El movimiento de fluidos está regido por las ecuaciones de Navier-Stokes , un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas y no lineales derivadas de las leyes básicas de conservación de la masa , el momento y la energía . Las incógnitas suelen ser la velocidad del flujo , la presión , la densidad y la temperatura . La solución analítica de esta ecuación es imposible, por lo que los científicos recurren a experimentos de laboratorio en tales situaciones. Sin embargo, las respuestas proporcionadas suelen ser cualitativamente diferentes, ya que la similitud dinámica y geométrica es difícil de aplicar simultáneamente entre el experimento de laboratorio y el prototipo . Además, el diseño y la construcción de estos experimentos pueden ser difíciles (y costosos), especialmente para flujos rotatorios estratificados. La dinámica de fluidos computacional (CFD) es una herramienta adicional en el arsenal de los científicos. En sus inicios, la CFD solía ser controvertida, ya que implicaba una aproximación adicional a las ecuaciones que la gobernaban y planteaba cuestiones adicionales (legítimas). Hoy en día, la CFD es una disciplina establecida junto con los métodos teóricos y experimentales. Esta posición se debe en gran parte al crecimiento exponencial de la potencia informática, que nos ha permitido abordar problemas cada vez más grandes y complejos.
El proceso central en CFD es el proceso de discretización , es decir, el proceso de tomar ecuaciones diferenciales con un número infinito de grados de libertad y reducirlas a un sistema de grados de libertad finitos. Por lo tanto, en lugar de determinar la solución en todas partes y para todos los tiempos, estaremos satisfechos con su cálculo en un número finito de ubicaciones y en intervalos de tiempo específicos. Las ecuaciones diferenciales parciales se reducen entonces a un sistema de ecuaciones algebraicas que se pueden resolver en una computadora. Los errores se introducen durante el proceso de discretización. La naturaleza y las características de los errores deben controlarse para garantizar que:
Una vez establecidos estos dos criterios, se puede aprovechar el poder de las máquinas de computación para resolver el problema de una manera numéricamente confiable. Se han desarrollado varios esquemas de discretización para abordar una variedad de problemas. Los más notables para nuestros propósitos son: métodos de diferencias finitas , métodos de volumen finito, métodos de elementos finitos y métodos espectrales .
Las diferencias finitas sustituyen al proceso limitante infinitesimal del cálculo de la derivada:
con un proceso limitante finito, es decir
El término da una indicación de la magnitud del error como una función del espaciado de la malla. En este caso, el error se reduce a la mitad si el espaciado de la malla, _x se reduce a la mitad, y decimos que este es un método de primer orden. La mayoría de los FDM utilizados en la práctica tienen una precisión de al menos segundo orden, excepto en circunstancias muy especiales. El método de diferencias finitas sigue siendo el método numérico más popular para la solución de EDP debido a su simplicidad, eficiencia y bajo costo computacional. Su principal desventaja es su inflexibilidad geométrica, lo que complica sus aplicaciones a dominios complejos generales. Estos pueden aliviarse mediante el uso de técnicas de mapeo y/o enmascaramiento para ajustar la malla computacional al dominio computacional.
El método de elementos finitos fue diseñado para tratar problemas con regiones computacionales complicadas. La EDP primero se reformula en una forma variacional que esencialmente obliga a que el error medio sea pequeño en todas partes. El paso de discretización procede dividiendo el dominio computacional en elementos de forma triangular o rectangular. La solución dentro de cada elemento se interpola con un polinomio de orden generalmente bajo. Nuevamente, las incógnitas son la solución en los puntos de colocación. La comunidad de CFD adoptó el FEM en la década de 1980 cuando se idearon métodos confiables para tratar problemas dominados por la convección.
Tanto los métodos de elementos finitos como los de diferencias finitas son métodos de orden bajo, generalmente de 2º a 4º orden, y tienen propiedades de aproximación local. Por local queremos decir que un punto de colocación particular se ve afectado por un número limitado de puntos a su alrededor. Por el contrario, el método espectral tiene propiedades de aproximación global. Las funciones de interpolación, ya sean polinómicas o trigonométricas, son de naturaleza global. Su principal beneficio está en la tasa de convergencia, que depende de la suavidad de la solución (es decir, cuántas derivadas continuas admite). Para una solución infinitamente suave, el error disminuye exponencialmente, es decir, más rápido que el algebraico. Los métodos espectrales se utilizan principalmente en los cálculos de turbulencia homogénea y requieren geometrías relativamente simples. El modelo atmosférico también ha adoptado métodos espectrales debido a sus propiedades de convergencia y la forma esférica regular de su dominio computacional.
Los métodos de volumen finito se utilizan principalmente en aplicaciones de aerodinámica donde se producen fuertes choques y discontinuidades en la solución. El método de volumen finito resuelve una forma integral de las ecuaciones gobernantes de modo que no sea necesario que se cumpla la propiedad de continuidad local.
El tiempo de CPU para resolver el sistema de ecuaciones difiere sustancialmente de un método a otro. Las diferencias finitas suelen ser las más económicas en términos de puntos por cuadrícula, seguidas por el método de elementos finitos y el método espectral. Sin embargo, una comparación en términos de puntos por cuadrícula es un poco como comparar manzanas con naranjas. Los métodos espectrales ofrecen más precisión en términos de puntos por cuadrícula que el método de elementos finitos o el método de elementos finitos . La comparación es más significativa si la pregunta se reformula como "¿cuál es el costo computacional para lograr una tolerancia de error dada?". El problema se convierte en uno de definir la medida del error, que es una tarea complicada en situaciones generales.
La ecuación es una aproximación explícita a la ecuación diferencial original, ya que no se ha utilizado información sobre la función desconocida en el tiempo futuro ( n + 1) t en el lado derecho de la ecuación. Para derivar el error cometido en la aproximación, nos basamos nuevamente en la serie de Taylor .
Este es un ejemplo de un método implícito, ya que se ha utilizado la incógnita u ( n + 1) para evaluar la pendiente de la solución en el lado derecho; no es un problema resolver u ( n + 1) en este caso escalar y lineal. Para situaciones más complicadas, como un lado derecho no lineal o un sistema de ecuaciones, es posible que haya que invertir un sistema de ecuaciones no lineal.
Fuentes
Citas
