Modelo sólido lineal estándar

El sólido lineal estándar (SLS) , también conocido como modelo Zener en honor a Clarence Zener , ^[1] es un método para modelar el comportamiento de un material viscoelástico utilizando una combinación lineal de resortes y amortiguadores para representar componentes elásticos y viscosos, respectivamente. A menudo se utilizan el modelo más simple de Maxwell y el modelo de Kelvin-Voigt . Sin embargo, estos modelos a menudo resultan insuficientes; el modelo de Maxwell no describe la fluencia ni la recuperación, y el modelo de Kelvin-Voigt no describe la relajación del estrés. SLS es el modelo más simple que predice ambos fenómenos.

Definición

Los materiales sometidos a tensión a menudo se modelan con componentes mecánicos, como resortes (componente de fuerza restauradora) y amortiguadores (componente de amortiguación).

Al conectar un resorte y un amortiguador en serie se obtiene un modelo de un material Maxwell, mientras que al conectar un resorte y un amortiguador en paralelo se obtiene un modelo de un material Kelvin-Voigt . ^[2] En contraste con los modelos de Maxwell y Kelvin-Voigt, el SLS es un poco más complejo e involucra elementos tanto en serie como en paralelo. Los resortes, que representan el componente elástico de un material viscoelástico, obedecen a la ley de Hooke :

${\displaystyle \sigma _{s}=E\varepsilon }$

donde σ es la tensión aplicada, E es el módulo de Young del material y ε es la deformación. El resorte representa el componente elástico de la respuesta del modelo. ^[2]

Los Dashpots representan el componente viscoso de un material viscoelástico. En estos elementos, la tensión aplicada varía con la tasa de cambio temporal de la deformación:

${\displaystyle \sigma _{D}=\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

donde η es la viscosidad del componente del amortiguador.

Resolviendo el modelo

Para modelar este sistema, se deben realizar las siguientes relaciones físicas:

Para componentes paralelos: , y . ^[2] ${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}+\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}}$

Para componentes en serie: , y . ^[2] ${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}=\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}$

representación de maxwell

Modelo sólido lineal estándar, representación de Maxwell

Este modelo consta de dos sistemas en paralelo. El primero, denominado brazo Maxwell, contiene un resorte ( ) y un amortiguador (viscosidad ) en serie. ^[2] El otro sistema contiene sólo un resorte ( ). ${\displaystyle E=E_{2}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E=E_{1}}$

Estas relaciones ayudan a relacionar las diversas tensiones y deformaciones en el sistema general y el brazo de Maxwell:

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{m}+\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{m}=\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{m}=\sigma _{D}=\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{m}=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S_{2}}}$

donde los subíndices , y se refieren a Maxwell, dashpot, resorte uno y resorte dos, respectivamente. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

Utilizando estas relaciones, sus derivadas en el tiempo y las relaciones tensión-deformación anteriores para los elementos de resorte y amortiguador, el sistema se puede modelar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+\sigma (t)-E_{1}\varepsilon (t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}}$ ^[3]

La ecuación también se puede expresar como:

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}=E_{1}\varepsilon (t)+{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

o, en notación de puntos:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}}{\dot {\sigma }}=E_{1}\varepsilon +{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

El tiempo de relajación , , es diferente para cada material y es igual a ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

Representación de Kelvin-Voigt

Modelo sólido lineal estándar, representación Kelvin

Este modelo consta de dos sistemas en serie. El primero, denominado brazo Kelvin, contiene un resorte ( ) y un amortiguador (viscosidad ) en paralelo. El otro sistema contiene sólo un resorte ( ). ${\displaystyle E=E_{2}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E=E_{1}}$

Estas relaciones ayudan a relacionar las diversas tensiones y deformaciones en el sistema general y el brazo Kelvin:

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{k}=\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{D}+\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{k}=\varepsilon _{D}=\varepsilon _{S_{2}}}$

donde los subíndices , , y se refieren a Kelvin, dashpot, resorte uno y resorte dos, respectivamente. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

Utilizando estas relaciones, sus derivadas en el tiempo y las relaciones tensión-deformación anteriores para los elementos de resorte y amortiguador, el sistema se puede modelar de la siguiente manera:

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon (t)+{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

o, en notación de puntos:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\sigma }}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

El tiempo de retardo , , es diferente para cada material y es igual a ${\displaystyle {\bar {\tau }}}$

${\displaystyle {\bar {\tau }}={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

Características del modelo

Comparación de fluencia y relajación de tensiones para modelos de tres y cuatro elementos

El modelo sólido lineal estándar combina aspectos de los modelos de Maxwell y Kelvin-Voigt para describir con precisión el comportamiento general de un sistema bajo un conjunto determinado de condiciones de carga. Se muestra que el comportamiento de un material aplicado a una tensión instantánea tiene un componente instantáneo de la respuesta. La liberación instantánea de una tensión también da como resultado una disminución discontinua de la deformación, como es de esperar. La forma de la curva de deformación dependiente del tiempo es fiel al tipo de ecuación que caracteriza el comportamiento del modelo a lo largo del tiempo, dependiendo de cómo se carga el modelo.

Aunque este modelo se puede utilizar para predecir con precisión la forma general de la curva de deformación, así como el comportamiento durante períodos prolongados y cargas instantáneas, el modelo carece de la capacidad de modelar numéricamente sistemas de materiales con precisión.

El modelo de fluido equivalente al modelo sólido lineal estándar incluye un amortiguador en serie con el modelo de Kelvin-Voigt y se llama modelo de Jeffreys. ^[4]

Ver también

• Material de hamburguesas
• Modelo de Maxwell generalizado
• Material Kelvin-Voigt
• material maxwell
• Viscoelasticidad

Referencias

1. Holm, Sverre (2024). Ecuaciones de ondas acústicas y cuatro formas en que los medios pueden perturbar la velocidad del sonido (PDF) . vol. 1.3. Universidad de Oslo.
2. David Roylance, "Ingeniería de viscoelasticidad" (24 de octubre de 2001) http://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules /MIT3_11F99_visco.pdf
3. Krystyn J. Van Vliet, Conferencia del curso 3.032 del MIT, 23 de octubre de 2006 http://stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html
4. José, Daniel D. (27 de noviembre de 2013). Dinámica de fluidos de líquidos viscoelásticos. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9781461244622.