Difeomorfismo de Anosov

Difeomorfismo que tiene una estructura hiperbólica en el fibrado tangente

En matemáticas , más particularmente en los campos de los sistemas dinámicos y la topología geométrica , una función de Anosov sobre una variedad M es un cierto tipo de función, de M sobre sí misma, con direcciones locales de "expansión" y "contracción" bastante claramente marcadas. Los sistemas de Anosov son un caso especial de sistemas de Axioma A.

Los difeomorfismos de Anosov fueron introducidos por Dmitri Victorovich Anosov , quien demostró que su comportamiento era en un sentido apropiado genérico (cuando existen). ^[1]

Descripción general

Es necesario distinguir tres definiciones estrechamente relacionadas:

• Si una función diferenciable f en M tiene una estructura hiperbólica en el fibrado tangente , se denomina función de Anosov . Algunos ejemplos son la función de Bernoulli y la función del gato de Arnold .
• Si el mapa es un difeomorfismo , entonces se llama difeomorfismo de Anosov .
• Si un flujo en una variedad divide el fibrado tangente en tres subfibrados invariantes , con un subfibrado que se contrae exponencialmente, otro que se expande exponencialmente y un tercer subfibrado unidimensional que no se expande ni se contrae (abarcado por la dirección del flujo), entonces el flujo se denomina flujo de Anosov .

Un ejemplo clásico del difeomorfismo de Anosov es el mapa del gato de Arnold .

Anosov demostró que los difeomorfismos de Anosov son estructuralmente estables y forman un subconjunto abierto de aplicaciones (flujos) con la topología C ¹ .

No toda variedad admite un difeomorfismo de Anosov; por ejemplo, no existen difeomorfismos de este tipo en la esfera . Los ejemplos más simples de variedades compactas que los admiten son los toros: admiten los llamados difeomorfismos de Anosov lineales , que son isomorfismos que no tienen valor propio de módulo 1. Se demostró que cualquier otro difeomorfismo de Anosov en un toro es topológicamente conjugado a uno de este tipo.

El problema de clasificar variedades que admiten difeomorfismos de Anosov resultó muy difícil, y todavía a fecha de 2023 ^[actualizar]no tiene respuesta para dimensión mayor que 3. Los únicos ejemplos conocidos son las infranilvariedades, y se conjetura que son las únicas.

Una condición suficiente para la transitividad es que todos los puntos no sean errantes: . Esto a su vez es válido para los difeomorfismos de Anosov de codimensión uno (es decir, aquellos para los cuales el subfibrado que se contrae o se expande es unidimensional) ^[2] y para los flujos de Anosov de codimensión uno en variedades de dimensión mayor que tres ^[3] así como para los flujos de Anosov cuyo espectro de Mather está contenido en dos anillos suficientemente delgados. ^[4] No se sabe si los difeomorfismos de Anosov son transitivos (excepto en variedades infranil), pero los flujos de Anosov no necesitan ser topológicamente transitivos. ^[5] ${\displaystyle \Omega (f)=M}$

Además, se desconoce si todo difeomorfismo de Anosov que preserva el volumen es ergódico. Anosov lo demostró bajo una suposición. Esto también es cierto para los difeomorfismos de Anosov que preservan el volumen. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{1+\alpha }}$

Para el difeomorfismo transitivo de Anosov existe una única medida SRB (el acrónimo significa Sinai, Ruelle y Bowen) sustentada en tal que su cuenca es de volumen completo, donde ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f\colon M\to M}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(\mu _{f})}$

${\displaystyle B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.}$

Flujo de Anosov sobre (haces tangentes de) superficies de Riemann

Como ejemplo, en esta sección se desarrolla el caso del flujo de Anosov sobre el fibrado tangente de una superficie de Riemann de curvatura negativa . Este flujo puede entenderse en términos del flujo sobre el fibrado tangente del modelo de semiplano de Poincaré de geometría hiperbólica. Las superficies de Riemann de curvatura negativa pueden definirse como modelos fuchsianos , es decir, como los cocientes del semiplano superior y un grupo fuchsiano . Para lo siguiente, sea H el semiplano superior; sea Γ un grupo fuchsiano; sea M  =  H /Γ una superficie de Riemann de curvatura negativa como el cociente de "M" por la acción del grupo Γ, y sea el fibrado tangente de vectores de longitud unitaria sobre la variedad M , y sea el fibrado tangente de vectores de longitud unitaria sobre H. Nótese que un fibrado de vectores de longitud unitaria sobre una superficie es el fibrado principal de un fibrado lineal complejo . ${\displaystyle T^{1}M}$ ${\displaystyle T^{1}H}$

Campos vectoriales de Lie

Se comienza por notar que es isomorfo al grupo de Lie PSL(2, R ) . Este grupo es el grupo de isometrías que preservan la orientación del semiplano superior. El álgebra de Lie de PSL(2, R ) es sl(2, R ), y está representada por las matrices ${\displaystyle T^{1}H}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

que tienen el álgebra

${\displaystyle [J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J}$

Los mapas exponenciales

${\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}$

definen flujos invariantes por la derecha en la variedad de , y lo mismo ocurre en . Al definir y , estos flujos definen campos vectoriales en P y Q , cuyos vectores se encuentran en TP y TQ . Estos son simplemente los campos vectoriales de Lie estándar y ordinarios en la variedad de un grupo de Lie, y la presentación anterior es una exposición estándar de un campo vectorial de Lie. ${\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T^{1}M}$ ${\displaystyle P=T^{1}H}$ ${\displaystyle Q=T^{1}M}$

Flujo de Anosov

La conexión con el flujo de Anosov proviene de la comprensión de que es el flujo geodésico en P y Q. Los campos vectoriales de Lie se dejan invariantes bajo la acción de un elemento de grupo (por definición), por lo que se tiene que estos campos se dejan invariantes bajo los elementos específicos del flujo geodésico. En otras palabras, los espacios TP y TQ se dividen en tres espacios unidimensionales, o subfibras , cada uno de los cuales es invariante bajo el flujo geodésico. El paso final es notar que los campos vectoriales en una subfibra se expanden (y se expanden exponencialmente), los de otra no cambian y los de una tercera se contraen (y lo hacen exponencialmente). ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$

Más precisamente, el fibrado tangente TQ puede escribirse como la suma directa

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$

o, en un punto , la suma directa ${\displaystyle g\cdot e=q\in Q}$

${\displaystyle T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}$

correspondientes a los generadores del álgebra de Lie Y , J y X , respectivamente, transportados, por la acción izquierda del elemento de grupo g , desde el origen e hasta el punto q . Es decir, se tiene y . Estos espacios son cada uno subfibrados , y se conservan (son invariantes) bajo la acción del flujo geodésico ; es decir, bajo la acción de los elementos de grupo . ${\displaystyle E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J}$ ${\displaystyle E_{e}^{-}=X}$ ${\displaystyle g=g_{t}}$

Para comparar las longitudes de los vectores en en diferentes puntos q , se necesita una métrica. Cualquier producto interno en se extiende a una métrica de Riemann invariante por la izquierda en P , y por lo tanto a una métrica de Riemann en Q . La longitud de un vector se expande exponencialmente como exp(t) bajo la acción de . La longitud de un vector se contrae exponencialmente como exp(-t) bajo la acción de . Los vectores en no cambian. Esto se puede ver examinando cómo conmutan los elementos del grupo. El flujo geodésico es invariante, ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle v\in E_{q}^{-}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle E_{q}^{0}}$

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}$

pero los otros dos se encogen y se expanden:

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}}$

y

${\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}}$

donde recordamos que un vector tangente en está dado por la derivada , respecto de t , de la curva , el ajuste . ${\displaystyle E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle t=0}$

Interpretación geométrica del flujo de Anosov

Cuando actúa sobre el punto del semiplano superior, corresponde a una geodésica en el semiplano superior, que pasa por el punto . La acción es la acción de transformación de Möbius estándar de SL(2, R ) en el semiplano superior, de modo que ${\displaystyle z=i}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle z=i}$

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)}$

Una geodésica general está dada por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}$

con a , b , c y d reales, con . Las curvas y se llaman horociclos . Los horociclos corresponden al movimiento de los vectores normales de una horosfera en el semiplano superior. ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle h_{t}^{*}}$ ${\displaystyle h_{t}}$

Véase también

• Flujo ergódico
• Sistema Morse-Smale
• Mapa de Pseudo-Anosov

Notas

1. Dmitri V. Anosov , Flujos geodésicos en variedades riemannianas cerradas con curvatura negativa , (1967) Proc. Steklov Inst. Matemáticas. 90 .
2. Newhouse, Sheldon E. (1970). "Sobre los difeomorfismos de Anosov de codimensión uno". American Journal of Mathematics . 92 : 761–770. doi :10.2307/2373372.
3. Verjovsky, Alberto (1974). "Codimension one Anosov fluye". Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana. Segunda Serie . 19 (2): 49–77.
4. Brin, MI (1977). "Puntos no errantes de los difeomorfismos de Anosov". Astérisque . 49 : 11–18.
5. Béguin, François; Bonatti, Christian; Yu, Bin (2017). "Construcción de flujos de Anosov en 3-variedades". Geometría y topología . 21 (3): 1837–1930. doi :10.2140/gt.2017.21.1837.

Referencias

• "Sistema Y, sistema U, sistema C", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flow on surface of constant negative curvature (Dinámica de flujos geodésicos y horocíclicos en superficies de curvatura negativa constante ), (1991), que aparece como Capítulo 3 en Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces (Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos) , Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Proporciona una introducción expositiva al flujo de Anosov en SL(2, R ).) 
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• Toshikazu Sunada , Flujos magnéticos en una superficie de Riemann , Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.