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Lulu alisando

En el procesamiento de señales , el suavizado de Lulu es una técnica matemática no lineal para eliminar el ruido impulsivo de una secuencia de datos, como una serie temporal . Es un equivalente no lineal a tomar un promedio móvil (u otra técnica de suavizado) de una serie temporal, y es similar a otras técnicas de suavizado no lineal, como el suavizado de Tukey o el suavizado de mediana . [1]

Suavizado LU de ancho 1 aplicado a una secuencia ruidosa

Jankowitz compara en detalle los suavizadores LULU con los suavizadores medianos y descubre que son superiores en algunos aspectos, particularmente en propiedades matemáticas como la idempotencia . [2]

Propiedades

Los operadores de Lulu tienen varias propiedades matemáticas atractivas, entre ellas la idempotencia (es decir, que la aplicación repetida del operador produce el mismo resultado que una sola aplicación) y la co-idempotencia. Una interpretación de la idempotencia es que: “La idempotencia significa que no queda “ruido” en los datos suavizados y la co-idempotencia significa que no queda “señal” en el residuo”. [3]

Al estudiar los suavizadores hay cuatro propiedades que son útiles para optimizar: [4]

  1. Eficacia
  2. Consistencia
  3. Estabilidad
  4. Eficiencia

Los operadores también se pueden utilizar para descomponer una señal en varios subcomponentes de forma similar a la descomposición wavelet o de Fourier. [5]

Historia

Los suavizadores de Lulu fueron descubiertos por CH Rohwer y han sido estudiados durante los últimos 30 años. [6] [7] Se han derivado sus distribuciones exactas y asintóticas. [3]

Operación

La aplicación de un suavizador de Lulu consiste en la aplicación repetida de los operadores min y max en un subintervalo determinado de los datos. Al igual que con otros suavizadores, se debe especificar un ancho o intervalo. Los suavizadores de Lulu se componen de aplicaciones repetidas de los operadores L (inferior) y U (superior), que se definen de la siguiente manera:

Operador L

Para un operador L de ancho n sobre una secuencia infinita de x s (..., x j , x j +1 ,...), la operación sobre x j se calcula de la siguiente manera:

  1. En primer lugar, creamos ( n  + 1) minisecuencias de longitud ( n  + 1) cada una. Cada una de estas minisecuencias contiene el elemento x j . Por ejemplo, para el ancho 1, creamos 2 minisecuencias de longitud 2 cada una. Para el ancho 1, estas minisecuencias son ( x j −1 , x j ) y ( x j , x j +1 ). Para el ancho 2, las minisecuencias son ( x j −2 , x j −1 , x j ), ( x j −1 , x j , x j +1 ) y ( x j , x j +1 , x j +2 ). Para el ancho 2, nos referimos a estas minisecuencias como seq −1 , seq 0 y seq +1
  2. Luego tomamos el mínimo de cada una de las minisecuencias. Nuevamente, para el ancho 2, esto da: (Mín(seq −1 ), Mín(seq 0 ), Mín(seq +1 )). Esto nos da ( n  + 1) números para cada punto.
  3. Por último tomamos el máximo de (los mínimos de las mini secuencias), o Max(Min(seq −1 ), Min(seq 0 ), Min(seq +1 )) y esto se convierte en L ( x j )

Por lo tanto, para el ancho 2, el operador L es:

L ( x j ) = Máx(Mín(secuencia −1 ), Mín(secuencia 0 ), Mín(secuencia +1 ))

Operador U

Esto es idéntico al operador L, excepto que el orden de Min y Max se invierte, es decir, para el ancho 2:

U ( x j ) = Mín (Máx (secuencia −1 ), Máx (secuencia 0 ), Máx (secuencia +1 ))

Ejemplos

En las siguientes figuras se muestran ejemplos de los operadores U y L , así como de los operadores UL y LU combinados en un conjunto de datos de muestra.

L Ancho más suave 1
U Ancho más suave 1

Se puede observar que los resultados de los operadores UL y LU pueden ser diferentes. Los operadores combinados son muy eficaces para eliminar el ruido impulsivo; los únicos casos en los que el ruido no se elimina de manera eficaz es cuando se obtienen múltiples señales de ruido muy próximas entre sí, en cuyo caso el filtro "ve" los múltiples ruidos como parte de la señal.

Ancho del suavizador LU 1
Ancho de suavizado UL 1

Referencias

  1. ^ Tukey, JW (1974). "Métodos no lineales (no superponibles) para suavizar datos". Cong. Rec . EASCON: 673.
  2. ^ Jankowitz (2007). Algunos aspectos estadísticos de los suavizadores LULU (tesis doctoral). Universidad de Stellenbosch.
  3. ^ ab Conradie, WJ y de Wet, T. y Jankowitz, M. (2006). "Distribuciones exactas y asintóticas de suavizadores LULU". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 186 (1): 253–267. Código Bibliográfico :2006JCoAM.186..253C. doi :10.1016/j.cam.2005.03.073.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  4. ^ Rohwer, Carl (2005). Suavizado no lineal y análisis multirresolución . Vol. 150. Birkhauser Basel.
  5. ^ Fabris-Rotelli, Inger Nicolette (2009). Operadores LULU en matrices multidimensionales y aplicaciones (tesis de maestría). Universidad de Pretoria.
  6. ^ Rohwer, CH (1989). "Aproximación unilateral idempotente de suavizadores de mediana". Journal of Approximation Theory . 58 (2): 151–163. doi : 10.1016/0021-9045(89)90017-8 .
  7. ^ Rohwer, CH (1999). "Proyecciones y separadores". Cuestiones Mathematicae . 22 (2): 219–230. doi :10.1080/16073606.1999.9632077.