Matemáticas: La pérdida de la certeza es un libro de Morris Kline sobre las perspectivas en desarrollo dentro de las culturas matemáticas a lo largo de los siglos. [1]
Este libro rastrea la historia de cómo los nuevos resultados matemáticos han sorprendido a los matemáticos a lo largo de los siglos. Algunos ejemplos incluyen cómo los matemáticos del siglo XIX se sorprendieron con el descubrimiento de la geometría no euclidiana y cómo el teorema de incompletitud de Gödel decepcionó a muchos lógicos.
Kline analiza además la estrecha relación que tenían con Dios algunos de los matemáticos más destacados, como Newton y Leibniz . Cree que los intereses religiosos de Newton fueron la verdadera motivación de su trabajo matemático y científico. Cita a Newton de una carta al reverendo Richard Bentley del 10 de diciembre de 1692:
Cuando escribí mi tratado sobre nuestro sistema , Los principios matemáticos de la filosofía natural , tenía en mente principios que pudieran servir para considerar a los hombres en cuanto a la creencia en una Deidad; y nada puede alegrarme más que encontrarlo útil para ese propósito.
También cree que Leibniz consideraba la ciencia como una misión religiosa que los científicos estaban obligados a llevar a cabo. Kline cita a Leibniz en una carta sin fecha de 1699 o 1700:
Me parece que el objetivo principal de toda la humanidad debe ser el conocimiento y desarrollo de las maravillas de Dios, y que esta es la razón por la que Dios le dio el imperio del globo.
Kline también sostiene que el intento de establecer un cuerpo de matemáticas lógicamente sólido y universalmente aceptable ha fracasado. Cree que la mayoría de los matemáticos actuales no trabajan en aplicaciones, sino que continúan produciendo nuevos resultados en matemáticas puras a un ritmo cada vez mayor.
En las reseñas de este libro, varios especialistas, elogiando la perspectiva del autor, lo acusan de emocionalidad parcial, deshonestidad e incompetencia.
En particular, Raymond G. Ayoub en The American Mathematical Monthly [2] escribe:
Durante siglos, la geometría euclidiana pareció ser un buen modelo del espacio. Sus resultados se utilizaron y se siguen utilizando con eficacia en astronomía y navegación. Cuando se la sometió al examen minucioso del formalismo, se descubrieron sus debilidades y es interesante observar que, esta vez, fue el examen minucioso del formalismo lo que llevó al descubrimiento (algunos dirían invención) de la geometría no euclidiana. (Varios años después se ideó un modelo euclidiano satisfactorio).
El autor no entiende por qué este descubrimiento fue, en palabras de Kline, una «debacle». ¿No fue, por el contrario, un gran triunfo?
El profesor Kline no trata con honestidad a sus lectores. Es un hombre culto y sabe perfectamente que muchas ideas matemáticas creadas in abstracto han encontrado una aplicación significativa en el mundo real. Prefiere ignorar este hecho, reconocido incluso por los oponentes más fanáticos de las matemáticas. Lo hace para apoyar un dogma insostenible. Uno recuerda la historia del bufón de la corte de Luis XIV: este último había escrito un poema y le pidió al bufón su opinión. "Su Majestad es capaz de cualquier cosa. Su Majestad se ha propuesto escribir poesías y Su Majestad lo ha logrado". En resumen, eso es lo que, por desgracia, se puede decir de este libro.
John Corcoran en Mathematical Reviews : [3]
El propósito general del libro es promover como filosofía de las matemáticas un pragmatismo mentalista que exalta las "matemáticas aplicadas" y denigra tanto las "matemáticas puras" como los estudios fundamentales. Aunque su tesis se basa en parte en los profundos logros fundamentales de los lógicos del siglo XX, la filosofía básica es prima hermana de varias filosofías que fueron influyentes en el siglo XIX. Además, como se puede ver a partir de las ideas enumeradas anteriormente, la comprensión del autor de la lógica del siglo XX no es confiable. En consecuencia, le resulta sorprendente (p. 322, 323) que Hilbert, Gödel, Church, miembros de la escuela de Bourbaki y otros "líderes en el trabajo sobre los fundamentos afirmen que los conceptos y propiedades matemáticos existen en algún sentido objetivo y que pueden ser aprehendidos por las mentes humanas". Su único argumento contra el realismo platónico de los matemáticos que acabamos de mencionar se basa en su propio fracaso a la hora de hacer la distinción entre error (humano) y falsedad (matemática) (p. 324)...
El autor no parece darse cuenta de que para tener conocimiento no es necesario ser infalible, ni reconoce que la pérdida de certeza no es lo mismo que la pérdida de la verdad. Los aspectos filosóficos y fundamentales del argumento del autor están entretejidos en un estudio e interpretación exhaustivos de la historia de las matemáticas. Se podría esperar que el argumento se redimiera en cierta medida mediante un trabajo histórico sólido, pero no es así. Dos de los períodos más importantes para el punto de vista del autor se interpretan de manera inconsistente. (a) En algunos pasajes, el autor admite la verdad obvia de que la experiencia y la observación desempeñaron un papel clave en el desarrollo de las matemáticas griegas clásicas (págs. 9, 18, 24, 167). Pero en otros pasajes, alega que los matemáticos griegos clásicos despreciaban la experiencia y la observación, basando sus teorías en "verdades evidentes" (págs. 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307). (b) En algunos pasajes el autor describe el comienzo del siglo XIX como una época de confianza generalizada en la solidez de las matemáticas (págs. 6, 68, 78, 103, 173), pero en otros pasajes describe este período como una época de agitación intelectual en la que los matemáticos abrigaban graves dudas sobre la base de su ciencia (págs. 152, 153, 170, 308)...
Sólo se puede lamentar las deficiencias filosóficas, fundamentales e históricas que vician el argumento principal y que tienden a distraer la atención de las muchas observaciones y reflexiones sólidas y fascinantes que proporciona el libro.
Amy Dahan en Revue d'histoire des sciences : [4]
Quant aux derniers chapitres sur les grandes tendances des mathématiques contemporaines, ils sont franchement décevants, assez superficials. Il n'y a pas d'analyse de la mathématique contemporaine (grande période estructuraliste, retour au «concret», flux entre les mathématiques et la physique, etc.
En cuanto a los últimos capítulos sobre las grandes tendencias de la matemática contemporánea, son francamente decepcionantes y bastante superficiales. No hay ningún análisis de la matemática contemporánea (gran período estructuralista, retorno a lo "concreto", flujo entre la matemática y la física, etc.).
Scott Weinstein en ETC: Una revisión de la semántica general : [5]
El libro del profesor Kline es un relato vivaz de un tema fascinante. Sin embargo, sus conclusiones son exageradas y, en muchos casos, injustificadas. La lección que se puede aprender de la investigación fundamental del siglo XX no es que las matemáticas se encuentren en un estado lamentable, sino más bien hasta qué punto las matemáticas mismas pueden arrojar luz, si no resolver, sobre cuestiones filosóficas profundas sobre las matemáticas. Los teoremas de Gödel insinúan, en efecto, que puede haber límites a lo que podemos llegar a saber en matemáticas, pero también demuestran por sí mismos las grandes alturas a las que la razón humana puede ascender mediante el pensamiento matemático.
Ian Stewart en Estudios Educativos en Matemáticas : [6]
Este libro está firmemente en la tradición que hemos llegado a esperar de este autor; y mi reacción a él es muy parecida a mi reacción a sus predecesores: creo que tres cuartas partes son excelentes, y la otra cuarta parte es una tontería escandalosa; y la razón es que Morris Kline realmente no entiende de qué se tratan las matemáticas de hoy, aunque tiene un dominio envidiable de las de ayer...
Morris Kline ha dicho en otro lugar que considera que el logro supremo de las matemáticas del siglo XX es el teorema de Gödel. No estoy de acuerdo: el teorema de Gödel, por asombroso y profundo que sea, tuvo poco efecto en la corriente principal del desarrollo matemático real. En realidad, no condujo a nada nuevo y poderoso, excepto a más teoremas del mismo tipo. Afectó a la forma en que los matemáticos pensaban sobre lo que estaban haciendo; pero su efecto en lo que realmente hicieron es cercano a cero. Comparemos esto con el auge de la topología: cincuenta años de esfuerzos aparentemente introvertidos por parte de los matemáticos, ignorando en gran medida la ciencia aplicada; pulido, perfeccionado y desarrollado hasta convertirse en un cuerpo técnico de inmenso poder y aún en gran parte no realizado; y en el último decenio se volvió importante en prácticamente todos los campos de la ciencia aplicada: ingeniería, física, química, análisis numérico. La topología tiene mucho más derecho a ser el logro supremo de este siglo.
Pero Morris Kline sólo ve la introversión. No parece ocurrírsele que un problema matemático puede requerir una contemplación concentrada de las matemáticas, en lugar del problema al que se espera aplicar la teoría resultante, para obtener una solución satisfactoria. Pero si quiero cortar un manzano y mi sierra está demasiado desafilada, ninguna contemplación del árbol logrará afilarlo...
Hay matemáticas buenas y matemáticas malas. Hay matemáticos que no tienen ningún interés en la ciencia y que construyen herramientas que la ciencia considerará indispensables. Hay matemáticos apasionadamente interesados en la ciencia y que construyen herramientas para un uso específico en ella, cuyo trabajo se volverá tan obsoleto como el Zeppelin o la válvula electrónica. El camino que va del descubrimiento a la utilidad es una madriguera de falsos fines: las matemáticas por sí mismas han tenido y seguirán teniendo su lugar en el esquema de las cosas. Y, después de todo, el aislamiento del topólogo que no sabe de física no es peor que el del físico que no sabe de topología. La ciencia de hoy requiere especialización de sus individuos: la actividad colectiva de los científicos en su conjunto es donde se forjan los vínculos. Si Morris Kline mostrara alguna idea de la naturaleza de este proceso, tomaría sus argumentos más en serio. Pero su afirmación de que las matemáticas han entrado en decadencia se basa demasiado en la ignorancia, y sus argumentos son de mal gusto en comparación con el maravilloso y brillante vigor de las matemáticas de hoy. A mí también me gustaría ver un reconocimiento más abierto por parte de los matemáticos de la importancia de los problemas científicos; pero pasar por alto el hecho de que realizan un trabajo espléndido incluso en este aparente aislamiento es perder la batalla antes de que haya comenzado.