Métodos de probabilidad parcial para datos de panel

La estimación de probabilidad parcial (agrupada) para datos de panel es un método de verosimilitud cuasi máxima para el análisis de panel que supone que la densidad de datos dados se especifica correctamente para cada período de tiempo, pero permite una especificación errónea en la densidad condicional de datos de panel . ${\displaystyle y_{it}}$ ${\displaystyle x_{it}}$ ${\displaystyle y_{i}=(y_{i1},\dots ,y_{iT})}$ ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},\dots ,x_{iT})}$

Descripción

Concretamente, la estimación de verosimilitud parcial utiliza el producto de densidades condicionales como la densidad de la distribución condicional conjunta. Esta generalidad facilita los métodos de máxima verosimilitud en el entorno de datos de panel porque especificar completamente la distribución condicional de y _i puede ser computacionalmente exigente. ^[1] Por otro lado, permitir una especificación errónea generalmente resulta en una violación de la igualdad de la información y, por lo tanto, requiere un estimador de error estándar sólido para la inferencia.

En la siguiente exposición, seguimos el tratamiento en Wooldridge. ^[1] En particular, la derivación asintótica se realiza bajo una configuración de T fija y N creciente.

Escribiendo la densidad condicional de y _it dado x _it como f _t ( y _it | x _it ;θ), el estimador parcial de máxima verosimilitud resuelve:

${\displaystyle \max _{\theta \in \Theta }\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}\log f_{t}(y_{it}\mid x_{it};\theta )}$

En esta formulación, la densidad condicional conjunta de y _i dado x _i se modela como Π _t f _t ( y _it | x _it  ; θ). Suponemos que f _t (y _it |x _it  ; θ) está correctamente especificado para cada t = 1,..., T y que existe θ ₀ ∈ Θ que maximiza de forma única E[ft _t (y _it │x _it  ; θ)]. Pero no se supone que la densidad condicional conjunta esté especificada correctamente. Bajo algunas condiciones de regularidad, el MLE parcial es consistente y asintóticamente normal.

Según el argumento habitual para los estimadores M (detalles en Wooldridge ^[1] ), la varianza asintótica de √ N (θ _MLE - θ ₀ ) es A ⁻¹ BA ⁻¹ donde A ⁻¹ = E[ Σ _t ∇ ² _θ logf _t (y _it │x _it  ; θ)] ⁻¹ y B=E[( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it  ; θ) ) ( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it ; θ ) ) ^T ] . Si la densidad condicional conjunta de y _i dada x _i se especifica correctamente, la fórmula anterior para la varianza asintótica se simplifica porque la igualdad de información dice B=A . Sin embargo, excepto en circunstancias especiales, la densidad articular modelada por MLE parcial no es correcta. Por lo tanto, para una inferencia válida, se debe utilizar la fórmula anterior para la varianza asintótica. Para que se mantenga la igualdad de información, una condición suficiente es que las puntuaciones de las densidades para cada período de tiempo no estén correlacionadas. En modelos dinámicamente completos, la condición se cumple y, por tanto, la varianza asintótica simplificada es válida. ^[1]

QMLE agrupado para modelos Poisson

QMLE agrupado es una técnica que permite estimar parámetros cuando se dispone de datos de panel con resultados de Poisson. Por ejemplo, se podría tener información sobre el número de solicitudes de patentes presentadas por varias empresas diferentes a lo largo del tiempo. QMLE agrupado no necesariamente contiene efectos no observados (que pueden ser efectos aleatorios o efectos fijos ), y el método de estimación se propone principalmente para estos propósitos. Los requisitos computacionales son menos estrictos, especialmente en comparación con los modelos de Poisson de efectos fijos , pero la compensación es el supuesto posiblemente fuerte de que no hay heterogeneidad no observada . Agrupado se refiere a agrupar los datos durante los diferentes períodos de tiempo T , mientras que QMLE se refiere a la técnica de cuasi-máxima verosimilitud.

La distribución de Poisson dada se especifica de la siguiente manera: ^[2] ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle f(y_{i}\mid x_{i})={\frac {e^{-\mu _{i}}\mu _{i}^{y_{i}}}{y_{i}!}}}$

El punto de partida para QMLE agrupado de Poisson es el supuesto de media condicional. Específicamente, asumimos que para algunos en un espacio de parámetros compacto B , la media condicional viene dada por ^[2] ${\displaystyle b_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{t}\mid x_{t}]=m(x_{t},b_{0})=\mu _{t}{\text{ for }}t=1,\ldots ,T.}$

La condición de espacio de parámetros compacto se impone para permitir el uso de técnicas de estimación M , mientras que la media condicional refleja el hecho de que la media poblacional de un proceso de Poisson es el parámetro de interés. En este caso particular, se permite que el parámetro que rige el proceso de Poisson varíe con respecto al vector . ^[2] La función m puede, en principio, cambiar con el tiempo, aunque a menudo se especifica como estática con el tiempo. ^[3] Tenga en cuenta que solo se especifica la función media condicional y obtendremos estimaciones consistentes siempre que esta condición media se especifique correctamente. Esto conduce a la siguiente condición de primer orden, que representa la probabilidad cuasi logarítmica para la estimación de Poisson agrupada: ^[2] ${\displaystyle x_{t}\centerdot }$ ${\displaystyle b_{0}}$

${\displaystyle \ell _{i}(b)=\sum [y_{it}\log(m(x_{it},b))-m(x_{it},b)]=0}$

Una opción popular es , ya que los procesos de Poisson se definen sobre la línea real positiva. ^[3] Esto reduce el momento condicional a una función de índice exponencial, donde es el índice lineal y exp es la función de enlace. ^[4] ${\displaystyle m=(x_{t},b_{0})=\exp(x_{t}b_{0})}$ ${\displaystyle x_{t}b_{0}}$

Referencias

1. Wooldridge, JM, Análisis econométrico de datos de panel y sección transversal, MIT Press, Cambridge, Mass.
2. Cameron, CA y PK Trivedi (2015) Recuento de datos de panel, Manual de datos de panel de Oxford, ed. por B. Baltagi, Oxford University Press, págs. 233-256
3. Wooldridge, J. (2002): Análisis econométrico de datos de panel y sección transversal, MIT Press, Cambridge, Mass.
4. McCullagh, P. y JA Nelder (1989): Modelos lineales generalizados, monografías CRC sobre estadística y probabilidad aplicada (libro 37), segunda edición, Chapman y Hall, Londres.