Control predictivo del modelo

Método avanzado de control de procesos.

El control predictivo de modelos ( MPC ) es un método avanzado de control de procesos que se utiliza para controlar un proceso mientras se satisface un conjunto de restricciones. Se utiliza en las industrias de procesos de plantas químicas y refinerías de petróleo desde los años 1980. En los últimos años también se ha utilizado en modelos de equilibrado de sistemas de potencia ^[1] y en electrónica de potencia . ^[2] Los controladores predictivos de modelos se basan en modelos dinámicos del proceso, la mayoría de las veces modelos empíricos lineales obtenidos mediante identificación del sistema . La principal ventaja de MPC es el hecho de que permite optimizar el intervalo de tiempo actual, teniendo en cuenta los intervalos de tiempo futuros. Esto se logra optimizando un horizonte de tiempo finito, pero solo implementando el intervalo de tiempo actual y luego optimizando nuevamente, repetidamente, diferenciándose así de un regulador lineal-cuadrático ( LQR ). Además, MPC tiene la capacidad de anticipar eventos futuros y puede tomar medidas de control en consecuencia. Los controladores PID no tienen esta capacidad predictiva. MPC se implementa casi universalmente como control digital, aunque hay investigaciones para lograr tiempos de respuesta más rápidos con circuitos analógicos especialmente diseñados. ^[3]

El control predictivo generalizado (GPC) y el control matricial dinámico (DMC) son ejemplos clásicos de MPC. ^[4]

Descripción general

Simulación MPC de 3 estados y 3 actuadores, múltiples entradas y múltiples salidas

Los modelos utilizados en MPC generalmente pretenden representar el comportamiento de sistemas dinámicos complejos y simples . La complejidad adicional del algoritmo de control MPC generalmente no es necesaria para proporcionar un control adecuado de sistemas simples, que a menudo están bien controlados mediante controladores PID genéricos . Las características dinámicas comunes que son difíciles para los controladores PID incluyen grandes retrasos de tiempo y dinámicas de alto orden.

Los modelos MPC predicen el cambio en las variables dependientes del sistema modelado que será causado por cambios en las variables independientes . En un proceso químico, las variables independientes que el controlador puede ajustar son a menudo los puntos de ajuste de los controladores PID regulatorios (presión, flujo, temperatura, etc.) o el elemento de control final (válvulas, compuertas, etc.). Como perturbaciones se utilizan variables independientes que el controlador no puede ajustar. Las variables dependientes en estos procesos son otras medidas que representan objetivos de control o restricciones del proceso.

MPC utiliza las mediciones actuales de la planta, el estado dinámico actual del proceso, los modelos MPC y los objetivos y límites de las variables del proceso para calcular cambios futuros en las variables dependientes. Estos cambios se calculan para mantener las variables dependientes cerca del objetivo y al mismo tiempo respetar las restricciones tanto de las variables independientes como de las dependientes. El MPC normalmente envía sólo el primer cambio en cada variable independiente que se va a implementar y repite el cálculo cuando se requiere el siguiente cambio.

Si bien muchos procesos reales no son lineales, a menudo se puede considerar que son aproximadamente lineales en un rango operativo pequeño. Los enfoques MPC lineales se utilizan en la mayoría de las aplicaciones con el mecanismo de retroalimentación del MPC compensando los errores de predicción debidos al desajuste estructural entre el modelo y el proceso. En los controladores predictivos de modelos que constan únicamente de modelos lineales, el principio de superposición del álgebra lineal permite sumar el efecto de los cambios en múltiples variables independientes para predecir la respuesta de las variables dependientes. Esto simplifica el problema de control a una serie de cálculos de álgebra matricial directa que son rápidos y sólidos.

Cuando los modelos lineales no son lo suficientemente precisos para representar las no linealidades del proceso real, se pueden utilizar varios enfoques. En algunos casos, las variables del proceso se pueden transformar antes y/o después del modelo MPC lineal para reducir la no linealidad. El proceso se puede controlar con MPC no lineal que utiliza un modelo no lineal directamente en la aplicación de control. El modelo no lineal puede adoptar la forma de un ajuste de datos empíricos (por ejemplo, redes neuronales artificiales) o un modelo dinámico de alta fidelidad basado en equilibrios fundamentales de masa y energía. El modelo no lineal se puede linealizar para derivar un filtro de Kalman o especificar un modelo para MPC lineal.

Un estudio algorítmico realizado por El-Gherwi, Budman y El Kamel muestra que utilizar un enfoque de modo dual puede proporcionar una reducción significativa en los cálculos en línea y al mismo tiempo mantener un rendimiento comparativo con una implementación no alterada. El algoritmo propuesto resuelve N problemas de optimización convexa en paralelo basándose en el intercambio de información entre controladores. ^[5]

Teoría detrás de MPC

Un esquema MPC discreto.

MPC is based on iterative, finite-horizon optimization of a plant model. At time ${\displaystyle t}$ the current plant state is sampled and a cost minimizing control strategy is computed (via a numerical minimization algorithm) for a relatively short time horizon in the future: ${\displaystyle [t,t+T]}$. Specifically, an online or on-the-fly calculation is used to explore state trajectories that emanate from the current state and find (via the solution of Euler–Lagrange equations) a cost-minimizing control strategy until time ${\displaystyle t+T}$. Only the first step of the control strategy is implemented, then the plant state is sampled again and the calculations are repeated starting from the new current state, yielding a new control and new predicted state path. The prediction horizon keeps being shifted forward and for this reason MPC is also called receding horizon control. Although this approach is not optimal, in practice it has given very good results. Much academic research has been done to find fast methods of solution of Euler–Lagrange type equations, to understand the global stability properties of MPC's local optimization, and in general to improve the MPC method.^[6][7]

Principles of MPC

Model predictive control is a multivariable control algorithm that uses:

• an internal dynamic model of the process
• a cost function J over the receding horizon
• an optimization algorithm minimizing the cost function J using the control input u

An example of a quadratic cost function for optimization is given by:

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{N}w_{x_{i}}(r_{i}-x_{i})^{2}+\sum _{i=1}^{M}w_{u_{i}}{\Delta u_{i}}^{2}}$

without violating constraints (low/high limits) with

${\displaystyle x_{i}}$: ${\displaystyle i}$^th controlled variable (e.g. measured temperature)

${\displaystyle r_{i}}$: ${\displaystyle i}$^th reference variable (e.g. required temperature)

${\displaystyle u_{i}}$: ${\displaystyle i}$^th manipulated variable (e.g. control valve)

${\displaystyle w_{x_{i}}}$: weighting coefficient reflecting the relative importance of ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle w_{u_{i}}}$: weighting coefficient penalizing relative big changes in ${\displaystyle u_{i}}$

etc.

Nonlinear MPC

Nonlinear model predictive control, or NMPC, is a variant of model predictive control that is characterized by the use of nonlinear system models in the prediction. As in linear MPC, NMPC requires the iterative solution of optimal control problems on a finite prediction horizon. While these problems are convex in linear MPC, in nonlinear MPC they are not necessarily convex anymore. This poses challenges for both NMPC stability theory and numerical solution.^[8]

La solución numérica de los problemas de control óptimo NMPC se basa típicamente en métodos de control óptimo directo que utilizan esquemas de optimización de tipo Newton, en una de las variantes: métodos de disparo único directo , métodos de disparo múltiple directo o colocación directa . ^[9] Los algoritmos NMPC normalmente explotan el hecho de que los problemas de control óptimo consecutivos son similares entre sí. Esto permite inicializar el procedimiento de solución de tipo Newton de manera eficiente mediante una suposición desplazada adecuadamente de la solución óptima previamente calculada, ahorrando cantidades considerables de tiempo de cálculo. La similitud de los problemas posteriores se explota aún más mediante algoritmos de seguimiento de ruta (o "iteraciones en tiempo real") que nunca intentan iterar ningún problema de optimización hasta la convergencia, sino que solo realizan unas pocas iteraciones hacia la solución del problema NMPC más actual. antes de pasar al siguiente, que está convenientemente inicializado; ver, por ejemplo,... ^[10] Otro candidato prometedor para el problema de optimización no lineal es utilizar un método de optimización aleatorio. Las soluciones óptimas se encuentran generando muestras aleatorias que satisfacen las restricciones en el espacio de soluciones y encontrando la óptima en función de la función de costos. ^[11]

Si bien en el pasado las aplicaciones NMPC se han utilizado principalmente en las industrias química y de procesos con velocidades de muestreo comparativamente lentas, NMPC se está aplicando cada vez más, con avances en el hardware del controlador y algoritmos computacionales, por ejemplo, preacondicionamiento , ^[12] para aplicaciones con altas velocidades de muestreo. , por ejemplo en la industria del automóvil o incluso cuando los estados están distribuidos en el espacio ( sistemas de parámetros distribuidos ). ^[13] Como aplicación en el sector aeroespacial, recientemente, NMPC se ha utilizado para rastrear trayectorias óptimas de seguimiento/evitación del terreno en tiempo real. ^[14]

MPC explícito

El MPC explícito (eMPC) permite una evaluación rápida de la ley de control para algunos sistemas, en marcado contraste con el MPC en línea. MPC explícito se basa en la técnica de programación paramétrica , donde la solución al problema de control MPC formulado como problema de optimización se calcula previamente fuera de línea. ^[15] Esta solución fuera de línea, es decir, la ley de control, a menudo tiene la forma de una función afín por partes (PWA), por lo tanto, el controlador eMPC almacena los coeficientes de la PWA para cada subconjunto (región de control) del espacio de estados. donde el PWA es constante, así como coeficientes de algunas representaciones paramétricas de todas las regiones. Cada región resulta ser geométricamente un politopo convexo para MPC lineal, comúnmente parametrizado por coeficientes para sus caras, lo que requiere un análisis de precisión de cuantificación . ^[16] La obtención de la acción de control óptima se reduce entonces a determinar primero la región que contiene el estado actual y, en segundo lugar, una mera evaluación de PWA utilizando los coeficientes de PWA almacenados para todas las regiones. Si el número total de regiones es pequeño, la implementación del eMPC no requiere recursos computacionales significativos (en comparación con el MPC en línea) y es especialmente adecuado para sistemas de control con dinámica rápida. ^[17] Un grave inconveniente de eMPC es el crecimiento exponencial del número total de regiones de control con respecto a algunos parámetros clave del sistema controlado, por ejemplo, el número de estados, lo que aumenta drásticamente los requisitos de memoria del controlador y hace que el primer paso de PWA La evaluación, es decir, la búsqueda de la región de control actual, es costosa desde el punto de vista computacional.

MPC robusto

Las variantes robustas del control predictivo del modelo son capaces de dar cuenta de perturbaciones acotadas establecidas y al mismo tiempo garantizar que se cumplan las restricciones estatales. A continuación se detallan algunos de los principales enfoques para un MPC robusto.

• MPC mín-máx . En esta formulación, la optimización se realiza con respecto a todas las posibles evoluciones de la perturbación. ^[18] Esta es la solución óptima a problemas de control lineal robusto, sin embargo conlleva un alto costo computacional. La idea básica detrás del enfoque MPC mínimo/máximo es modificar la optimización "mínima" en línea a un problema "mínimo-máximo", minimizando el peor caso de la función objetivo, maximizada sobre todas las plantas posibles a partir del conjunto de incertidumbre. ^[19]
• MPC de ajuste de restricciones . Aquí las restricciones estatales se amplían en un margen dado de modo que se pueda garantizar que se encontrará una trayectoria bajo cualquier evolución de perturbación. ^[20]
• Tubo MPC . Esto utiliza un modelo nominal independiente del sistema y utiliza un controlador de retroalimentación para garantizar que el estado real converja al estado nominal. ^[21] La cantidad de separación requerida de las restricciones de estado está determinada por el conjunto robusto positivamente invariante (RPI), que es el conjunto de todas las posibles desviaciones de estado que pueden introducirse por perturbaciones con el controlador de retroalimentación.
• MPC multietapa . Esto utiliza una formulación de árbol de escenarios aproximando el espacio de incertidumbre con un conjunto de muestras y el enfoque no es conservador porque tiene en cuenta que la información de medición está disponible en cada etapa temporal de la predicción y las decisiones en cada etapa pueden ser diferentes y pueden actuar como recurso para contrarrestar los efectos de las incertidumbres. Sin embargo, el inconveniente de este enfoque es que el tamaño del problema crece exponencialmente con el número de incertidumbres y el horizonte de predicción. ^{[22] [23]}
• MPC multietapa mejorado con tubo . Este enfoque crea sinergia entre MPC de múltiples etapas y MPC basado en tubos. Proporciona altos grados de libertad para elegir el equilibrio deseado entre optimización y simplicidad mediante la clasificación de incertidumbres y la elección de leyes de control en las predicciones. ^{[24] [25]}

Software MPC disponible comercialmente

Los paquetes MPC comerciales están disponibles y normalmente contienen herramientas para la identificación y análisis de modelos, diseño y ajuste de controladores, así como evaluación del rendimiento del controlador.

SJ Qin y TA Badgwell proporcionaron un estudio de los paquetes disponibles comercialmente en Control Engineering Practice 11 (2003) 733–764.

MPC frente a LQR

El control predictivo de modelos y los reguladores cuadráticos lineales son expresiones de control óptimo, con diferentes esquemas para establecer costos de optimización.

Mientras que un controlador predictivo de modelo a menudo analiza conjuntos de funciones de error de longitud fija, a menudo con ponderación gradual, el regulador lineal-cuadrático analiza todas las entradas del sistema lineal y proporciona la función de transferencia que reducirá el error total en todo el espectro de frecuencia, compensando el error de estado. contra la frecuencia de entrada.

Debido a estas diferencias fundamentales, LQR tiene mejores propiedades de estabilidad global, pero MPC a menudo tiene un rendimiento localmente más óptimo [?] y complejo.

Las principales diferencias entre MPC y LQR son que LQR optimiza en toda la ventana de tiempo (horizonte), mientras que MPC optimiza en una ventana de tiempo que retrocede, ^[4] y que con MPC a menudo se calcula una nueva solución mientras que LQR usa la misma única (óptima) solución para todo el horizonte temporal. Por lo tanto, MPC normalmente resuelve el problema de optimización en una ventana de tiempo más pequeña que todo el horizonte y, por lo tanto, puede obtener una solución subóptima. Sin embargo, debido a que MPC no hace suposiciones sobre la linealidad, puede manejar restricciones estrictas, así como la migración de un sistema no lineal fuera de su punto de operación linealizado, los cuales son inconvenientes importantes para LQR.

Esto significa que LQR puede debilitarse cuando se opera lejos de puntos fijos estables. MPC puede trazar un camino entre estos puntos fijos, pero la convergencia de una solución no está garantizada, especialmente si se ha descuidado la convexidad y la complejidad del espacio del problema.

Ver también

• Ingeniería de control
• Teoría del control
• avance
• Identificación del sistema

Referencias

1. Arnold, Michele; Andersson, Göran; "Modelo de control predictivo del almacenamiento de energía, incluidas previsiones inciertas" https://www.pscc-central.org/uploads/tx_ethpublications/fp292.pdf
2. Geyer, Tobías; Modelo de control predictivo de convertidores de alta potencia y accionamientos industriales , Wiley, Londres, ISBN  978-1-119-01090-6 , noviembre de 2016.
3. Vichik, Sergey; Borrelli, Francesco (2014). "Resolución de programas lineales y cuadráticos con un circuito analógico". Informática e Ingeniería Química . 70 : 160-171. doi : 10.1016/j.compchemeng.2014.01.011.
4. Wang, Liuping (2009). Diseño e implementación de sistemas de control predictivo de modelos utilizando MATLAB® . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs.xii.
5. Al-Gherwi, Walid; Budman, Héctor; Elkamel, Ali (3 de julio de 2012). "Un control predictivo de modelo distribuido robusto basado en un enfoque de modo dual". Informática e Ingeniería Química . 50 (2013): 130-138. doi : 10.1016/j.compchemeng.2012.11.002.
6. Nikolaou, Michael; "Modelos de controladores predictivos: una síntesis crítica de la teoría y las necesidades industriales", Avances en Ingeniería Química , volumen 26, Academic Press, 2001, páginas 131-204
7. Berberich, Julián; Kohler, Johannes; Müller, Matías A.; Allgöwer, Frank (2022). "MPC de seguimiento lineal para sistemas no lineales. Parte I: el caso basado en modelos". Transacciones IEEE sobre control automático . 67 (9): 4390–4405. arXiv : 2105.08560 . doi :10.1109/TAC.2022.3166872. ISSN  0018-9286. S2CID  234763155.
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9. Hedengren, John D.; Asgharzadeh Shishavan, Reza; Powell, Kody M.; Edgar, Thomas F. (2014). "Modelado no lineal, estimación y control predictivo en APMonitor". Informática e Ingeniería Química . 70 (5): 133-148. doi : 10.1016/j.compchemeng.2014.04.013. S2CID  5793446.
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12. Knyazev, Andrés; Malyshev, Alejandro (2016). "Escaso precondicionamiento para el control predictivo del modelo". Conferencia Americana de Control (ACC) 2016 . págs. 4494–4499. arXiv : 1512.00375 . doi :10.1109/ACC.2016.7526060. ISBN 978-1-4673-8682-1. S2CID  2077492.
13. García, Míriam R.; Vilas, Carlos; Santos, Lino O.; Alonso, Antonio A. (2012). "Un robusto controlador predictivo multimodelo para sistemas de parámetros distribuidos" (PDF) . Revista de control de procesos . 22 (1): 60–71. doi :10.1016/j.jprocont.2011.10.008.
14. Kamyar, Reza; Taheri, Ehsan (2014). "Planificación y control de trayectorias basadas en amenazas/terreno óptimo de aeronaves". Revista de orientación, control y dinámica . 37 (2): 466–483. Código Bib : 2014JGCD...37..466K. doi : 10.2514/1.61339.
15. Bemporad, Alberto; Morari, Manfredo; Dua, Vivek; Pistikopoulos, Efstratios N. (2002). "El regulador cuadrático lineal explícito para sistemas restringidos". Automática . 38 (1): 3–20. doi :10.1016/s0005-1098(01)00174-1.
16. Knyazev, Andrés; Zhu, Peizhen; Di Cairano, Stefano (2015). "Análisis de precisión del control predictivo de modelo explícito". 2015 54ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control (CDC) . págs. 2389–2394. arXiv : 1509.02840 . Código Bib : 2015arXiv150902840K. doi :10.1109/CDC.2015.7402565. ISBN 978-1-4799-7886-1. S2CID  6850073.
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18. Scokaert, Pierre OM; Mayne, David Q. (1998). "Control predictivo del modelo de retroalimentación mín-máx para sistemas lineales restringidos". Transacciones IEEE sobre control automático . 43 (8): 1136-1142. doi : 10.1109/9.704989.
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Otras lecturas

• Kwon, Wook Hyun; Bruckstein, Alfred M.; Kailath, Thomas (1983). "Diseño de retroalimentación del estado estabilizador mediante el método del horizonte móvil". Revista Internacional de Control . 37 (3): 631–643. doi :10.1080/00207178308932998.
• García, Carlos E.; Prett, David M.; Morari, Manfred (1989). "Modelo de control predictivo: teoría y práctica". Automática . 25 (3): 335–348. doi :10.1016/0005-1098(89)90002-2.
• Findeisen, Rolf; Allgower, Frank (2001). "Una introducción al control predictivo de modelos no lineales". Escuela de verano sobre "El impacto de la optimización en el control", Instituto Holandés de Sistemas y Control, CW Scherer y JM Schumacher, Editores : 3.1–3.45.
• Mayne, David Q.; Michalska, Hannah (1990). "Control del horizonte en retroceso de sistemas no lineales". Transacciones IEEE sobre control automático . 35 (7): 814–824. doi :10.1109/9.57020.
• Mayne, David Q.; Rawlings, James B.; Rao, Christopher V.; Scokaert, Pierre OM (2000). "Control predictivo del modelo restringido: estabilidad y optimización". Automática . 36 (6): 789–814. doi :10.1016/S0005-1098(99)00214-9.
• Allgower, Frank; Zheng, Alex, eds. (2000). Control predictivo de modelos no lineales . Avances en la teoría de sistemas. vol. 26. Birkhauser.
• Camacho; Bordones (2004). Modelo de control predictivo . Springer Verlag.
• Findeisen, Rolf; Allgower, Frank; Biegler, Lorenz T. (2006). Evaluación y direcciones futuras del control predictivo de modelos no lineales . Apuntes de conferencias sobre ciencias de la información y el control. vol. 26. Saltador.
• Diehl, Moritz M.; Bock, H. Georg; Schlöder, Johannes P.; Findeisen, Rolf; Nagy, Zoltán; Allgower, Frank (2002). "Optimización en tiempo real y control predictivo de modelos no lineales de procesos gobernados por ecuaciones algebraicas diferenciales". Revista de control de procesos . 12 (4): 577–585. doi :10.1016/S0959-1524(01)00023-3.
• Rawlings, James B.; Mayne, David Q.; y Diehl, Moritz M.; Control predictivo de modelos: teoría, computación y diseño (2.ª ed.), Nob Hill Publishing, LLC, ISBN 978-0975937730 (octubre de 2017) 
• Geyer, Tobías; Modelo de control predictivo de convertidores de alta potencia y accionamientos industriales , Wiley, Londres, ISBN 978-1-119-01090-6 , noviembre de 2016. 

enlaces externos

• Caso de estudio. Depuradora de Aguas Residuales de Lancaster, optimización mediante Modelo de Control Predictivo de Perceived Engineering
• ACADO Toolkit: kit de herramientas de código abierto para control automático y optimización dinámica que proporciona herramientas MPC lineales y no lineales. (C++, interfaz MATLAB disponible)
• μAO-MPC: paquete de software de código abierto que genera código personalizado para controladores predictivos de modelos en sistemas integrados en código C altamente portátil.
• GRAMPC: marco de software de código abierto para el control predictivo de modelos no lineales integrados utilizando un método lagrangiano aumentado basado en gradientes. (Código C simple, sin generación de código, interfaz MATLAB)
• Caja de herramientas jMPC: caja de herramientas MATLAB de código abierto para MPC lineal.
• Estudio sobre la aplicación de NMPC a la criogenia de superfluidos (Proyecto Doctoral).
• Caja de herramientas de control predictivo de modelos no lineales para MATLAB y Python
• Model Predictive Control Toolbox de MathWorks para el diseño y simulación de controladores predictivos de modelos en MATLAB y Simulink
• Controlador predictivo de modelo de paso de pulso - simulador virtual
• Tutorial sobre MPC con Excel y Ejemplos de MATLAB
• GEKKO: Control predictivo de modelos en Python