Precios del Vanna-Volga

El método Vanna-Volga es una herramienta matemática utilizada en finanzas . Se trata de una técnica para fijar el precio de opciones exóticas de primera generación en derivados del mercado de divisas .

Descripción

Consiste en ajustar el valor teórico de Black-Scholes (BSTV) por el coste de una cartera que cubre tres riesgos principales asociados a la volatilidad de la opción: la Vega , la Vanna y la Volga. La Vanna es la sensibilidad de la Vega con respecto a un cambio en el tipo de cambio spot: ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle {\textrm {Vanna}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial S}}}$.

De manera similar, el Volga es la sensibilidad del Vega con respecto a un cambio en la volatilidad implícita : ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\textrm {Volga}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \sigma }}}$.

Si consideramos una estructura temporal de volatilidad de sonrisa con strike ATM , volatilidad ATM , volatilidades call/put 25-Delta , y donde son los strikes call/put 25-Delta (obtenidos al resolver las ecuaciones y donde denota la sensibilidad delta de Black–Scholes ), entonces la cartera de cobertura estará compuesta por las estrategias at-the-money (ATM), risk-reversal (RR) y butterfly (BF): ${\displaystyle \sigma (K)}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma (K_{c/p})}$ ${\displaystyle K_{c/p}}$ ${\displaystyle \Delta _{call}(K_{c},\sigma (K_{c}))=1/4}$ ${\displaystyle \Delta _{put}(K_{p},\sigma (K_{p}))=-1/4}$ ${\displaystyle \Delta _{call/put}(K,\sigma )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {ATM}}(K_{0})&={\frac {1}{2}}\left({\textrm {Call}}(K_{0},\sigma _{0})+{\textrm {Put}}(K_{0},\sigma _{0})\right)\\{\textrm {RR}}(K_{c},K_{p})&={\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))-{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\\{\textrm {BF}}(K_{c},K_{p})&={\frac {1}{2}}\left({\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right)-{\textrm {ATM}}(K_{0})\end{aligned}}}$

con el precio Black-Scholes de una opción de compra (de manera similar para la opción de venta). ${\displaystyle {\textrm {Call}}(K,\sigma )}$

La formulación más simple del método Vanna-Volga sugiere que el precio Vanna-Volga de un instrumento exótico está dado por ${\displaystyle X^{VV}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{\rm {VV}}=X^{BS}+\underbrace {\frac {{\textrm {X}}_{vanna}}{{\textrm {RR}}_{vanna}}} _{w_{RR}}{RR}_{cost}+\underbrace {\frac {{\textrm {X}}_{volga}}{{\textrm {BF}}_{volga}}} _{w_{BF}}{BF}_{cost}}$

donde por denota el precio de Black-Scholes de los exóticos y los griegos se calculan con volatilidad ATM y ${\displaystyle X^{BS}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}RR_{cost}&=\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))-{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right]-\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma _{0})-{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma _{0})\right]\\BF_{cost}&={\frac {1}{2}}\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma _{0})+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma _{0})\right]\end{aligned}}}$

Estas cantidades representan un coste de sonrisa , es decir, la diferencia entre el precio calculado con/sin incluir el efecto sonrisa.

La razón de ser de la formulación anterior del precio Vanna-Volga es que se puede extraer el costo de la sonrisa de una opción exótica midiendo el costo de la sonrisa de una cartera diseñada para cubrir sus riesgos Vanna y Volga. La razón por la que se eligen las estrategias BF y RR para hacer esto es porque son instrumentos de divisas líquidos y conllevan principalmente riesgos Volga y Vanna respectivamente. Los factores de ponderación y representan respectivamente la cantidad de RR necesaria para replicar el Vanna de la opción y la cantidad de BF necesaria para replicar el Volga de la opción. El enfoque anterior ignora la pequeña (pero no cero) fracción de Volga que conlleva el RR y la pequeña fracción de Vanna que conlleva el BF. Además, descuida el costo de cubrir el riesgo Vega. Esto ha llevado a una formulación más general del método Vanna-Volga en la que se considera que, dentro de los supuestos de Black-Scholes, el Vega, Vanna y Volga de la opción exótica se pueden replicar mediante la suma ponderada de tres instrumentos: ${\displaystyle w_{RR}}$ ${\displaystyle w_{BF}}$

${\displaystyle X_{i}=w_{ATM}\,{ATM_{i}}+w_{RR}\,{RR_{i}}+w_{BF}\,{BF_{i}}\,\,\,\,\,i{\text{=vega, vanna, volga}}}$

donde las ponderaciones se obtienen resolviendo el sistema: ${\displaystyle {\vec {x}}=\mathbb {A} {\vec {w}}}$

con

${\displaystyle \mathbb {A} ={\begin{pmatrix}ATM_{vega}&RR_{vega}&BF_{vega}\\ATM_{vanna}&RR_{vanna}&BF_{vanna}\\ATM_{volga}&RR_{volga}&BF_{volga}\end{pmatrix}}}$, , ${\displaystyle {\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{ATM}\\w_{RR}\\w_{BF}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}X_{vega}\\X_{vanna}\\X_{volga}\end{pmatrix}}}$

Dada esta réplica, el método Vanna-Volga ajusta el precio BS de una opción exótica por el costo de sonrisa de la suma ponderada anterior (nótese que el costo de sonrisa ATM es cero por construcción):

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{\rm {VV}}&=X^{BS}+w_{RR}({RR}^{mkt}-{RR}^{BS})+w_{BF}({BF}^{mkt}-{BF}^{BS})\\&=X^{BS}+{\vec {x}}^{T}(\mathbb {A} ^{T})^{-1}{\vec {I}}\\&=X^{BS}+X_{vega}\,\Omega _{vega}+X_{vanna}\,\Omega _{vanna}+X_{volga}\,\Omega _{volga}\\\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\vec {I}}={\begin{pmatrix}0\\{RR}^{mkt}-{RR}^{BS}\\{BF}^{mkt}-{BF}^{BS}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Omega _{vega}\\\Omega _{vanna}\\\Omega _{volga}\end{pmatrix}}=(\mathbb {A} ^{T})^{-1}{\vec {I}}}$

Las cantidades pueden interpretarse como los precios de mercado asociados a una cantidad unitaria de Vega, Vanna y Volga, respectivamente. Sin embargo, la corrección resultante suele ser demasiado grande. Por lo tanto, los profesionales del mercado modifican ${\displaystyle \Omega _{i}}$ ${\displaystyle X^{VV}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{\rm {VV}}&=X^{BS}+p_{vanna}X_{vanna}\Omega _{vanna}+p_{volga}X_{volga}\Omega _{volga}\end{aligned}}}$

La contribución de Vega resulta ser varios órdenes de magnitud menor que los términos de Vanna y Volga en todas las situaciones prácticas, por lo que se la descuida.

Los términos y se introducen a mano y representan factores que garantizan el comportamiento correcto del precio de una opción exótica cerca de una barrera: a medida que el nivel de barrera de knockout de una opción se desplaza gradualmente hacia el nivel spot , el precio BSTV de una opción knockout debe ser una función monótonamente decreciente, que converja a cero exactamente en . Dado que el método Vanna-Volga es una regla empírica simple y no un modelo riguroso, no hay garantía de que este sea el caso a priori. Los factores de atenuación son de un tipo diferente para el Vanna o el Volga de un instrumento. Esto se debe a que para los valores de barrera cercanos al spot se comportan de manera diferente: el Vanna se vuelve grande mientras que, por el contrario, el Volga se vuelve pequeño. Por lo tanto, los factores de atenuación toman la forma: ${\displaystyle p_{vanna}}$ ${\displaystyle p_{volga}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle B=S_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\rm {vanna}}&=a\,\gamma \\p_{\rm {volga}}&=b+c\gamma \end{aligned}}}$

donde representa alguna medida de la proximidad de la(s) barrera(s) al lugar con las características ${\displaystyle \gamma \in [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma =0\ \ &{for}\ \ S_{0}\to B\\\gamma =1\ \ &{for}\ \ |S_{0}-B|\gg 0\end{aligned}}}$

Los coeficientes se obtienen mediante la calibración del modelo para garantizar que reproduce la sonrisa de vainilla. Los buenos candidatos para garantizar el comportamiento adecuado cerca de las barreras son la probabilidad de supervivencia y el tiempo de primera salida esperado . Ambas cantidades ofrecen la propiedad deseable de que desaparecen cerca de una barrera. ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \gamma }$

Probabilidad de supervivencia

La probabilidad de supervivencia se refiere a la probabilidad de que el punto no toque uno o más niveles de barrera . Por ejemplo, para una única opción de barrera tenemos ${\displaystyle p_{surv}\in [0,1]}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}}$

${\displaystyle p_{surv}=\mathbb {E} [1_{S_{t}<B,t_{\textrm {tod}}<t<t_{\textrm {mat}}}]=\mathrm {NT} (B)/\mathrm {DF} (t_{\textrm {tod}},t_{\textrm {mat}})}$

donde es el valor de una opción sin contacto y el factor de descuento entre hoy y el vencimiento. De manera similar, para las opciones con dos barreras, la probabilidad de supervivencia se da a través del valor no descontado de una opción doble sin contacto. ${\displaystyle \mathrm {NT} (B)}$ ${\displaystyle \mathrm {DF} (t_{\textrm {tod}},t_{\textrm {mat}})}$

Hora de la primera salida

El tiempo de primera salida (FET) es el mínimo entre: (i) el tiempo futuro en el que se espera que el spot salga de una zona de barrera antes del vencimiento, y (ii) el vencimiento, si el spot no ha alcanzado ninguno de los niveles de barrera hasta el vencimiento. Es decir, si denotamos el FET por entonces min donde tal que o donde son los niveles de barrera 'bajo' vs 'alto' y el spot de hoy. ${\displaystyle u(S_{t},t)}$ ${\displaystyle u(S_{t},t)=}$ ${\displaystyle \{\phi ,T\}}$ ${\displaystyle \phi ={\textrm {inf}}\{\ell \in [0,T)\}}$ ${\displaystyle S_{t+\ell }>H}$ ${\displaystyle S_{t+\ell }<L}$ ${\displaystyle L,H}$ ${\displaystyle S_{t}}$

El tiempo de primera salida es la solución de la siguiente EDP

${\displaystyle {\frac {\partial u(S,t)}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}u(S,t)}{\partial S^{2}}}+\mu S{\frac {\partial u(S,t)}{\partial S}}=0}$

Esta ecuación se resuelve hacia atrás en el tiempo a partir de la condición terminal, donde es el tiempo hasta el vencimiento y las condiciones de contorno . En el caso de una única opción de barrera, utilizamos la misma EDP con o . El parámetro representa la deriva neutral al riesgo del proceso estocástico subyacente. ${\displaystyle u(S,T)=T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u(L,t')=u(H,t')=t'}$ ${\displaystyle H\gg S_{0}}$ ${\displaystyle L\ll S_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$

Referencias

• Frédéric Bossens; Grégory Rayée; Nikos S. Skantzos; Griselda Deelstra (2009). "Métodos Vanna-Volga aplicados a los derivados de divisas: de la teoría a la práctica del mercado". arXiv : 0904.1074 [q-fin.PR].
• Castagna, Antonio; Mercurio, Fabio (1 de marzo de 2007). "Métodos Vanna-Volga aplicados a los derivados de divisas: de la teoría a la práctica del mercado". Revista Risk .PDF.

• Shkolnikov, Yuriy (2009). "Método generalizado de Vanna-Volga y sus aplicaciones". Revista electrónica SSRN . doi :10.2139/ssrn.1186383. SSRN  1186383.

• Wystup, Uwe (2006), Opciones de divisas y productos estructurados , Wiley