Método de aproximación iterativa progresiva

Diseño geométrico asistido por ordenador

El método de aproximación progresiva-iterativa es un método iterativo de ajuste de datos con significados geométricos. ^[1] Dados los puntos de datos que se van a ajustar, el método obtiene una serie de curvas de ajuste (superficies) actualizando iterativamente los puntos de control, y la curva límite (superficie) puede interpolar o aproximar los puntos de datos dados. ^[2] Evita resolver un sistema lineal de ecuaciones directamente y permite flexibilidad para agregar restricciones durante el proceso iterativo. ^[3] Por lo tanto, se ha utilizado ampliamente en diseño geométrico y campos relacionados. ^[2]

El estudio del método iterativo con significado geométrico se remonta al trabajo de académicos como el Prof. Dongxu Qi y el Prof. Carl de Boor en la década de 1970. ^{[4] [5]} En 1975, Qi et al. desarrollaron y probaron el algoritmo de "ganancias y pérdidas" para curvas B-spline cúbicas uniformes , ^[4] y en 1979, de Boor propuso independientemente este algoritmo. ^[5] En 2004, Hongwei Lin y coautores demostraron que las curvas y superficies B-spline cúbicas no uniformes tienen la propiedad de "ganancias y pérdidas". ^[3] Más tarde, en 2005, Lin et al. demostraron que las curvas y superficies con base normalizada y totalmente positiva tienen esta propiedad y la denominaron aproximación iterativa progresiva (PIA). ^[1] En 2007, Maekawa et al. cambiaron la distancia algebraica en PIA a distancia geométrica y la denominaron interpolación geométrica (GI). ^[6] En 2008, Cheng et al. lo extendieron a las superficies de subdivisión y denominaron al método interpolación progresiva (PI). ^[7] Dado que los pasos de iteración de los algoritmos PIA, GI y PI son similares y todos tienen significados geométricos, los denominamos colectivamente métodos iterativos geométricos (GIM). ^[2]

PIA ahora se extiende a varias curvas y superficies comunes en el campo del diseño geométrico , ^[8] incluidas curvas y superficies NURBS , ^{[9] superficies} T-spline , ^[10] curvas y superficies implícitas , ^[11] etc.

Métodos de iteración

En general, la aproximación iterativa progresiva se puede dividir en esquemas de interpolación y aproximación. ^[2] En los algoritmos de interpolación, el número de puntos de control es igual al de los puntos de datos; en los algoritmos de aproximación, el número de puntos de control puede ser menor que el de los puntos de datos. Específicamente, existen algunos métodos de iteración representativos, como la PIA local, ^[12] la PIA implícita, ^[11] la PIA de ajuste, ^[13] y la aproximación iterativa progresiva de mínimos cuadrados isogeométricos (IG-LSPIA), ^[14] que está especializada para resolver el problema de análisis isogeométrico . ^[15]

Esquema de interpolación: PIA[1][3][9][16]

Esquema de interpolación de PIA: Arriba a la izquierda: Los puntos de datos y el polígono de control inicial (aquí, los puntos de control iniciales se toman como puntos de datos). Arriba a la derecha: La curva inicial y los vectores de diferencia. Abajo a la izquierda: El nuevo polígono de control se genera sumando los vectores de diferencia a los puntos de control anteriores. Abajo a la derecha: El nuevo polígono de control y la nueva curva (en violeta).

Para facilitar la descripción del formato de iteración PIA para diferentes formas de curvas y superficies, escribimos curvas y superficies B-spline, curvas y superficies NURBS, sólidos B-spline, superficies T-spline y superficies triangulares Bernstein-Bézier (B–B) de manera uniforme en la siguiente forma: ^[17]

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}B_{i}(\mathbf {t} ).}$

Por ejemplo:

• Si es una curva B-spline, entonces es un escalar, es una función base B-spline y denota el punto de control; ^[8] ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle B_{i}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$
• Si es un parche B-spline con puntos de control, entonces , ,donde y son funciones base B-spline; ^[8] ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle n_{u}\times n_{v}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(u,v)}$ ${\displaystyle B_{i}(\mathbf {t} )=N_{i}(u)N_{i}(v)}$ ${\displaystyle N_{i}(u)}$ ${\displaystyle N_{i}(v)}$
• Si es un sólido B-spline trivariado con puntos de control, entonces , , donde , y son funciones base B-spline. ^[18] ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle n_{u}\times n_{v}\times n_{w}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(u,v,w)}$ ${\displaystyle B_{i}(\mathbf {t} )=N_{i}(u)N_{i}(v)N_{i}(w)}$ ${\displaystyle N_{i}(u)}$ ${\displaystyle N_{i}(v)}$ ${\displaystyle N_{i}(w)}$

Dado un conjunto de datos ordenados , con parámetros que satisfacen , la curva de ajuste inicial (superficie) es ^[1] ${\displaystyle {\mathbf {Q} _{i},i=1,2,\cdots ,n}}$ ${\displaystyle t_{i},i=1,2,\cdots ,n}$ ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\cdots }$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(0)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(0)}B_{i}(t)}$,

donde los puntos de control iniciales de la curva de ajuste inicial (superficie) se pueden seleccionar aleatoriamente. Supongamos que después de la iteración th, la curva de ajuste th (superficie) se genera mediante ${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{(0)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(k)}B_{i}(t).}$

Para construir la curva st (superficie), primero calculamos los vectores de diferencia , ${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{(k)}(t_{i}),i=1,2,\cdots ,n,}$

y luego actualizar los puntos de control mediante

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{(k+1)}=\mathbf {P} _{i}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)},}$

que conduce a la curva de ajuste st (superficie): ${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k+1)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(k+1)}B_{i}(t).}$

De esta manera obtenemos una secuencia de curvas (superficies)

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(\alpha )}(t),\alpha =0,1,2,\cdots .}$

Se ha demostrado que esta secuencia de curvas (superficies) converge a una curva límite (superficie) que interpola los puntos de datos dados, ^{[1] [9]} es decir,

${\displaystyle \lim \limits _{\alpha \rightarrow \infty }\mathbf {P} ^{(\alpha )}(t_{i})=\mathbf {Q} _{i},i=1,2,\cdots ,n.}$

Esquema de aproximación: LSPIA[19][10]

Esquema de aproximación: LSPIA: Arriba a la izquierda: Los puntos de datos (círculos azules) y el polígono de control inicial. Arriba a la derecha: Vectores de diferencia para los puntos de datos y vectores de diferencia para los puntos de control (DVC). Abajo: El nuevo polígono de control se genera agregando los DVC a los puntos de control anteriores.

Para el problema de ajuste de curvas y superficies B-spline, Deng y Lin propusieron una aproximación iterativa progresiva de mínimos cuadrados (LSPIA), ^[19] que permite que el número de puntos de control sea menor que el de puntos de datos y es más adecuada para problemas de ajuste de datos a gran escala. ^[10]

Supongamos que el número de puntos de datos es , y el número de puntos de control es . Siguiendo las notaciones de la Sección anterior, la curva de ajuste (superficie) generada después de la iteración es , es decir, ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n(n\leq m)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t).}$

Para generar la curva de ajuste st (superficie), calculamos los siguientes vectores de diferencia a su vez: ^{[10] [19]} ${\displaystyle (k+1)}$

Vectores de diferencia para puntos de datos :

${\displaystyle \mathbf {\delta } _{i}^{(k)}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{(k)}(t_{i}),i=1,2,\cdots ,m,}$

y,

Vectores de diferencia para puntos de control

${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{j}^{(k)}={\frac {\sum _{i\in I_{j}}{c_{i}B_{j}(t_{i})\mathbf {\delta } _{i}^{(k)}}}{\sum _{i\in I_{j}}c_{i}B_{j}(t_{i})}},j=1,2,\cdots ,n,}$

donde es el conjunto de índices de los puntos de datos en el grupo th, cuyos parámetros caen en el soporte local de la función base th, es decir, . son pesos que garantizan la convergencia del algoritmo, usualmente tomados como . ${\displaystyle I_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle B_{j}(t_{i})\neq 0}$ ${\displaystyle c_{i},i\in I_{j}}$ ${\displaystyle c_{i}=1,i\in I_{j}}$

Finalmente, los puntos de control de la curva st (superficie) se actualizan mediante la introducción de la curva de ajuste st (superficie) . De esta manera, obtenemos una secuencia de curvas (superficies), y la curva límite (superficie) converge al resultado del ajuste de mínimos cuadrados para los puntos de datos dados. ^{[10] [19]} ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{(k+1)}=\mathbf {P} _{j}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{j}^{(k)},}$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k+1)}(t)}$

PIA local[12]

PIA local: si solo se ajusta un punto de control, la curva de Bézier simplemente interpola el punto de datos (en rojo) correspondiente al punto de control ajustado.

En el PIA local, los puntos de control se dividen en puntos de control activos y fijos, cuyos subíndices se denotan como y , respectivamente. ^[12] Suponga que la curva de ajuste (superficie) es , donde el punto de control fijo satisface ${\textstyle I=\left\{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{I}\right\}}$ ${\textstyle J=\left\{j_{1},j_{2},\cdots ,j_{J}\right\}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t)}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{(k)}=\mathbf {P} _{j}^{(0)},\quad j\in J,\quad k=0,1,2,\cdots .}$

Entonces, por un lado, la fórmula iterativa del vector de diferencia correspondiente a los puntos de control fijos es ${\textstyle \mathbf {\Delta } _{h}^{(k+1)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Delta } _{h}^{(k+1)}&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{h})\\&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j\in J}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{h})-\sum _{i\in I}\left(\mathbf {P} _{i}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}\right)B_{i}(t_{h})\\&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t_{h})-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{h})\\&=\mathbf {\Delta } _{h}^{(k)}-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{h}),\quad h\in J.\end{aligned}}}$

Por otra parte, la fórmula iterativa del vector de diferencia correspondiente a los puntos de control activos es ${\textstyle \mathbf {D} _{l}^{(k+1)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Delta } _{l}^{(k+1)}&=\mathbf {Q} _{l}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{l})\\&=\mathbf {Q} _{l}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t_{l})-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{l})\\&=\mathbf {\Delta } _{l}^{(k)}-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{l})\\&=-\mathbf {\Delta } _{i_{1}}^{(k)}B_{i_{1}}(t_{l})-\mathbf {\Delta } _{i_{2}}^{(k)}B_{i_{2}}(t_{l})-\cdots +\left(1-B_{l}(t_{l})\right)\mathbf {\Delta } _{l}^{(k)}-\cdots -\mathbf {\Delta } _{i_{I}}^{(k)}B_{i_{I}}(t_{l}),\quad l\in I.\end{aligned}}}$

Ordenando los vectores de diferencia anteriores en una secuencia unidimensional,

${\displaystyle \mathbf {D} ^{(k+1)}=\left[\mathbf {\Delta } _{j_{1}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{j_{2}}^{(k+1)},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{j_{J}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{i_{1}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{i_{2}}^{(k+1)},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{i_{I}}^{(k+1)}\right]^{T},\quad k=0,1,2,\cdots ,}$

El formato de iteración local en forma de matriz es,

${\displaystyle \mathbf {D} ^{(k+1)}=\mathbf {T} \mathbf {D} ^{(k)},\quad k=0,1,2,\cdots ,}$

donde, es la matriz de iteración, ${\textstyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{J}&-\mathbf {B} _{1}\\0&\mathbf {E} _{I}-\mathbf {B} _{2}\end{bmatrix}},}$

${\textstyle \mathbf {E} _{J}}$y son las matrices identidad y ${\textstyle \mathbf {E} _{I}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}={\begin{bmatrix}B_{i_{1}}\left(t_{j_{1}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{1}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{1}}\right)\\B_{i_{1}}\left(t_{j_{2}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{2}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{2}}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\B_{i_{1}}\left(t_{j_{J}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{J}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{J}}\right)\\\end{bmatrix}},\mathbf {B} _{2}={\begin{bmatrix}B_{i_{1}}\left(t_{i_{1}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{1}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{1}}\right)\\B_{i_{1}}\left(t_{i_{2}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{2}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{2}}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\B_{i_{1}}\left(t_{i_{I}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{I}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{I}}\right)\\\end{bmatrix}}.}$

El formato de iteración local anterior converge y se puede extender a superficies de fusión ^[12] y superficies de subdivisión. ^[20]

PIA implícita[11]

A continuación se presenta el formato de aproximación iterativa progresiva para la reconstrucción implícita de curvas y superficies. Dada una nube de puntos ordenada y un vector normal unitario en los puntos de datos, queremos reconstruir una curva implícita (superficie) a partir de la nube de puntos dada. Para evitar una solución trivial, se agregan algunos puntos de desplazamiento a la nube de puntos. ^[11] Se desplazan por una distancia a lo largo del vector normal unitario de cada punto. ${\textstyle \left\{\mathbf {Q} _{i}\right\}_{i=1}^{n}}$ ${\textstyle \left\{\mathbf {n} _{i}\right\}_{i=1}^{n}}$ ${\textstyle \left\{\mathbf {Q} _{l}\right\}_{l=n+1}^{2n}}$ ${\textstyle \sigma }$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{l}=\mathbf {Q} _{i}+\sigma \mathbf {n} _{i},\quad l=n+i,\quad i=1,2,\cdots ,n.}$

Supongamos que es el valor de la función implícita en el punto de desplazamiento ${\textstyle \epsilon }$

${\displaystyle f\left(\mathbf {Q} _{l}\right)=\epsilon ,\quad l=n+1,n+2,\cdots ,2n.}$

Sea la curva implícita después de la iteración ${\textstyle \alpha }$

${\displaystyle f^{(\alpha )}(x,y)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}C_{ij}^{(\alpha )}B_{i}(x)B_{j}(y),}$

¿Dónde está el punto de control? ${\textstyle C_{ij}^{(\alpha )}}$

Defina el vector de diferencia de puntos de datos como ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{k}^{(\alpha )}&=0-f^{(\alpha )}(x_{k},y_{k}),\quad k=1,2,\cdots ,n,\\\delta _{l}^{(\alpha )}&=\epsilon -f^{(\alpha )}(x_{l},y_{l}),\quad l=n+1,n+2,\cdots ,2n.\end{aligned}}}$

A continuación, calcule el vector de diferencia de los coeficientes de control.

${\displaystyle {\Delta }_{ij}^{(\alpha )}=\mu \sum _{k=1}^{2n}B_{i}(x_{k})B_{j}(y_{k})\delta _{k}^{(\alpha )},\quad i=1,2,\cdots ,N_{u},\quad j=1,2,\cdots ,N_{v},}$

donde es el coeficiente de convergencia. Como resultado, los nuevos coeficientes de control son ${\textstyle \mu }$

${\displaystyle C_{ij}^{(\alpha +1)}=C_{ij}^{(\alpha )}+\Delta _{ij}^{(\alpha )},}$

que conduce a la nueva curva B-spline algebraica

${\displaystyle f^{(\alpha +1)}(x,y)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}C_{ij}^{(\alpha +1)}B_{i}(x)B_{j}(y).}$

El procedimiento anterior se lleva a cabo de forma iterativa para generar una secuencia de funciones B-spline algebraicas . La secuencia converge a un problema de minimización con restricciones cuando los coeficientes de control iniciales son . ^[11] ${\textstyle \left\{f^{(\alpha )}(x,y),\alpha =0,1,2,\cdots \right\}}$ ${\textstyle C_{ij}^{(0)}=0}$

Supongamos que la superficie implícita generada después de la iteración es ${\textstyle \alpha }$

${\displaystyle f^{(\alpha )}(x,y,z)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}\sum _{k=1}^{N_{w}}C_{ijk}^{(\alpha )}B_{i}(x)B_{j}(y)B_{k}(z),}$

El formato de iteración es similar al del caso de la curva. ^{[11] [21]}

Carenado-PIA[13]

Para desarrollar el carenado-PIA, primero definimos los funcionales de la siguiente manera: ^[13]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{r,j}(f)=\int _{t_{1}}^{t_{m}}B_{r,j}(t)fdt,\quad j=1,2,\cdots ,n,\quad r=1,2,3,}$

donde representa la derivada n de la función base , ^[8] (por ejemplo, función base B-spline ). ${\textstyle B_{r,j}(t)}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle B_{j}(t)}$

Sea la curva después de la iteración ${\textstyle k}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{[k]}(t)=\sum _{j=1}^{n}B_{j}(t)\mathbf {P} _{j}^{[k]},\quad t\in [t_{1},t_{m}].}$

Para construir la nueva curva , primero calculamos los vectores de diferencia st para los puntos de datos, ^[13] ${\textstyle \mathbf {P} ^{[k+1]}(t)}$ ${\textstyle (k+1)}$

${\displaystyle \mathbf {d} _{i}^{[k]}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{[k]}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,m.}$

Luego, los vectores de diferencia de ajuste y los vectores de carenado para los puntos de control se calculan mediante ^[13]

${\displaystyle \mathbf {\delta } _{j}^{[k]}=\sum _{h\in I_{j}}B_{j}(t_{h})\mathbf {d} _{h}^{[k]},\quad j=1,2,\cdots ,n,}$ ${\displaystyle \mathbf {\eta } _{j}^{[k]}=\sum _{l=1}^{n}{\mathcal {F}}_{r,l}\left(B_{r,j}(t)\right)\mathbf {P} _{l}^{[k]},\quad j=1,2,\cdots ,n.}$

Finalmente, los puntos de control de la curva st son producidos por ^[13] ${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{[k+1]}=\mathbf {P} _{j}^{[k]}+\mu _{j}\left[\left(1-\omega _{j}\right)\mathbf {\delta } _{j}^{[k]}-\omega _{j}\mathbf {\eta } _{j}^{[k]}\right],\quad j=1,2,\cdots ,n,}$

donde es un peso de normalización y es un peso de suavizado correspondiente al punto de control n.° . Los pesos de suavizado se pueden emplear para ajustar el suavizado individualmente, lo que aporta una gran flexibilidad para el suavizado. ^[13] Cuanto mayor sea el peso de suavizado, más suave será la curva generada. La nueva curva se obtiene de la siguiente manera ${\displaystyle \mu _{j}}$ ${\displaystyle \omega _{j}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{[k+1]}(t)=\sum _{j=1}^{n}B_{j}(t)\mathbf {P} _{j}^{[k+1]},\quad t\in [t_{1},t_{m}].}$

De esta manera, obtenemos una secuencia de curvas . La secuencia converge a la solución del método de suavizado convencional basado en la minimización de energía cuando todos los pesos de suavizado son iguales ( ). ^[13] De manera similar, el método de suavizado PIA puede extenderse al caso de superficie. ${\textstyle \left\{\mathbf {P} ^{[k]}(t),\;k=1,2,3,\cdots \right\}}$ ${\textstyle \omega _{j}=\omega }$

IG-LSPIA[14]

Dado un problema de valor límite ^[15]

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}u=f,&\quad {\text{in}}\;\Omega ,\\{\mathcal {G}}u=g,&\quad {\text{on}}\;\partial \Omega ,\end{aligned}}\right.}$

donde es la solución desconocida, y son el operador diferencial y el operador de contorno, respectivamente. y son las funciones continuas. En el método de análisis isogeométrico , las funciones base NURBS ^[8] se utilizan como funciones de forma para resolver la solución numérica de este problema de valor de contorno. ^[15] Las mismas funciones base se aplican para representar la solución numérica y la aplicación geométrica : ${\textstyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle u_{h}}$ ${\textstyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}\left({\hat {\tau }}\right)&=\sum _{j=1}^{n}R_{j}({\hat {\tau }})u_{j},\\G({\hat {\tau }})&=\sum _{j=1}^{n}R_{j}({\hat {\tau }})P_{j},\end{aligned}}}$

donde denota la función base NURBS, es el coeficiente de control. Después de sustituir los puntos de colocación ^[22] en la forma fuerte de PDE , obtenemos un problema discretizado ^[22] ${\textstyle R_{j}({\hat {\tau }})}$ ${\textstyle u_{j}}$ ${\textstyle {\hat {\tau }}_{i},i=1,2,...,{m}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}u_{h}({\hat {\tau }}_{i})=f(G({\hat {\tau }}_{i})),&\quad i\in {\mathcal {I_{L}}},\\{\mathcal {G}}u_{h}({\hat {\tau }}_{j})=g(G({\hat {\tau }}_{j})),&\quad j\in {\mathcal {I_{G}}},\end{aligned}}\right.}$

donde y denotan los subíndices de los puntos de colocación internos y límites, respectivamente. ${\textstyle {\mathcal {I_{L}}}}$ ${\textstyle {\mathcal {I_{G}}}}$

Al organizar los coeficientes de control de la solución numérica en un vector columna de dimensión , es decir, , el problema discretizado se puede reformular en forma matricial. ${\textstyle u_{j}}$ ${\textstyle u_{h}({\hat {\tau }})}$ ${\textstyle 1}$ ${\textstyle \mathbf {U} =[u_{1},u_{2},...,u_{n}]^{T}}$

${\displaystyle \mathbf {AU} =\mathbf {b} ,}$

donde es la matriz de colocación y es el vector de carga. ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {b} }$

Supongamos que los valores de carga discretizados son puntos de datos que se van a ajustar. Dada la estimación inicial de los coeficientes de control （）, obtenemos una función de mezcla inicial ^[14] ${\textstyle \left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$ ${\textstyle \left\{u_{j}^{(0)}\right\}_{j=1}^{n}}$ ${\textstyle n<m}$

${\displaystyle U^{(0)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(0)},\quad {\hat {\tau }}\in [{\hat {\tau }}_{1},{\hat {\tau }}_{m}],}$

donde ，， representa la combinación de derivadas de diferente orden de las funciones base NURBS determinadas utilizando los operadores y ${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }})}$ ${\textstyle j=1,2,\cdots ,n}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle A_{j}({\hat {\tau }})=\left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}R_{j}({\hat {\tau }}),&\quad {\hat {\tau }}\ {\text{in}}\ \Omega _{p}^{in},\\{\mathcal {G}}R_{j}({\hat {\tau }}),&\quad {\hat {\tau }}\ {\text{in}}\ \Omega _{p}^{bd},\quad j=1,2,\cdots ,n,\end{aligned}}\right.}$

donde y indican el interior y el límite del dominio de parámetros, respectivamente. Cada uno corresponde al coeficiente de control n.° . Supongamos que y son los conjuntos de índices de los coeficientes de control interno y de límite, respectivamente. Sin pérdida de generalidad, suponemos además que los coeficientes de control de límite se han obtenido utilizando imposición fuerte o débil y son fijos, es decir, ${\textstyle \Omega _{p}^{in}}$ ${\textstyle \Omega _{p}^{bd}}$ ${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }})}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle J_{in}}$ ${\textstyle J_{bd}}$

${\displaystyle u_{j}^{(k)}=u_{j}^{*},\quad j\in J_{bd},\quad k=0,1,2,\cdots .}$

Se supone que la función de mezcla th, generada después de la iteración th de IG-LSPIA, ^[14] es la siguiente: ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$

${\displaystyle U^{(k)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(k)},\quad {\hat {\tau }}\in [{\hat {\tau }}_{1},{\hat {\tau }}_{m}].}$

Luego, los vectores de diferencia para los puntos de colocación (DCP) en la iteración st se obtienen utilizando ${\textstyle (k+1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{i}^{(k)}&=b_{i}-\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)}\\&=b_{i}-\sum _{j\in J_{bd}}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)}-\sum _{j\in J_{in}}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)},\quad i=1,2,...,m.\end{aligned}}}$

Además, agrupe todos los valores de carga cuyos parámetros caen en el soporte local de la función derivada n, es decir, , en el n grupo correspondiente al n coeficiente de control, y denote el conjunto de índices del n grupo de valores de carga como . Por último, las diferencias para los coeficientes de control (DCC) se pueden construir de la siguiente manera: ^[14] ${\textstyle j}$ ${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }}_{i})\neq 0}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle I_{j}}$

${\displaystyle d_{j}^{(k)}=\mu \sum _{h\in I_{j}}A_{j}({\hat {\tau }}_{h})\delta _{h}^{(k)},\quad j=1,2,...,n,}$

donde es un peso de normalización para garantizar la convergencia del algoritmo. ${\textstyle \mu }$

De esta forma, los nuevos coeficientes de control se actualizan mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle u_{j}^{(k+1)}=u_{j}^{(k)}+d_{j}^{(k)},\quad j=1,2,...,n,}$

En consecuencia, la función de mezcla st se genera de la siguiente manera: ${\textstyle (k+1)}$

${\displaystyle U^{(k+1)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(k+1)}.}$

El proceso de iteración anterior se realiza hasta que se alcanza la precisión de ajuste deseada y se obtiene una secuencia de funciones de combinación.

${\displaystyle \left\{U^{(k)}({\hat {\tau }}),k=0,1,\dots \right\}.}$

El IG-LSPIA converge a la solución de un problema de colocación de mínimos cuadrados restringido. ^[14]

Prueba de convergencia

Caso no singular

• Si , el formato iterativo de PIA en forma matricial es ^[1] ${\textstyle m=n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\mathbf {P^{(\alpha )}} +\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )},\\&=\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mathbf {Q} -\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\alpha )},\\&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mathbf {Q} ,\end{aligned}}}$

dónde,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {Q} =\left[\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\cdots ,\mathbf {Q} _{m}\right]^{T},\\&\mathbf {P^{(\alpha )}} =\left[\mathbf {P} _{1}^{(\alpha )},\mathbf {P} _{2}^{(\alpha )},\cdots ,\mathbf {P} _{n}^{(\alpha )}\right]^{T},\\&\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}=\left[\mathbf {\Delta } _{1}^{(\alpha )},\mathbf {\Delta } _{2}^{(\alpha )},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{n}^{(\alpha )}\right]^{T},\\&\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}B_{1}(t_{1})&B_{2}(t_{1})&\cdots &B_{n}(t_{1})\\B_{1}(t_{2})&B_{2}(t_{2})&\cdots &B_{n}(t_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{1}(t_{m})&B_{2}(t_{m})&\cdots &B_{n}(t_{m})\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

La convergencia del PIA está relacionada con las propiedades de la matriz de colocación. Si el radio espectral de la matriz de iteración es menor que ， entonces el PIA es convergente. Se ha demostrado que los métodos PIA para curvas y superficies de Bézier, curvas y superficies B-spline, curvas y superficies NURBS, superficie triangular de Bernstein-Bézier y superficies de subdivisión (Loop, Catmull-Clark, Doo-Sabin) son convergentes. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {B} }$ ${\displaystyle 1}$

• Si , la LSPIA en forma matricial es ^{[10] [19]} ${\textstyle n<m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\mathbf {P^{(\alpha )}} +\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )},\\&=\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\left(\mathbf {Q} -\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\alpha )}\right),\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} .\end{aligned}}}$

Cuando la matriz no es singular , se pueden obtener los siguientes resultados. ^[23] ${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$

Lema Si , donde es el valor propio más grande de la matriz , entonces los valores propios de son números reales y satisfacen . ${\textstyle 0<\mu <{\frac {2}{\lambda _{0}}}}$ ${\textstyle \lambda _{0}}$ ${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$ ${\textstyle \mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$ ${\textstyle 0<\lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2}$

Demostración Dado que no es singular, y , entonces . Además, ${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$ ${\textstyle \mu >0}$ ${\textstyle \lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )>0}$

${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )=\mu \lambda (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2{\frac {\lambda (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )}{\lambda _{0}}}<2.}$

En resumen, . ${\textstyle 0<\lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2}$

Teorema Si ，LSPIA es convergente y converge al resultado del ajuste de mínimos cuadrados a los puntos de datos dados. ^{[10] [19]} ${\textstyle 0<\mu <{\frac {2}{\lambda _{0}}}}$

Prueba De la forma matricial del formato iterativo, obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\left[\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha -1)}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} \right]+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{2}\mathbf {P} ^{(\alpha -1)}+\sum _{i=0}^{1}\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\cdots \\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha +1}\mathbf {P} ^{(0)}+\sum _{i=0}^{\alpha }\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha }\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} .\\\end{aligned}}}$

Según el Lema anterior, el radio espectral de la matriz satisface ${\textstyle \mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$

${\displaystyle 0<\rho \left({\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }\right)<2,}$

Por lo tanto, el radio espectral de la matriz de iteración satisface

${\displaystyle 0<\rho \left({\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }\right)<1.}$

Cuando ${\textstyle \alpha \rightarrow \infty }$

${\displaystyle \left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\infty }=0,\ \sum _{i=0}^{\infty }\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha }={\frac {1}{\mu }}\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}.}$

Como resultado,

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(\infty )}=\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,}$

es decir , que es equivalente a la ecuación normal del problema de ajuste. Por lo tanto, el algoritmo LSPIA converge al resultado de mínimos cuadrados para una secuencia dada de puntos. ${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\infty )}=\mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} }$

Caso singular

Lin et al. demostraron que LSPIA converge incluso cuando la matriz de iteración es singular. ^[17]

Algoritmos de aceleración y otros

• Condición previa : Liu et al. propusieron un PIA preacondicionado para superficies de Bézier a través del método de reducción compensada diagonalmente, mejorando efectivamente la precisión y la eficiencia del algoritmo clásico. ^[24]
• Aproximación inversa de la matriz de iteración : Sajavičius mejora el LSPIA basándose en el método de aproximación inversa de la matriz. En cada paso de iteración, primero se calcula la inversa aproximada de la matriz de coeficientes del problema de ajuste de mínimos cuadrados y luego se utiliza como ponderación para ajustar los puntos de control. ^[25]
• Peso óptimo : Lu presentó inicialmente una aproximación iterativa progresiva ponderada (WPIA) que introduce el peso óptimo de los vectores de diferencia para los puntos de control para acelerar la convergencia. ^[26] Además, Zhang et al. propusieron un formato PIA local ponderado para superficies Bézier tensoriales. ^[27] Li et al. asignaron pesos iniciales a cada punto de datos, y los pesos de los puntos interpolados se determinan de forma adaptativa durante el proceso iterativo. ^[28]
• Aceleración con memoria : En 2020, Huang et al. propusieron un método de aproximación progresiva-iterativa con memoria para ajuste de mínimos cuadrados (MLSPIA), que tiene un formato similar al método de momento. MLSPIA genera una serie de curvas de ajuste (superficies) con tres pesos ajustando iterativamente los puntos de control. Con la selección de parámetros adecuada, estas curvas (superficies) convergen a los resultados de ajuste de mínimos cuadrados para un punto de datos dado y son más eficientes que LSPIA. ^[29]
• Estrategia de descenso estocástico : Ríos y Jüttle exploraron la relación entre LSPIA y el método de descenso de gradiente y propusieron un algoritmo LSPIA estocástico con corrección de parámetros. ^[30]

Aplicaciones

Dado que PIA tiene un significado geométrico obvio, las restricciones se pueden integrar fácilmente en las iteraciones. Actualmente, PIA se ha aplicado ampliamente en muchos campos, como ajuste de datos, ingeniería inversa, diseño geométrico, generación de mallas, compresión de datos, generación de superficies y curvas de carenado y análisis isogeométrico.

Ajuste de datos

• Ajuste de datos adaptativo: los puntos de control se dividen en puntos de control activos y puntos de control fijos . En cada ronda de iteración, si el error de ajuste de un punto de datos alcanza una precisión dada, su punto de control correspondiente se fija y no se actualiza. El proceso iterativo anterior se repite hasta que todos los puntos de control se fijan. El algoritmo funciona bien en el ajuste de datos a gran escala al reducir de forma adaptativa el número de puntos de control activos. ^[31]
• Ajuste de datos a gran escala: Al combinar T-spline con PIA, se propone un algoritmo de ajuste incremental adecuado para ajustar conjuntos de datos a gran escala. Durante la iteración incremental, cada nueva ronda de iteraciones reutiliza información de la última ronda de iteraciones para ahorrar cálculos. Si bien la velocidad de convergencia del algoritmo iterativo punto por punto tradicional disminuye a medida que aumenta el número de puntos de control, en PIA el cálculo de cada paso de iteración no está relacionado con el número de puntos de control , por lo que exhibe una poderosa capacidad de ajuste de datos. ^[10]
• Ajuste local: Basándose en la propiedad local de PIA, se han propuesto una serie de formatos de PIA locales. ^{[12] [32]}

Reconstrucción implícita

Para la reconstrucción implícita de curvas y superficies, el PIA evita el conjunto de nivel cero adicional y el término de regularización, lo que mejora enormemente la velocidad del algoritmo de reconstrucción. ^[11]

Aproximación de la curva de desplazamiento

En primer lugar, se toman muestras de los puntos de datos en la curva original. Luego, se genera la curva de aproximación polinómica inicial o la curva de aproximación racional de la curva de desplazamiento a partir de estos puntos muestreados. Finalmente, la curva de desplazamiento se aproxima de manera iterativa utilizando el método PIA. ^[33]

Generación de malla

Se introduce un modelo de malla triangular, el algoritmo primero construye la malla hexaédrica inicial y extrae la malla cuadrilátera de la superficie como la malla límite inicial. Durante las iteraciones, se restringe el movimiento de cada vértice de la malla para garantizar la validez de la malla. Finalmente, el modelo hexaédrico se ajusta al modelo de entrada dado. El algoritmo puede garantizar la validez de la malla hexaédrica generada, es decir, el valor de Jacobi en cada vértice de la malla es mayor que cero. ^[34]

Compresión de datos

En primer lugar, los datos de la imagen se convierten en una secuencia unidimensional mediante un escaneo de Hilbert; luego, estos puntos de datos se ajustan mediante LSPIA para generar una curva de Hilbert; finalmente, se toma una muestra de la curva de Hilbert y se puede reconstruir la imagen comprimida. Este método puede preservar bien la información de vecindad de los píxeles. ^[35]

Generación de curvas y superficies de carenado

Dado un conjunto de puntos de datos, primero definimos la función de carenado y calculamos el vector de diferencia de ajuste y el vector de carenado del punto de control; luego, ajustamos los puntos de control con pesos de carenado. De acuerdo con los pasos anteriores, la curva y la superficie de carenado se pueden generar de forma iterativa. Debido a los parámetros de carenado suficientes, el método puede lograr un carenado global o local. También es flexible para ajustar los vectores de nudos, los pesos de carenado o la parametrización de datos después de cada ronda de iteración. El método tradicional de minimización de energía es un caso especial de este método, es decir, cuando los pesos suaves son todos iguales. ^[13]

Análisis isogeométrico

Los valores de carga discretizados se consideran el conjunto de puntos de datos, y la combinación de las funciones base y sus funciones derivadas se utiliza como la función de combinación para el ajuste. El método ajusta automáticamente los grados de libertad de la solución numérica de la ecuación diferencial parcial según el resultado del ajuste de la función de combinación a los valores de carga. Además, el tiempo de iteración promedio por paso solo está relacionado con el número de puntos de datos (es decir, puntos de colocación) y no está relacionado con el número de coeficientes de control. ^[14]

Referencias

•  Este artículo incorpora texto de zju_cagd disponible bajo la licencia CC BY 4.0.

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