Término de corrección de Madhava

El término de corrección de Madhava es una expresión matemática atribuida a Madhava de Sangamagrama (c. 1340 – c. 1425), el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , que se puede utilizar para dar una mejor aproximación al valor de la constante matemática π ( pi ) que la aproximación de suma parcial obtenida al truncar la serie infinita de Madhava-Leibniz para π . La serie infinita de Madhava-Leibniz para π es

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Tomando la suma parcial de los primeros términos tenemos la siguiente aproximación a π : ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}}$

Al denotar el término de corrección de Madhava por , tenemos la siguiente mejor aproximación a π : ${\displaystyle F(n)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F(n)}$

Se han atribuido a Madhava tres expresiones diferentes como posibles valores de , a saber, ${\displaystyle F(n)}$

${\displaystyle F_{1}(n)={\frac {1}{4n}}}$

${\displaystyle F_{2}(n)={\frac {n}{4n^{2}+1}}}$

${\displaystyle F_{3}(n)={\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

En los escritos existentes de los matemáticos de la escuela de Kerala hay algunas indicaciones sobre cómo se han obtenido los términos de corrección y , pero no hay ninguna indicación sobre cómo se ha obtenido la expresión. Esto ha dado lugar a una gran cantidad de trabajos especulativos sobre cómo se podrían haber derivado las fórmulas. ${\displaystyle F_{1}(n)}$ ${\displaystyle F_{2}(n)}$ ${\displaystyle F_{3}(n)}$

Términos de corrección tal como aparecen en los textos de Kerala

Las expresiones para y se dan explícitamente en el Yuktibhasha , un importante tratado sobre matemáticas y astronomía escrito por el astrónomo indio Jyesthadeva de la escuela de matemáticas de Kerala alrededor de 1530, pero ese para aparece allí solo como un paso en el argumento que conduce a la derivación de . ^{[1] [2]} ${\displaystyle F_{2}(n)}$ ${\displaystyle F_{3}(n)}$ ${\displaystyle F_{1}(n)}$ ${\displaystyle F_{2}(n)}$

El comentario Yuktidipika–Laghuvivrthi de Tantrasangraha , un tratado escrito por Nilakantha Somayaji, un astrónomo/matemático perteneciente a la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala y completado en 1501, presenta el segundo término de corrección en los siguientes versos (Capítulo 2: Versos 271–274): ^{[3] [1]}

Traducción al español de los versos: ^[3]

"Al diámetro multiplicado por 4, se le suma y se le resta alternativamente, en orden, el diámetro multiplicado por 4 y dividido por separado por los números impares 3, 5, etc. El número impar en el que termina este proceso, cuatro veces el diámetro, se debe multiplicar por el siguiente número par, dividir por la mitad y dividir por uno, sumado a ese número par elevado al cuadrado. El resultado se debe sumar o restar según se haya restado o sumado el último término. Esto da la circunferencia con mayor precisión que la que se obtendría siguiendo con ese proceso".

En notaciones modernas esto se puede expresar de la siguiente manera (donde es el diámetro del círculo): ${\displaystyle d}$

Circunferencia ${\displaystyle =4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4d\left(p+1\right)/2}{1+(p+1)^{2}}}}$

Si establecemos , el último término en el lado derecho de la ecuación anterior se reduce a . ${\displaystyle p=2n-1}$ ${\displaystyle 4dF_{2}(n)}$

El mismo comentario también da el término de corrección en los siguientes versículos (Capítulo 2: Versículos 295-296): ${\displaystyle F_{3}(n)}$

Traducción al español de los versos: ^[3]

"Un método más sutil, con otra corrección. [Conserve] el primer procedimiento que implica la división de cuatro veces el diámetro por los números impares, 3, 5, etc. [Pero] luego agréguelo o réstelo [cuatro veces el diámetro] multiplicado por uno sumado al siguiente número par reducido a la mitad y elevado al cuadrado, y dividido por uno sumado a cuatro veces el multiplicador anterior [con este] multiplicado por el número par reducido a la mitad".

En notaciones modernas, esto se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\text{Circumference}}=4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4dm}{\left(1+4m\right)(p+1)/2}},}$

donde el "multiplicador" Si establecemos , el último término en el lado derecho de la ecuación anterior se reduce a . ${\textstyle m=1+\left((p+1)/2\right)^{2}.}$ ${\displaystyle p=2n-1}$ ${\displaystyle 4dF_{3}(n)}$

Precisión de los términos de corrección

Dejar

${\displaystyle s_{i}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F_{i}(n)}$.

Entonces, escribiendo , los errores tienen los siguientes límites: ^{[2] [4]} ${\displaystyle p=2n+1}$ ${\displaystyle \left|{\frac {\pi }{4}}-s_{i}(n)\right|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}{\frac {1}{p^{3}-p}}-{\frac {1}{(p+2)^{3}-(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{1}(n)\right|<{\frac {1}{p^{3}-p}},\\[10mu]{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{2}(n)\right|<{\frac {4}{p^{5}+4p}},\end{aligned}}\\[20mu]&{\begin{aligned}&{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}-{\frac {36}{(p+2)^{7}+7(p+2)^{5}+28(p+2)^{3}-36(p+2)}}\cdots \\[10mu]&{\phantom {{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}}}<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{3}(n)\right|<{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}.\end{aligned}}\end{aligned}}}$

Valores numéricos de los errores en el cálculo deπ

Los errores al utilizar estas aproximaciones para calcular el valor de π son

${\displaystyle E(n)=\pi -4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}\right)}$

${\displaystyle E_{i}(n)=E(n)-4\times (-1)^{n}F_{i}(n)}$

La siguiente tabla proporciona los valores de estos errores para algunos valores seleccionados de . ${\displaystyle n}$

Expresiones de fracciones continuas para los términos de corrección

Se ha observado que los términos de corrección son los tres primeros convergentes de las siguientes expresiones de fracciones continuas : ^[3] ${\displaystyle F_{1}(n),F_{2}(n),F_{3}(n)}$

• ${\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\cdots }}}}}}}$

• ${\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {\cdots }{\cdots +{\cfrac {r^{2}}{n[4-3(r{\bmod {2}})]+\cdots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}}$

La función que representa la ecuación ${\displaystyle f(n)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots \pm {\frac {1}{n}}\mp f(n+1)}$

La expresión exacta se puede expresar de la siguiente forma: ^[1]

${\displaystyle f(n)={\frac {1}{2}}\times {\cfrac {1}{n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{n+{\cfrac {3^{2}}{n+\cdots }}}}}}}}}$

Los tres primeros convergentes de esta fracción continua infinita son precisamente los términos de corrección de Madhava. Además, esta función tiene la siguiente propiedad: ${\displaystyle f(n)}$

${\displaystyle f(2n)={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}}$

Derivación especulativa de Hayashiy otros.

En un artículo publicado en 1990, un grupo de tres investigadores japoneses propuso un ingenioso método mediante el cual Madhava podría haber obtenido los tres términos de corrección. Su propuesta se basaba en dos supuestos: Madhava utilizó π como valor y utilizó el algoritmo euclidiano para la división. ^{[5] [6]} ${\displaystyle 355/113}$

Escribiendo

${\displaystyle S(n)=\left|1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}-{\frac {\pi }{4}}\right|}$

y tomando los valores calculados los expresamos como fracción con 1 como numerador, y finalmente ignoramos las partes fraccionarias en el denominador para obtener aproximaciones: ${\displaystyle \pi =355/113,}$ ${\displaystyle S(n),}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}S(1)&=\ \ \,{\frac {97}{452}}&&=\ \ \ {\frac {1}{4+{\frac {64}{97}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]S(2)&=\ \ {\frac {161}{1356}}&&=\ \ \,{\frac {1}{8+{\frac {68}{161}}}}&&\approx {\frac {1}{8}},\\[6mu]S(3)&=\ \ {\frac {551}{6780}}&&=\ \,{\frac {1}{12+{\frac {168}{551}}}}&&\approx {\frac {1}{12}},\\[6mu]S(4)&=\ {\frac {2923}{47460}}&&=\ {\frac {1}{16+{\frac {692}{2923}}}}&&\approx {\frac {1}{16}},\\[6mu]S(5)&={\frac {21153}{427140}}&&={\frac {1}{20+{\frac {4080}{21153}}}}&&\approx {\frac {1}{20}}.\end{alignedat}}}$

Esto sugiere la siguiente primera aproximación a cuál es el término de corrección del que hablamos anteriormente. ${\displaystyle S(n)}$ ${\displaystyle F_{1}(n)}$

${\displaystyle S(n)\approx {\frac {1}{4n}}}$

Las fracciones que se ignoraron pueden expresarse con 1 como numerador, ignorando las partes fraccionarias de los denominadores para obtener la siguiente aproximación. Dos de estos pasos son:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\frac {64}{97}}&=\ \,{\frac {1}{1+{\frac {33}{64}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},&{\frac {33}{64}}&=\,{\frac {1}{1+{\frac {31}{33}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},\\[6mu]{\frac {68}{161}}&=\ \,{\frac {1}{2+{\frac {25}{68}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},&{\frac {25}{68}}&=\,{\frac {1}{2+{\frac {18}{25}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},\\[6mu]{\frac {168}{551}}&=\ {\frac {1}{3+{\frac {47}{168}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},&{\frac {47}{168}}&=\,{\frac {1}{3+{\frac {27}{47}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},\\[6mu]{\frac {692}{2923}}&={\frac {1}{4+{\frac {155}{692}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},&{\frac {155}{692}}&={\frac {1}{4+{\frac {72}{155}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]{\frac {4080}{21153}}&={\frac {1}{5+{\frac {753}{4080}}}}&&\approx {\frac {1}{5}},&\quad {\frac {753}{4080}}&={\frac {1}{5+{\frac {315}{753}}}}&&\approx {\frac {1}{5}}.\end{alignedat}}}$

Esto produce las siguientes dos aproximaciones exactamente iguales a los términos de corrección. ${\displaystyle S(n),}$ ${\displaystyle F_{2}(n),}$

${\displaystyle S(n)\approx {\frac {1}{4n+{\dfrac {1}{n}}}}={\frac {n}{4n^{2}+1}},}$

y ${\displaystyle F_{3}(n),}$

${\displaystyle S(n)\approx {\dfrac {1}{4n+{\dfrac {1}{n+{\dfrac {1}{n}}}}}}={\frac {n^{2}+1}{n(4n^{2}+5)}},}$

atribuido a Madhava.

Véase también

• Serie Madhava
• Tabla de senos de Madhava

Referencias

1. CT Rajagopal y MS Rangachari (1978). "Sobre una fuente sin explotar de matemáticas medievales de Keralesa". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 18 (2): 89–102. doi :10.1007/BF00348142. S2CID  51861422.
2. KV Sarma con notas explicativas en inglés de K. Ramasubrahmanyan, MD Srinivas, MS Sriram (2008). Ganita-Yukti-Bhasha de Jyeshthadeva. Volumen I – Matemáticas . Nueva Delhi: Hindustan Book Agency. págs. 201–207. ISBN 978-81-85931-81-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. CK Raju (2007). Historia de la ciencia, la filosofía y la cultura en la civilización india Editor general DP Chattopadhyaya Volumen X Parte 4. Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI d. C. Nueva Delhi: Centro de Estudios sobre Civilizaciones y Dorling Kindersley (India) Pvt Ltd. págs. 173-174. ISBN 978-81-317-0871-2.
4. Ranjan Roy (2011). Fuentes en el desarrollo de las series y productos infinitos de las matemáticas desde el siglo XV hasta el siglo XXI . Nueva York: Cambridge University Press. p. 5. ISBN 978-0-521-11470-7.
5. T. Hayashi, T. Kusuba y M. Yano (1990). "La corrección de la serie Madhava para la circunferencia de un círculo". Cenluurus (33): 149–174.
6. George Ghevarghese Joseph (2009). Un pasaje al infinito Matemáticas medievales indias de Kerala y su impacto . Nueva Delhi: SAGE Publications India Pvt Ltd. págs. 132-133. ISBN 978-81-321-0168-0.

Lectura adicional

• CT Rajagopal y MS Rangachari (1986). "Sobre las matemáticas medievales de Kerala". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 35 (2): 91–99. doi :10.1007/BF00357622. JSTOR  41133779. S2CID  121678430.
• P. Rajasekhar (junio de 2011). "Derivación del término restante para la expansión en serie de π como se muestra en Yukthibhasa y su interpretación moderna". Boletín de la Asociación de Matemáticas de Kerala . 8 (1): 17–39.
• Ranjan Roy (13 de junio de 2011). "Series de potencias en Kerala en el siglo XV", extraído de Fuentes en el desarrollo de las matemáticas: series infinitas y productos desde el siglo XV hasta el siglo XXI . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11470-7.