rompecabezas de movimientos secuenciales n-dimensionales

Corte parcial de un rompecabezas de 2 ⁵ de cinco dimensiones que demuestra que incluso con el tamaño mínimo en 5-D el rompecabezas está lejos de ser trivial. La naturaleza 4-D de las pegatinas es claramente visible en esta captura de pantalla.

El Cubo de Rubik es el original y más conocido de los rompecabezas tridimensionales de movimientos secuenciales . Ha habido muchas implementaciones virtuales de este rompecabezas en software . Es una extensión natural para crear rompecabezas de movimientos secuenciales en más de tres dimensiones . Aunque nunca se podría construir físicamente un rompecabezas de este tipo, las reglas de cómo funcionan están definidas matemáticamente con bastante rigor y son análogas a las reglas que se encuentran en la geometría tridimensional. Por tanto, pueden simularse mediante software. Al igual que con los acertijos mecánicos de movimientos secuenciales, existen récords para los solucionadores, aunque todavía no se alcanza el mismo grado de organización competitiva.

Glosario

• Vértice . Un punto de dimensión cero en el que se encuentran figuras de dimensiones superiores.
• Borde . Figura unidimensional en la que se encuentran figuras de dimensiones superiores.
• Rostro . Figura bidimensional en la que (para objetos de dimensiones superiores a tres) se encuentran figuras de dimensiones superiores.
• Celúla . Figura tridimensional en la que (para objetos de dimensiones superiores a cuatro) se encuentran figuras de dimensiones superiores.
• n - Politopo . Una figura de n dimensiones que continúa como arriba. Una forma geométrica específica puede reemplazar al politopo cuando sea apropiado, como 4 cubos para referirse al teseracto .
• n -celda . Una figura de mayor dimensión que contiene n celdas.
• Pedazo . Una única pieza móvil del rompecabezas que tiene la misma dimensionalidad que todo el rompecabezas.
• Cubie . En la comunidad de soluciones, este es el término que se utiliza generalmente para una "pieza".
• Pegatina . Las etiquetas de colores del rompecabezas que identifican el estado del mismo. Por ejemplo, los cubos de las esquinas de un cubo de Rubik son una sola pieza pero cada uno tiene tres pegatinas. Las pegatinas de los rompecabezas de dimensiones superiores tendrán una dimensionalidad superior a dos. Por ejemplo, en el cubo de 4, las pegatinas son sólidos tridimensionales.

A efectos comparativos, los datos relativos al cubo de Rubik estándar 3 ³ son los siguientes;

Número de combinaciones posibles   ${\displaystyle ={\frac {12!\cdot 8!}{2}}\cdot {\frac {2^{12}}{2}}\cdot {\frac {3^{8}}{3}}\sim 10^{20}}$

Existe cierto debate sobre si los cubitos del centro de la cara deben contarse como piezas separadas, ya que no se pueden mover entre sí. Se puede proporcionar un número diferente de piezas en diferentes fuentes. En este artículo se cuentan los cubitos del centro de la cara, ya que esto hace que las secuencias aritméticas sean más consistentes y ciertamente se pueden rotar, cuya solución requiere algoritmos. Sin embargo, el cubo que está justo en el medio no se cuenta porque no tiene pegatinas visibles y, por lo tanto, no requiere solución. Aritméticamente deberíamos tener

${\displaystyle P=V+E+F+C\,\!}$

Pero P siempre está uno menos que esto (o la extensión n -dimensional de esta fórmula) en las cifras dadas en este artículo porque C (o el correspondiente politopo de mayor dimensión, para dimensiones superiores) no se cuenta.

Cubo mágico 4D

Rompecabezas virtual de 4 cubos 3 ⁴ , resuelto. En esta proyección no se muestra una celda. La posición de esta celda es el primer plano extremo de la cuarta dimensión más allá de la posición de la pantalla del espectador.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 3 ⁴ , girado en la cuarta dimensión para mostrar el color de la celda oculta.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 3 ⁴ , girado en un espacio 3D normal.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 3 ⁴ , revueltos.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 2 ⁴ , un cubo está resaltado para mostrar cómo se distribuyen las pegatinas en el cubo. Ten en cuenta que hay cuatro pegatinas en cada uno de los cubitos del rompecabezas 2 ⁴ , pero solo tres están resaltadas; la que falta está en la celda oculta.

Rompecabezas virtual de 4 cubos 5 ⁴ con pegatinas del mismo cubo hechas para tocarse exactamente entre sí.

Forma geométrica: Teseracto

El software Superliminal MagicCube4D implementa muchas versiones de rompecabezas retorcidos de politopos 4D, incluidos cubos N ⁴ . La interfaz de usuario permite giros y rotaciones 4D, además de control de los parámetros de visualización 4D, como la proyección en 3D, el tamaño y el espaciado de los cubículos y el tamaño de las pegatinas.

Superliminal Software mantiene un Salón de la Fama por quienes han batido récords en la resolución de este rompecabezas.

3 4 4 cubos

Combinaciones realizables: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {24!\cdot 32!}{2}}\cdot {\frac {16!}{2}}\cdot 2^{23}\cdot (3!)^{31}\cdot 3\cdot {\left({\frac {4!}{2}}\right)}^{15}\cdot 4}$

${\displaystyle \sim 10^{120}\,\!}$

2 4 4 cubos

Combinaciones realizables: ^[2]

${\displaystyle {}={\frac {15!}{2}}\cdot {\left({\frac {4!}{2}}\right)}^{14}\cdot 4}$

${\displaystyle {}\sim 10^{28}\,\!}$

4 4 4 cubos

Combinaciones realizables: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {15!}{2}}\cdot \left({\frac {4!}{2}}\right)^{14}\cdot 4\cdot {\frac {64!}{2}}\cdot 3^{63}\cdot {\frac {96!\cdot 2}{2\cdot (4!)^{24}}}\cdot {\frac {2^{95}\cdot 64!\cdot 2}{2\cdot (8!)^{8}}}}$

${\displaystyle \sim 10^{334}\,\!}$

5 4 4 cubos

Combinaciones realizables: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {48!}{(6!)^{8}}}\cdot {\frac {96!}{(12!)^{8}}}\cdot {\frac {64!}{(8!)^{8}}}\cdot {\frac {24!\cdot 32!}{2}}\cdot (3!)^{31}\cdot 2^{23}\cdot {\frac {64!}{2}}\cdot }$ ${\displaystyle 3^{63}\cdot 16!\cdot \left({\frac {4!}{2}}\right)^{15}\cdot 4\cdot {\frac {96!}{(4!)^{24}}}\cdot 2^{95}\cdot {\frac {96!}{(4!)^{24}}}\cdot 2^{95}}$

${\displaystyle \sim 10^{701}\,\!}$

Cubo mágico 5D

Rompecabezas virtual de 5 cubos 3 ⁵ , a la vista en estado resuelto.

Rompecabezas virtual de 5 cubos 3 ⁵ , revueltos.

Rompecabezas virtual de 5 cubos 7 ⁵ , con ciertas piezas resaltadas. El resto está sombreado para facilitar la comprensión del rompecabezas por parte del solucionador.

Rompecabezas virtual de 5 cubos 7 ⁵ , resuelto.

Panel de control de software para girar el cubo de 5, que ilustra el mayor número de planos de rotación posibles en 5 dimensiones.

Forma geométrica: pentacto

Magic Cube 5D de Roice Nelson es capaz de representar rompecabezas de 5 cubos en seis tamaños, desde 2 ⁵ hasta 7 ⁵ . Permite giros y controles 5D para rotar el cubo en múltiples dimensiones, controles de perspectiva 4-D y 5-D, controles de tamaño y espaciado de cubos y pegatinas, similar a Magiccube4D.

Sin embargo, un rompecabezas 5D es mucho más difícil de comprender que uno 4D. Una característica esencial de la implementación de Roice es la capacidad de desactivar o resaltar cubitos y pegatinas elegidos. Aun así, las complejidades de las imágenes producidas siguen siendo bastante graves, como se puede ver en las capturas de pantalla.

Roice mantiene un Salón de la Locura para los solucionadores de este rompecabezas que baten récords. Hasta el 6 de enero de 2011, ha habido dos soluciones exitosas para el tamaño 7 ⁵ de 5 cubos. ^[3]

3 5 5-cubo

Combinaciones realizables: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {40!\cdot 80!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}}$

${\displaystyle \sim 10^{561}\,\!}$

2 5 5 cubos

Combinaciones realizables: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}}$

${\displaystyle \sim 10^{89}\,\!}$

4 5 5 cubos

Combinaciones realizables: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}}$

${\displaystyle \sim 10^{2075}\,\!}$

5 5 5-cubo

Combinaciones realizables: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {40!\cdot 80!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{(6!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {320!}{(8!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {480!}{(12!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {80!}{(8!)^{10}}}\cdot {\frac {160!}{(16!)^{10}}}\cdot \\{\frac {240!}{(24!)^{10}}}\cdot {\frac {320!}{(32!)^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{5267}\,\!}$

6 5 5-cubo

Combinaciones realizables: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {640!}{24^{160}}}\cdot {\frac {3^{640}}{3}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot \\{\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{11441}\,\!}$

7 5 5-cubo

Combinaciones realizables: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {80!\cdot 40!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {640!}{24^{160}}}\cdot {\frac {3^{640}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{6!^{40}}}\cdot \\{\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {480!}{12!^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{6!^{40}}}\cdot {\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {480!}{12!^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {80!}{8!^{10}}}\cdot {\frac {240!}{24!^{10}}}\cdot {\frac {320!}{32!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\cdot {\frac {80!}{8!^{10}}}\cdot \\{\frac {480!}{48!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {240!}{24!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {320!}{32!^{10}}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{21503}\,\!}$

Cubo Mágico 7D

Forma geométrica: hexeract (6D) y hepteract (7D)

Rompecabezas virtual de 7 cubos 5 ^{7 , revueltos.}

El software Magic Cube 7D de Andrey Astrelin es capaz de representar rompecabezas de hasta 7 dimensiones en doce tamaños, desde 3 ⁴ hasta 5 ⁷ .

A noviembre de 2023, en términos de acertijos exclusivos de Magic Cube 7D, solo se han resuelto los acertijos 3 ⁶ , 3 ⁷ , 4 ⁶ y 5 ^{6 . [5]}

Magia de 120 celdas

Rompecabezas virtual de 120 celdas, a la vista en estado resuelto

Rompecabezas virtual de 120 celdas, resuelto

Forma geométrica: 120 celdas (también llamada hecatonicosachoron o dodecacontachoron)

La de 120 celdas es una figura geométrica en 4D ( 4-politopo ) compuesta por 120 dodecaedros , que a su vez es una figura en 3D compuesta por 12 pentágonos . El de 120 celdas es el análogo 4-D del dodecaedro de la misma manera que el teseracto (4-cubo) es el análogo 4-D del cubo. El rompecabezas de movimiento secuencial de software 4-D de 120 celdas de Gravitation3d es, por lo tanto, el análogo 4-D del rompecabezas 3-D Megaminx , que tiene la forma de un dodecaedro.

El rompecabezas se presenta en un solo tamaño, es decir, tres cubos de cada lado, pero en seis esquemas de color de diferente dificultad. El rompecabezas completo requiere un color diferente para cada celda, es decir, 120 colores. Esta gran cantidad de colores aumenta la dificultad del rompecabezas, ya que algunos tonos son bastante difíciles de distinguir. La forma más sencilla son dos toros entrelazados, cada toro formando un anillo de cubos de diferentes dimensiones. La lista completa de combinaciones de colores es la siguiente;

• Toros de 2 colores.
• Celdas de 4 cubos de 9 colores. Es decir, el mismo esquema de color que el de 4 cubos.
• Capas de 9 colores.
• Anillos de 12 colores.
• Antípoda de 60 colores. Cada par de células del dodecaedro diametralmente opuestas es del mismo color.
• Puzzle completo de 120 colores.

Los controles son muy similares a los del Cubo Mágico 4-D con controles para perspectiva 4-D, tamaño de celda, tamaño de etiqueta y distancia y el zoom y rotación habituales. Además, existe la posibilidad de desactivar completamente grupos de células basándose en la selección de toros, células de 4 cubos, capas o anillos.

Gravitation3d ha creado un "Salón de la Fama" para los solucionadores, quienes deben proporcionar un archivo de registro para su solución. En abril de 2017, el rompecabezas se ha resuelto doce veces. ^[6]

Combinaciones realizables: ^[7]

${\displaystyle ={\frac {600!}{2}}\cdot {\frac {1200!}{2}}\cdot {\frac {720!}{2}}\cdot {\frac {2^{720}}{2}}\cdot {\frac {6^{1200}}{2}}\cdot {\frac {12^{600}}{3}}}$

${\displaystyle \sim 10^{8126}\,}$

Este cálculo de combinaciones posibles no ha sido probado matemáticamente y sólo puede considerarse un límite superior. Su derivación supone la existencia del conjunto de algoritmos necesarios para realizar todas las combinaciones de "cambios mínimos". No hay razón para suponer que estos algoritmos no se encontrarán, ya que los solucionadores de acertijos han logrado encontrarlos en todos los acertijos similares que se han resuelto hasta ahora.

3x3 cuadrado 2D

Rompecabezas virtual de 2 cubos 3×3

Forma geométrica: cuadrado

Un rompecabezas tipo Rubik en 2D no se puede construir físicamente más que uno en 4D. ^[8] Se podría construir un rompecabezas 3-D sin pegatinas en la tercera dimensión que luego se comportaría como un rompecabezas 2-D, pero la verdadera implementación del rompecabezas permanece en el mundo virtual. La implementación que se muestra aquí es de Superliminal, quien lo llama Cubo Mágico 2D.

El rompecabezas no es de gran interés para los solucionadores ya que su solución es bastante trivial. En gran parte esto se debe a que no es posible colocar una pieza en posición con un giro. Algunos de los algoritmos más difíciles del cubo de Rubik estándar son lidiar con giros en los que una pieza está en su posición correcta pero no en la orientación correcta. En los rompecabezas de mayores dimensiones, esta torsión puede adoptar la forma bastante desconcertante de una pieza aparentemente al revés. Sólo hay que comparar la dificultad del rompecabezas de 2×2×2 con el de 3×3 (que tiene el mismo número de piezas) para ver que esa capacidad de provocar giros en dimensiones superiores tiene mucho que ver con la dificultad, y por tanto con la satisfacción. con la resolución del siempre popular cubo de Rubik.

Combinaciones realizables:

${\displaystyle =4!\,\!=24}$

Las piezas centrales tienen una orientación fija entre sí (exactamente de la misma manera que las piezas centrales del cubo estándar de 3 × 3 × 3) y, por lo tanto, no figuran en el cálculo de combinaciones.

Este rompecabezas no es realmente un verdadero análogo bidimensional del Cubo de Rubik. Si el grupo de operaciones en un solo politopo de un rompecabezas de n dimensiones se define como cualquier rotación de un politopo de dimensiones ( n  – 1) en un espacio de dimensiones ( n  – 1), entonces el tamaño del grupo,

• para el cubo de 5 son las rotaciones de un politopo de 4 en el espacio de 4 = 8 × 6 × 4 = 192,
• para el 4-cubo son rotaciones de un 3-politopo (cubo) en 3-espacio = 6×4 = 24,
• para el cubo 3 son rotaciones de un politopo 2 (cuadrado) en 2 espacios = 4
• para el cubo 2 son rotaciones de un politopo 1 en 1 espacio = 1

En otras palabras, el rompecabezas 2D no se puede codificar en absoluto si se imponen las mismas restricciones a los movimientos que para el rompecabezas 3D real. Los movimientos que realmente se le dan al Cubo Mágico 2D son operaciones de reflexión. Esta operación de reflexión se puede extender a rompecabezas de mayores dimensiones. Para el cubo 3D, la operación análoga sería quitar una cara y reemplazarla con las pegatinas mirando hacia el cubo. Para el cubo de 4, la operación análoga es quitar un cubo y volver a colocarlo del revés.

Proyección 1D

Otro rompecabezas de dimensiones alternativas es una vista que se puede lograr en Magic Cube 3D de David Vanderschel. Un cubo de 4 dimensiones proyectado en una pantalla de computadora 2D es un ejemplo de un tipo general de rompecabezas de n dimensiones proyectado en un espacio de n  – 2 dimensiones. La analogía tridimensional de esto es proyectar el cubo en una representación unidimensional, que es lo que el programa de Vanderschel es capaz de hacer.

Vanderschel se lamenta de que nadie haya afirmado haber resuelto la proyección 1D de este rompecabezas. ^[9] Sin embargo, dado que no se mantienen registros de este rompecabezas, es posible que en realidad no esté sin resolver.

Proyección unidimensional del Cubo de Rubik de 3x3x3 como se muestra en Magic Cube 3D.

Ver también

• Grupo del cubo de Rubik
• Lista de software del cubo de Rubik
• Lista de juegos de cuatro dimensiones.

Referencias

1. Roice Nelson, Anatomía de un cubo de Rubik d-dimensional , disponible en línea aquí y archivado el 25 de diciembre de 2008.
2. Eric Balandraud, Calculando las permutaciones de cubos mágicos 4D , disponible en línea aquí y archivado el 25 de diciembre de 2008.
3. Roice Nelson, Rompecabezas sin resolver MagicCube5D enumerados en línea aquí y archivados el 25 de diciembre de 2008.
4. Recuentos de permutaciones abcdef MC5D
5. Cubo mágico 7D
6. "Celda Mágica120".
7. David Smith, Un límite superior para el número de posiciones diferentes de la celda Magic120 completamente coloreada , disponible en línea aquí y archivado el 25 de diciembre de 2008.
8. David Vanderschel, "Cubos de dimensiones inferiores", 4D Cubing Forum, 21 de agosto de 2006. "Los movimientos (reflectantes) de MC2D requerirían una tercera dimensión para implementarlos físicamente". Consultado el 4 de abril de 2009, archivado el 9 de julio de 2012.
9. Publicación de Vanderschel en el grupo 4D Cubing en Yahoo recuperada y archivada el 25 de diciembre de 2008.

Otras lecturas

• HJ Kamack y TR Keane, The Rubik Tesseract , disponible en línea aquí y archivado el 25 de diciembre de 2008.
• Velleman, D, "El Teseracto de Rubik", Revista de Matemáticas , vol. 65 , núm. 1 (febrero de 1992), págs. 27–36, Asociación Matemática de América .
• Pickover, C, Navegando por el hiperespacio , páginas 120-122, Oxford University Press, 1999.
• Pickover, C, Alien IQ Test , Capítulo 24, Publicaciones de Dover, 2001.
• Pickover, C, El zen de los cuadrados, círculos y estrellas mágicos , páginas 130-133, Princeton University Press, 2001.
• David Singmaster, Computer Cubists , junio de 2001. Una lista mantenida por Singmaster, que incluye referencias 4D. Consultado el 19 de junio de 2008.

enlaces externos

• Superliminal
• Anatomía de Gravitation3d de un cubo de Rubik d-dimensional
• El cubo mágico 3D de David Vanderschel