Manta de Markov

Subconjunto de variables que contiene toda la información útil

En una red bayesiana , el límite de Markov del nodo A incluye a sus padres, hijos y los otros padres de todos sus hijos.

En estadística y aprendizaje automático , cuando se quiere inferir una variable aleatoria con un conjunto de variables, normalmente basta con un subconjunto y las demás variables son inútiles. Un subconjunto de este tipo que contiene toda la información útil se denomina manta de Markov . Si una manta de Markov es mínima, es decir, que no puede descartar ninguna variable sin perder información, se denomina límite de Markov . Identificar una manta de Markov o un límite de Markov ayuda a extraer características útiles. Los términos manta de Markov y límite de Markov fueron acuñados por Judea Pearl en 1988. ^[1] Una manta de Markov puede estar constituida por un conjunto de cadenas de Markov .

Manta de Markov

Una manta de Markov de una variable aleatoria en un conjunto de variables aleatorias es cualquier subconjunto de , condicionado a que otras variables sean independientes con : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle Y\perp \!\!\!\perp {\mathcal {S}}\backslash {\mathcal {S}}_{1}\mid {\mathcal {S}}_{1}.}$$

Significa que contiene al menos toda la información que uno necesita para inferir , donde las variables son redundantes. ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\backslash {\mathcal {S}}_{1}}$

En general, una manta de Markov dada no es única. Cualquier conjunto en que contenga una manta de Markov también es una manta de Markov en sí mismo. En concreto, es una manta de Markov de en . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Límite de Markov

Un límite de Markov de en es un subconjunto de , tal que en sí mismo es una manta de Markov de , pero cualquier subconjunto propio de no es una manta de Markov de . En otras palabras, un límite de Markov es una manta de Markov mínima. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

El límite de Markov de un nodo en una red bayesiana es el conjunto de nodos compuesto por los padres de , los hijos de y los otros padres de los hijos de . En un campo aleatorio de Markov , el límite de Markov para un nodo es el conjunto de sus nodos vecinos. En una red de dependencia , el límite de Markov para un nodo es el conjunto de sus padres. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Unicidad del límite de Markov

El límite de Markov siempre existe. En algunas condiciones moderadas, el límite de Markov es único. Sin embargo, para la mayoría de los escenarios prácticos y teóricos, múltiples límites de Markov pueden proporcionar soluciones alternativas. ^[2] Cuando existen múltiples límites de Markov, las magnitudes que miden el efecto causal podrían fallar. ^[3]

Véase también

• Andrei Markov
• Minimización de energía libre
• Gráfica moral
• Separación de preocupaciones
• Causalidad
• Inferencia causal

Notas

1. Pearl, Judea (1988). Razonamiento probabilístico en sistemas inteligentes: redes de inferencia plausible . Serie Representación y razonamiento. San Mateo CA: Morgan Kaufmann. ISBN 0-934613-73-7.
2. Statnikov, Alexander; Lytkin, Nikita I.; Lemeire, Jan; Aliferis, Constantin F. (2013). "Algoritmos para el descubrimiento de múltiples límites de Markov" (PDF) . Journal of Machine Learning Research . 14 : 499–566.
3. Wang, Yue; Wang, Linbo (2020). "Inferencia causal en sistemas degenerados: un resultado imposible". Actas de la 23.ª Conferencia Internacional sobre Inteligencia Artificial y Estadística : 3383–3392.