Métodos H-infinito en la teoría del control.

Los métodos H _∞ (es decir, " H -infinito ")se utilizan en la teoría del control para sintetizar controladores para lograr la estabilización con un rendimiento garantizado. Para utilizar métodos H _∞ , un diseñador de control expresa el problema de control como un problema de optimización matemática y luego encuentra el controlador que resuelve esta optimización. Las técnicas H _∞ tienen la ventaja sobre las técnicas de control clásicas de que las técnicas H _∞ son fácilmente aplicables a problemas que involucran sistemas multivariados con acoplamiento cruzado entre canales; Las desventajas de las técnicas H _∞ incluyen el nivel de comprensión matemática necesario para aplicarlas con éxito y la necesidad de un modelo razonablemente bueno del sistema a controlar. Es importante tener en cuenta que el controlador resultante sólo es óptimo con respecto a la función de costos prescrita y no necesariamente representa el mejor controlador en términos de las medidas de desempeño habituales utilizadas para evaluar los controladores, como el tiempo de establecimiento, la energía gastada, etc. Además, las restricciones no lineales como la saturación generalmente no se manejan bien. Estos métodos fueron introducidos en la teoría del control a finales de los años 1970 y principios de los 1980 por George Zames (minimización de la sensibilidad), ^[1] J. William Helton (coincidencia de banda ancha), ^[2] y Allen Tannenbaum (optimización del margen de ganancia). ^[3]

La frase control H _∞ proviene del nombre del espacio matemático sobre el cual se realiza la optimización: H _∞ es el espacio de Hardy de funciones matriciales que son analíticas y acotadas en la mitad derecha abierta del plano complejo definido por Re( s ) > 0; la norma H _∞ es el valor singular supremo de la matriz sobre ese espacio. En el caso de una función con valores escalares, los elementos del espacio de Hardy que se extienden continuamente hasta el límite y son continuos en el infinito es el álgebra del disco . Para una función matricial, la norma se puede interpretar como una ganancia máxima en cualquier dirección y en cualquier frecuencia; para los sistemas SISO , esta es efectivamente la magnitud máxima de la respuesta de frecuencia.

Las técnicas H _∞ se pueden utilizar para minimizar el impacto de circuito cerrado de una perturbación: dependiendo de la formulación del problema, el impacto se medirá en términos de estabilización o rendimiento. Es difícil optimizar simultáneamente un rendimiento sólido y una estabilización sólida. Un método que se acerca a lograr esto es H _∞ loop-shaping , que permite al diseñador de control aplicar conceptos clásicos de loop-shaping a la respuesta de frecuencia multivariable para obtener un buen rendimiento robusto, y luego optimiza la respuesta cerca del ancho de banda del sistema para lograr un buen rendimiento. estabilización robusta.

Hay software comercial disponible para admitir la síntesis del controlador H _∞ .

Formulación del problema

En primer lugar, el proceso debe representarse según la siguiente configuración estándar:

La planta P tiene dos entradas, la entrada exógena w , que incluye señal de referencia y perturbaciones, y las variables manipuladas u . Hay dos salidas, las señales de error z que queremos minimizar y las variables medidas v , que usamos para controlar el sistema. v se utiliza en K para calcular las variables manipuladas u . Observe que todos estos son generalmente vectores , mientras que P y K son matrices .

En fórmulas, el sistema es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

Por tanto, es posible expresar la dependencia de z de w como:

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

Llamada transformación fraccionaria lineal inferior , se define (el subíndice proviene de lower ): ${\displaystyle F_{\ell }}$

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

Por lo tanto, el objetivo del diseño de control es encontrar un controlador que se minimice según la norma. La misma definición se aplica al diseño de control. La norma infinita de la matriz de la función de transferencia se define como: ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

donde es el valor singular máximo de la matriz . ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$

La norma H _∞ alcanzable del sistema de circuito cerrado se da principalmente a través de la matriz D ₁₁ (cuando el sistema P se da en la forma ( A , B ₁ , B ₂ , C ₁ , C ₂ , D ₁₁ , D ₁₂ , D ₂₂ , D ₂₁ )). Hay varias formas de llegar a un controlador H _∞ :

• Una parametrización de Youla-Kucera del circuito cerrado a menudo conduce a un controlador de orden muy alto.
• Los enfoques basados ​​en Riccati resuelven dos ecuaciones de Riccati para encontrar el controlador, pero requieren varias suposiciones simplificadoras.
• Una reformulación de la ecuación de Riccati basada en la optimización utiliza desigualdades matriciales lineales y requiere menos suposiciones.

Ver también

• Producto Blaschke
• Espacio resistente
• H cuadrado
• Conformación de bucle H-infinito
• Control lineal-cuadrático-gaussiano (LQG)
• Matriz del sistema Rosenbrock

Referencias

1. Zames, George (1981). "Retroalimentación y sensibilidad óptima: transformaciones de referencia del modelo, seminormas multiplicativas e inversas aproximadas". Transacciones IEEE sobre control automático . 26 (2): 301–320. doi :10.1109/tac.1981.1102603.
2. Helton, J. William (1978). "Estructura de órbita de la acción del semigrupo de transformación de Mobius en H-infinito (coincidencia de banda ancha)". Adv. Matemáticas. Supl. Semental . 3 : 129-197.
3. Tannenbaum, Allen (1980). "Estabilización por retroalimentación de plantas dinámicas lineales con incertidumbre en el factor de ganancia". Revista Internacional de Control . 32 (1): 1–16. doi :10.1080/00207178008922838.

Bibliografía

• Barbú, V.; Sritharan, Sivaguru S. (1998), "H-infinity Control of Fluid Dynamics" (PDF) , Actas de la Royal Society A , 545 (1979): 3009–3033, CiteSeerX  10.1.1.177.4397 , doi :10.1098/rspa .1998.0289, S2CID  121983192.

• Doyle, Juan; Francisco, Bruce; Tannenbaum, Allen (1992), Teoría del control de la retroalimentación , MacMillan.

• Verde, M.; Limebeer, D. (1995), Control lineal robusto , Prentice Hall.

• Simon, Dan (2006), Estimación del estado óptimo: Kalman, H-infinito y enfoques no lineales, Wiley.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (1996), Control de retroalimentación multivariable: análisis y diseño , Wiley, ISBN 978-0-471-94277-1.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (2005), Control de retroalimentación multivariable: análisis y diseño (2ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-470-01167-6.