Módulo de Weibull

El módulo de Weibull es un parámetro adimensional de la distribución de Weibull . Representa el ancho de una función de densidad de probabilidad (PDF) en la que un módulo más alto es una característica de una distribución de valores más estrecha. Algunos ejemplos de casos de uso incluyen el análisis de fallas de materiales frágiles y biológicos , donde el módulo se utiliza para describir la variabilidad de la resistencia a la falla de los materiales.

Definición

CDF de la distribución de Weibull para el ejemplo de predicción de fallas en materiales, σ ₀ = 50 MPa

La distribución de Weibull, representada como una función de distribución acumulativa (CDF), se define por:

${\displaystyle F(x)=1-\exp(-({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}})^{m})}$

donde m es el módulo de Weibull. ^[1] es un parámetro que se encuentra durante el ajuste de los datos a la distribución de Weibull y representa un valor de entrada para el cual se abarca aproximadamente el 67 % de los datos. A medida que m aumenta, la distribución CDF se asemeja más a una función escalonada en , que se correlaciona con un pico más agudo en la función de densidad de probabilidad (PDF) definida por: ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x)=({\frac {m}{x_{0}}})({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}})^{m-1}\exp(-({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}})^{m})}$

PDF de la distribución de Weibull para el ejemplo de predicción de fallas en materiales, σ ₀ = 50 MPa

PDF de una distribución Weibull bimodal con módulos Weibull de 4 y 10 y resistencias características de 40 y 120 MPa

El análisis de fallos a menudo utiliza esta distribución, ^[2] como una CDF de la probabilidad de fallo F de una muestra, en función de la tensión aplicada σ, en la forma:

${\displaystyle F(\sigma )=1-\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]}$

La tensión de rotura de la muestra, σ, se sustituye por la propiedad en la ecuación anterior. Se supone que la propiedad inicial es 0, un estado de equilibrio sin tensión del material. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{u}}$

En la figura graficada de la función de distribución de flujo de Weibull, cabe destacar que todas las funciones graficadas se intersecan en un valor de tensión de 50 MPa, la resistencia característica de las distribuciones, aunque el valor de los módulos de Weibull varíe. También cabe destacar en la figura graficada de la función de distribución de flujo de Weibull que un módulo de Weibull más alto da como resultado una pendiente más pronunciada dentro del gráfico.

La distribución Weibull también puede ser multimodal, en la que se informarían múltiples valores y múltiples módulos, m. La CDF para una distribución Weibull bimodal tiene la siguiente forma, ^[3] cuando se aplica al análisis de fallas de materiales: ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle F(\sigma )=1-\phi \exp[(-({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}})^{m_{1}}]-(1-\phi )\exp[-({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}})^{m_{2}}]}$

Esto representa un material que falla por dos modos diferentes. En esta ecuación, m ₁ es el módulo para el primer modo y m ₂ es el módulo para el segundo modo. Φ es la fracción del conjunto de muestra que falla por el primer modo. La función de densidad de probabilidad correspondiente se define por: ${\displaystyle f(\sigma )=\phi ({\frac {m_{1}}{\sigma _{01}}})({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}})^{m_{1}-1}\exp[-({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}})^{m_{1}}]+(1-\phi )({\frac {m_{2}}{\sigma _{02}}})({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}})^{m_{2}-1}\exp[-({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}})^{m_{2}}]}$

CDF de una distribución Weibull bimodal con módulos Weibull de 4 y 10 y resistencias características de 40 y 120 MPa

En las figuras de este artículo se representan ejemplos de una PDF y CDF de Weibull bimodal con valores de resistencia característica de 40 y 120 MPa, módulos de Weibull de 4 y 10 y un valor de Φ de 0,5, lo que corresponde al 50 % de las muestras que fallan por cada modo de falla.

Linealización de la CDF

El complemento de la función de distribución acumulativa de Weibull se puede expresar como:

${\displaystyle P=1-F}$

Donde P corresponde a la probabilidad de supervivencia de una muestra para un valor de tensión dado. Por lo tanto, se deduce que:

${\displaystyle P(\sigma )=1-\left[1-\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]\right]=\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]}$

donde m es el módulo de Weibull. Si se representa gráficamente la probabilidad frente a la tensión, se obtiene que el gráfico es sigmoideo, como se muestra en la figura anterior. Aprovechando el hecho de que la exponencial es la base del logaritmo natural, la ecuación anterior se puede reorganizar de la siguiente manera:

La linealización de las CDF de Weibull se muestra arriba.

${\displaystyle \ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=\ln \left[\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{m}\right]}$

Lo cual, utilizando las propiedades de los logaritmos, también se puede expresar como:

${\displaystyle \ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=m\ln(\sigma )-m\ln(\sigma _{0})}$

Cuando el lado izquierdo de esta ecuación se grafica como una función del logaritmo natural del estrés, se puede crear un gráfico lineal que tiene una pendiente del módulo de Weibull, m, y una intersección con el eje x de . ${\displaystyle \ln(\sigma _{0})}$

Si se observa la linealización graficada de las CDF desde arriba, se puede ver que todas las líneas intersecan el eje x en el mismo punto porque todas las funciones tienen el mismo valor de la resistencia característica. Las pendientes varían debido a los diferentes valores de los módulos de Weibull.

Medición

Las organizaciones de normalización han creado múltiples estándares para medir e informar los valores de los parámetros de Weibull, junto con otros análisis estadísticos de datos de resistencia:

• ASTM C1239-13: Práctica estándar para informar datos de resistencia uniaxial y estimar parámetros de distribución de Weibull para cerámicas avanzadas ^[4]
• ASTM D7846-21: Práctica estándar para informar datos de resistencia uniaxial y estimar parámetros de distribución de Weibull para grafitos avanzados ^[5]
• Cerámica fina ISO 20501:2019 (Cerámica avanzada, cerámica técnica avanzada): estadísticas de Weibull para datos de resistencia ^[6]
• ANSI DIN EN 843-5:2007 Cerámica técnica avanzada - Propiedades mecánicas de cerámica monolítica a temperatura ambiente - Parte 5: Análisis estadístico ^[7]

Al aplicar una distribución de Weibull a un conjunto de datos, los puntos de datos deben primero ordenarse por rango. Para el caso de uso del análisis de fallas, las resistencias a fallas de las muestras se clasifican en orden ascendente, es decir, de menor a mayor resistencia. Luego, se asigna una probabilidad de falla a cada resistencia a falla medida. La norma ASTM C1239-13 ^[4] utiliza la siguiente fórmula:

${\displaystyle F(\sigma )={\frac {i-0.5}{N}}}$

donde es el número de muestra clasificado y es el número total de muestras en la muestra. A partir de ahí, se puede trazar un gráfico frente a la resistencia a la rotura para obtener una CDF de Weibull. Los parámetros de Weibull, el módulo y la resistencia característica, se pueden obtener mediante el ajuste o utilizando el método de linealización detallado anteriormente. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$

Ejemplos de usos de trabajos publicados

Las estadísticas de Weibull se utilizan a menudo para cerámicas y otros materiales frágiles. ^{[8] [9]} También se han aplicado a otros campos, como la meteorología, donde las velocidades del viento se describen a menudo utilizando estadísticas de Weibull. ^{[10] [11] [12]}

Cerámica y materiales frágiles

En el caso de la cerámica y otros materiales frágiles, la tensión máxima que se puede medir para que una muestra resista antes de fallar puede variar de una muestra a otra, incluso en condiciones de prueba idénticas. Esto está relacionado con la distribución de fallas físicas presentes en la superficie o el cuerpo de la muestra frágil, ya que los procesos de falla frágil se originan en estos puntos débiles. Se ha trabajado mucho para describir la falla frágil con el campo de la mecánica de fractura elástica lineal y específicamente con el desarrollo de las ideas del factor de intensidad de tensión y el Criterio de Griffith . Cuando las fallas son consistentes y se distribuyen de manera uniforme, las muestras se comportarán de manera más uniforme que cuando las fallas se agrupan de manera inconsistente. Esto debe tenerse en cuenta al describir la resistencia del material, por lo que la resistencia se representa mejor como una distribución de valores en lugar de como un valor específico.

Consideremos las mediciones de resistencia realizadas en muchas muestras pequeñas de un material cerámico frágil. Si las mediciones muestran poca variación de muestra a muestra, el módulo de Weibull calculado será alto y un único valor de resistencia servirá como una buena descripción del rendimiento de muestra a muestra. Se puede concluir que sus defectos físicos, ya sean inherentes al material mismo o resultantes del proceso de fabricación, se distribuyen uniformemente en todo el material. Si las mediciones muestran una gran variación, el módulo de Weibull calculado será bajo; esto revela que los defectos se agrupan de forma inconsistente y la resistencia medida será generalmente débil y variable. Los productos fabricados a partir de componentes de bajo módulo de Weibull exhibirán baja confiabilidad y sus resistencias estarán ampliamente distribuidas. Con procesos de fabricación cuidadosos, se han visto módulos de Weibull de hasta 98 ​​para fibras de vidrio probadas en tensión. ^[13]

Se incluye una tabla con los módulos de Weibull para varios materiales comunes. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el módulo de Weibull es un parámetro de ajuste de los datos de resistencia y, por lo tanto, el valor informado puede variar de una fuente a otra. También es específico para la preparación de la muestra y el método de prueba, y está sujeto a cambios si cambia el proceso de análisis o fabricación.

Materiales orgánicos

Los estudios que examinan materiales frágiles orgánicos resaltan la consistencia y variabilidad del módulo de Weibull dentro de cerámicas naturales como la dentina humana y el nácar de abulón. La investigación sobre muestras de dentina humana ^[14] indica que el módulo de Weibull permanece estable en diferentes profundidades o ubicaciones dentro del diente, con un valor promedio de aproximadamente 4,5 y un rango entre 3 y 6. Las variaciones en el módulo sugieren diferencias en las poblaciones de defectos entre dientes individuales, que se cree que son causadas por defectos aleatorios introducidos durante la preparación de la muestra. Existe especulación sobre una posible disminución en el módulo de Weibull con la edad debido a cambios en la distribución de defectos y la sensibilidad al estrés. La falla en la dentina generalmente se inicia en estos defectos, que pueden ser de origen intrínseco o extrínseco, que surgen de factores como la preparación de la cavidad, el desgaste, el daño o la carga cíclica.

Los estudios sobre la concha de abulón ilustran sus adaptaciones estructurales únicas, sacrificando la resistencia a la tracción perpendicular a su estructura para mejorar la resistencia paralela a la disposición de las tejas. Se determinó que el módulo de Weibull de las muestras de nácar de abulón ^[15] es 1,8, lo que indica un grado moderado de variabilidad en la resistencia entre los especímenes.

Materiales cuasi frágiles

El módulo de Weibull de los materiales cuasi frágiles se correlaciona con la disminución de la pendiente del espectro de la barrera de energía, como se establece en los modelos de mecánica de fracturas . Esta relación permite la determinación tanto de la pendiente de disminución del espectro de la barrera de energía de fractura como del módulo de Weibull, teniendo en cuenta factores como la interacción de grietas y la degradación inducida por defectos. La dependencia de la temperatura y las variaciones debidas a las interacciones de grietas o las interacciones del campo de tensión se observan en el módulo de Weibull de los materiales cuasi frágiles. La acumulación de daños conduce a una rápida disminución del módulo de Weibull, lo que da como resultado una distribución desplazada hacia la derecha con un módulo de Weibull más pequeño a medida que aumenta el daño. ^[16]

Análisis de calidad

El análisis de Weibull también se utiliza en el control de calidad y en el "análisis de vida útil" ^[17] de los productos. Un módulo de Weibull más alto permite a las empresas predecir con mayor seguridad la vida útil de su producto para determinar los períodos de garantía.

Otros métodos de caracterización de materiales frágiles

Un método adicional para determinar la resistencia de materiales frágiles ha sido descrito en la contribución de Wikibook Determinación del enlace más débil mediante el uso de estadísticas de Weibull de tres parámetros.

Referencias

1. Weibull, Waloddi (1951). "Una función de distribución estadística de amplia aplicabilidad" (PDF) . Journal of Applied Mechanics . 18 (3): 293. Bibcode :1951JAM....18..293W. doi :10.1115/1.4010337.
2. Chiang, Yet-ming; Birnie, Dunbar P.; Kingery, WD (1997). Cerámica física . Serie del MIT sobre ciencia e ingeniería de materiales. Nueva York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-59873-2.
3. Loidl, Dieter; Paris, Oskar; Rennhofer, H.; Müller, Martin; Peterlik, Herwig (noviembre de 2007). "Estructura piel-núcleo y distribución Weibull bimodal de la resistencia de las fibras de carbono". Carbono . 45 (14): 2801–2805. Bibcode :2007Carbo..45.2801L. doi :10.1016/j.carbon.2007.09.011. ISSN  0008-6223.
4. ""ASTM C1239-13: Práctica estándar para informar datos de resistencia uniaxial y estimar parámetros de distribución de Weibull para cerámicas avanzadas"". ASTM . 2013 – vía ASTM Compass.
5. "Práctica estándar para informar datos de resistencia uniaxial y estimar parámetros de distribución de Weibull para grafitos avanzados". ASTM . 2021 – vía ASTM Compass.
6. "ISO 20501:2019 Cerámica fina (cerámica avanzada, cerámica técnica avanzada) - Estadísticas de Weibull para datos de resistencia". Organización Internacional de Normalización . Marzo de 2019 – vía Iso.org.
7. "Cerámica técnica avanzada - Propiedades mecánicas de cerámicas monolíticas a temperatura ambiente - Parte 5: Análisis estadístico". Instituto Nacional Estadounidense de Estándares . 2007.
8. Quinn, JB; Quinn, GD (febrero de 2010). "Una revisión práctica y sistemática de las estadísticas de Weibull para informar sobre la resistencia de los materiales dentales". Materiales dentales . 26 (2): 135–147. doi :10.1016/j.dental.2009.09.006. PMC 3086645 . PMID  19945745. 
9. Meyers, Marc; Chawla, Krishan (1998). Comportamiento mecánico de los materiales (2.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86675-0.
10. Conradsen, K.; Nielsen, LB; Prahm, LP (1984). "Revisión de las estadísticas de Weibull para la estimación de distribuciones de velocidad del viento". Revista de clima y meteorología aplicada . 23 (8): 1173–1183. Bibcode :1984JApMe..23.1173C. doi : 10.1175/1520-0450(1984)023<1173:ROWSFE>2.0.CO;2 . ISSN  0733-3021. JSTOR  26181388.
11. Pavia, Edgar G.; O'Brien, James J. (1 de octubre de 1986). "Estadísticas de Weibull de la velocidad del viento sobre el océano". Revista de meteorología y climatología aplicadas . 25 (10): 1324–1332. Código Bibliográfico :1986JApMe..25.1324P. doi : 10.1175/1520-0450(1986)025<1324:WSOWSO>2.0.CO;2 . ISSN  1520-0450.
12. Carta, JA; Ramirez, P. (2007). "Análisis de las estadísticas de Weibull de mezclas de dos componentes para la estimación de distribuciones de velocidad del viento". Energías renovables . 32 (3): 518–531. Bibcode :2007REne...32..518C. doi :10.1016/j.renene.2006.05.005 – vía Elsevier Science Direct.
13. Matthewson, M. John; Kurkjian, Charles R.; Gulati, Suresh T. (noviembre de 1986). "Medición de la resistencia de las fibras ópticas mediante flexión". Revista de la Sociedad Cerámica Americana . 69 (11): 815–821. doi :10.1111/j.1151-2916.1986.tb07366.x. ISSN  0002-7820.
14. Quinn, Janet B.; Quinn, George D. (febrero de 2010). "Una revisión práctica y sistemática de las estadísticas de Weibull para informar sobre la resistencia de los materiales dentales". Materiales dentales . 26 (2): 135–147. doi :10.1016/j.dental.2009.09.006. ISSN  0109-5641. PMC 3086645 . PMID  19945745. 
15. Lin, Albert Yu-Min; Meyers, Marc André (diciembre de 2009). "Resistencia al corte interfacial en nácar de abulón". Revista del comportamiento mecánico de materiales biomédicos . 2 (6): 607–612. doi :10.1016/j.jmbbm.2009.04.003. ISSN  1751-6161. PMID  19716105.
16. Qi, Chengzhi; Lu, Chunsheng; Chanyshev, AI; Li, Xiaozhao; Qu, Xiaolei (junio de 2023). "Estudio preliminar sobre la determinación del módulo de Weibull de distribución de resistencia en materiales cuasi frágiles". Geohazard Mechanics . 1 (2): 103–109. Bibcode :2023GeohM...1..103Q. doi : 10.1016/j.ghm.2023.05.002 . ISSN  2949-7418.
17. "Análisis de Weibull | Quality-One". 20 de febrero de 2018. Consultado el 27 de abril de 2024 .