :: trans ( arma :: vectorise ( T )); } } devuelve fuera . t (); }                                                    

Matriz de eliminación

Una matriz de eliminación es una matriz que, para cualquier matriz , se transforma en : ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\times n^{2}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {vec} (A)}$ ${\displaystyle \mathrm {vech} (A)}$

${\displaystyle L_{n}\mathrm {vec} (A)=\mathrm {vech} (A)}$.  ^[1]

Según la definición explícita (constructiva) dada por Magnus y Neudecker (1980), la matriz de eliminación está dada por ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle L_{n}}$

${\displaystyle L_{n}=\sum _{i\geq j}u_{ij}\mathrm {vec} (E_{ij})^{T}=\sum _{i\geq j}(u_{ij}\otimes e_{j}^{T}\otimes e_{i}^{T}),}$

donde es un vector unitario cuyo elemento -ésimo es uno y ceros en el resto, y . ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle E_{ij}=e_{i}e_{j}^{T}}$

Aquí hay una función de C++ que utiliza Armadillo (biblioteca de C++) :

arma :: mat matriz_eliminación ( const int & n ) { arma :: mat out (( n * ( n + 1 )) / 2 , n * n , arma :: rellenar :: ceros ); for ( int j = 0 ; j < n ; ++ j ) { arma :: rowvec e_j ( n , arma :: rellenar :: ceros ); e_j ( j ) = 1.0 ; for ( int i = j ; i < n ; ++ i ) { arma :: vec u (( n * ( n + 1 )) / 2 , arma :: rellenar :: ceros ); u ( j * n + i - (( j + 1 ) * j ) / 2 ) = 1.0 ; arma :: rowvec e_i ( n , arma :: rellenar :: ceros ); e_i ( i ) = 1.0 ; fuera += arma :: kron ( u , arma :: kron ( e_j , e_i )); } } devolver fuera ; }                                                       

Para la matriz , una opción para esta transformación viene dada por ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A=\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right]}$

${\displaystyle L_{n}\mathrm {vec} (A)=\mathrm {vech} (A)\implies {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\c\\d\end{bmatrix}}}$.

Notas

1. Magnus y Neudecker (1980), Definición 3.1

Referencias

• Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1980), "La matriz de eliminación: algunos lemas y aplicaciones", SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods , 1 (4): 422–449, doi :10.1137/0601049, ISSN  0196-5212.
• Jan R. Magnus y Heinz Neudecker (1988), Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en estadística y econometría , Wiley. ISBN 0-471-98633-X . 
• Jan R. Magnus (1988), Estructuras lineales , Oxford University Press. ISBN 0-19-520655-X