Método del aniquilador

Método de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas

En matemáticas , el método del aniquilador es un procedimiento utilizado para hallar una solución particular a ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no homogéneas . Es similar al método de coeficientes indeterminados , pero en lugar de adivinar la solución particular en el método de coeficientes indeterminados , la solución particular se determina sistemáticamente en esta técnica. La frase coeficientes indeterminados también se puede utilizar para referirse al paso del método del aniquilador en el que se calculan los coeficientes.

El método del aniquilador se utiliza de la siguiente manera. Dada la EDO , encuentre otro operador diferencial tal que . Este operador se llama aniquilador , de ahí el nombre del método. Al aplicarlo a ambos lados de la EDO se obtiene una EDO homogénea para la que encontramos una base de solución como antes. Luego, la EDO no homogénea original se utiliza para construir un sistema de ecuaciones que restringe los coeficientes de la combinación lineal para satisfacer la EDO. ${\displaystyle P(D)y=f(x)}$ ${\displaystyle A(D)}$ ${\displaystyle A(D)f(x)=0}$ ${\displaystyle A(D)}$ ${\displaystyle {\big (}A(D)P(D){\big )}y=0}$ ${\displaystyle \{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$

Este método no es tan general como la variación de parámetros en el sentido de que no siempre existe un aniquilador.

Mesa aniquiladora

Donde está en los números naturales y está en los números reales . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k,b,a,c_{1},\cdots ,c_{k}}$

Si consiste en la suma de las expresiones dadas en la tabla, el aniquilador es el producto de los aniquiladores correspondientes. ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplo

Dado , . El aniquilador más simple de es . Los ceros de son , por lo que la base de la solución de es ${\displaystyle y''-4y'+5y=\sin(kx)}$ ${\displaystyle P(D)=D^{2}-4D+5}$ ${\displaystyle \sin(kx)}$ ${\displaystyle A(D)=D^{2}+k^{2}}$ ${\displaystyle A(z)P(z)}$ ${\displaystyle \{2+i,2-i,ik,-ik\}}$ ${\displaystyle A(D)P(D)}$ ${\displaystyle \{y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x},e^{ikx},e^{-ikx}\}.}$

Escenario en el que nos encontramos ${\displaystyle y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(kx)&=P(D)y\\[8pt]&=P(D)(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4})\\[8pt]&=c_{1}P(D)y_{1}+c_{2}P(D)y_{2}+c_{3}P(D)y_{3}+c_{4}P(D)y_{4}\\[8pt]&=0+0+c_{3}(-k^{2}-4ik+5)y_{3}+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)y_{4}\\[8pt]&=c_{3}(-k^{2}-4ik+5)(\cos(kx)+i\sin(kx))+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))\end{aligned}}}$

Dando el sistema

${\displaystyle i=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(-k^{2}+4ik+5)c_{4}}$

${\displaystyle 0=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(k^{2}-4ik-5)c_{4}}$

que tiene soluciones

${\displaystyle c_{3}={\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}}$, ${\displaystyle c_{4}={\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}}$

dando el conjunto de soluciones

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}y_{3}+{\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}y_{4}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)-(k^{2}-5)\sin(kx)}{(k^{2}+4ik-5)(k^{2}-4ik-5)}}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}.\end{aligned}}}$

Esta solución se puede descomponer en partes homogéneas y no homogéneas. En particular, es una integral particular para la ecuación diferencial no homogénea y es una solución complementaria a la ecuación homogénea correspondiente. Los valores de y se determinan generalmente a través de un conjunto de condiciones iniciales. Dado que se trata de una ecuación de segundo orden, se necesitan dos de esas condiciones para determinar estos valores. ${\displaystyle y_{p}={\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}}$ ${\displaystyle y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Las soluciones fundamentales se pueden reescribir aún más utilizando la fórmula de Euler : ${\displaystyle y_{1}=e^{(2+i)x}}$ ${\displaystyle y_{2}=e^{(2-i)x}}$

${\displaystyle e^{(2+i)x}=e^{2x}e^{ix}=e^{2x}(\cos x+i\sin x)}$

${\displaystyle e^{(2-i)x}=e^{2x}e^{-ix}=e^{2x}(\cos x-i\sin x)}$

Luego , y una reasignación adecuada de las constantes proporciona una forma más simple y comprensible de la solución complementaria, . ${\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{2x}(\cos x+i\sin x)+c_{2}e^{2x}(\cos x-i\sin x)=(c_{1}+c_{2})e^{2x}\cos x+i(c_{1}-c_{2})e^{2x}\sin x}$ ${\displaystyle y_{c}=e^{2x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x)}$

Referencias