En matemáticas , un meandro o meandro cerrado es una curva cerrada que se evita a sí misma y que cruza una línea dada varias veces, es decir, la intersecta al pasar de un lado al otro. Intuitivamente, un meandro puede verse como un río serpenteante con una carretera recta que cruza el río por varios puentes. Por lo tanto, los puntos en los que se cruzan la línea y la curva se denominan "puentes".
Dada una línea fija L en el plano euclidiano , un meandro de orden n es una curva cerrada que se autoevita en el plano y que corta la línea en 2 n puntos. Dos meandros son equivalentes si uno de ellos puede deformarse continuamente en el otro manteniendo su propiedad de ser un meandro y dejando invariable el orden de los puentes de la carretera, en el orden en que se cruzan.
El meandro único de orden 1 intersecta la línea dos veces:
Este meandro intersecta la línea cuatro veces y por lo tanto tiene orden 2:
Hay dos meandros de orden 2. Invertir la imagen verticalmente produce el otro.
Aquí hay dos meandros no equivalentes de orden 3, cada uno de los cuales interseca la línea seis veces:
El número de meandros distintos de orden n es el número meandrico M n . Los primeros quince números meandricos se dan a continuación (secuencia A005315 en la OEIS ).
Una permutación meandrica de orden n se define en el conjunto {1, 2, ..., 2 n } y se determina de la siguiente manera:
En el diagrama de la derecha, la permutación meandrica de orden 4 está dada por (1 8 5 4 3 6 7 2). Esta es una permutación escrita en notación cíclica y no debe confundirse con la notación unifilar .
Si π es una permutación meandrica, entonces π 2 consta de dos ciclos , uno que contiene todos los símbolos pares y el otro todos los símbolos impares. Las permutaciones con esta propiedad se denominan permutaciones alternas , ya que los símbolos en la permutación original alternan entre números enteros pares e impares. Sin embargo, no todas las permutaciones alternas son meandricas porque puede que no sea posible dibujarlas sin introducir una autointersección en la curva. Por ejemplo, la permutación alterna de orden 3, (1 4 3 6 5 2), no es meandrica.
Dada una recta fija L en el plano euclidiano, un meandro abierto de orden n es una curva no autointersecante en el plano que corta la recta en n puntos. Dos meandros abiertos son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro manteniendo su propiedad de ser un meandro abierto y dejando invariable el orden de los puentes de la carretera, en el orden en que se cruzan.
El meandro abierto de orden 1 intersecta la línea una vez:
El meandro abierto de orden 2 intersecta la recta dos veces:
El número de meandros abiertos distintos de orden n es el número meandrico abierto m n . Los primeros quince números meandricos abiertos se dan a continuación (secuencia A005316 en la OEIS ).
Dado un rayo R (una semirrecta cerrada) con orientación fija en el plano euclidiano, un semimeandro de orden n es una curva cerrada no autointersecante en el plano que corta al rayo en n puntos. Dos semimeandros son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro manteniendo su propiedad de ser un semimeandro y dejando invariable el orden de los puentes en el rayo, en el orden en que se cruzan.
El semimeandro de orden 1 intersecta al rayo una vez:
El semimeandro de orden 2 intersecta el rayo dos veces:
El número de semimeandros distintos de orden n es el número semimeándrico M n (que se suele indicar con una línea superior en lugar de una línea inferior). Los primeros quince números semimeándricos se indican a continuación (secuencia A000682 en la OEIS ).
Existe una función inyectiva de números meandricos a meandricos abiertos:
Cada número meandrico puede estar acotado por números semi-meandricos:
Para n > 1, los números meandricos son pares :