Mónada fuerte

Una mónada fuerte es un objeto matemático definido utilizando la teoría de categorías que se utiliza en informática teórica . En términos técnicos, una mónada fuerte sobre una categoría monoidal ( C , ⊗, I ) es una mónada ( T , η, μ ) junto con una transformación natural t _A,B  : A ⊗ TB → T ( A ⊗ B ), llamada ( tensorial ) fuerza , tal que los diagramas

,,

, y

conmutar para cada objeto A , B y C (ver Definición 3.2 en ^[1] ).

Si la categoría monoidal ( C , ⊗, I ) es cerrada , entonces una mónada fuerte es lo mismo que una mónada enriquecida con C.

Mónadas fuertes conmutativas

Para cada mónada fuerte T en una categoría monoidal simétrica , se puede definir una transformación natural de costo-resistencia mediante

$${\displaystyle t'_{A,B}=T(\gamma _{B,A})\circ t_{B,A}\circ \gamma _{TA,B}:TA\otimes B\to T(A\otimes B).}$$

Una mónada fuerte T se dice conmutativa cuando el diagrama

desplazamientos para todos los objetos y . ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Un hecho interesante sobre las mónadas fuertes conmutativas es que son "lo mismo que" las mónadas monoidales simétricas . Más explícitamente,

• una mónada fuerte conmutativa define una mónada monoidal simétrica por ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,t)}$ ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,m)}$ $${\displaystyle m_{A,B}=\mu _{A\otimes B}\circ Tt'_{A,B}\circ t_{TA,B}:TA\otimes TB\to T(A\otimes B)}$$
• y a la inversa, una mónada monoide simétrica define una mónada fuerte conmutativa por ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,m)}$ ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,t)}$ $${\displaystyle t_{A,B}=m_{A,B}\circ (\eta _{A}\otimes 1_{TB}):A\otimes TB\to T(A\otimes B)}$$

y la conversión entre una y otra presentación es biyectiva.

Referencias

1. Moggi, Eugenio (julio de 1991). «Nociones de computación y mónadas» (PDF) . Información y Computación . 93 (1): 55–92. doi : 10.1016/0890-5401(91)90052-4 .
2. Muscholl, Anca , ed. (2014). Fundamentos de la ciencia del software y estructuras informáticas: 17 (Aufl. 2014 ed.). [Sl]: Springer. págs. 426–440. ISBN 978-3-642-54829-1.

• Anders Kock (1972). "Functores fuertes y mónadas monoidales" (PDF) . Archiv der Mathematik . 23 : 113-120. doi :10.1007/BF01304852. S2CID  13246783.
• Jean Goubault-Larrecq, Slawomir Lasota y David Nowak (2005). "Relaciones lógicas para tipos monádicos". Estructuras matemáticas en informática . 18 (6): 1169. arXiv : cs/0511006 . doi :10.1017/S0960129508007172. S2CID  741758.

enlaces externos

• Mónada fuerte en el nLab