Interpolación de Hermite

Interpolación polinómica utilizando valores derivados

En análisis numérico , la interpolación de Hermite , llamada así por Charles Hermite , es un método de interpolación polinómica que generaliza la interpolación de Lagrange . La interpolación de Lagrange permite calcular un polinomio de grado menor que n que toma el mismo valor en n puntos dados que una función dada. En cambio, la interpolación de Hermite calcula un polinomio de grado menor que n tal que el polinomio y sus primeras derivadas tienen los mismos valores en m (menos que n ) puntos dados que la función dada y sus primeras derivadas en esos puntos. La cantidad de piezas de información, valores de función y valores de derivada, debe sumar . ${\displaystyle n}$

El método de interpolación de Hermite está estrechamente relacionado con el método de interpolación de Newton , en el sentido de que ambos pueden derivarse del cálculo de diferencias divididas . Sin embargo, existen otros métodos para calcular un polinomio de interpolación de Hermite. Se puede utilizar álgebra lineal , tomando los coeficientes del polinomio de interpolación como incógnitas y escribiendo como ecuaciones lineales las restricciones que debe satisfacer el polinomio de interpolación. Para otro método, véase Teorema del resto chino § Interpolación de Hermite . Para otro método, véase ^[1] que utiliza la integración de contorno.

Planteamiento del problema

En la formulación restringida estudiada en ^[2] , la interpolación de Hermite consiste en calcular un polinomio de grado lo más bajo posible que coincida con una función desconocida tanto en valor observado como en el valor observado de sus primeras m derivadas. Esto significa que deben conocerse n ( m + 1) valores . El polinomio resultante tiene un grado menor que n ( m + 1) . (En un caso más general, no es necesario que m sea un valor fijo; es decir, algunos puntos pueden tener más derivadas conocidas que otros. En este caso, el polinomio resultante tiene un grado menor que el número de puntos de datos). $${\displaystyle {\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}),\\[1ex](x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}'),\\[1ex]\vdots &\vdots &&\vdots \\[1.2ex](x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{(m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matrix}}}$$

Consideremos un polinomio P ( x ) de grado menor que n ( m + 1) con coeficientes indeterminados ; es decir, los coeficientes de P ( x ) son n ( m + 1) nuevas variables. Luego, al escribir las restricciones que debe satisfacer el polinomio interpolante, se obtiene un sistema de n ( m + 1) ecuaciones lineales con n ( m + 1) incógnitas.

En general, un sistema de este tipo tiene exactamente una solución. En ^[1], Charles Hermite utilizó la integración de contorno para demostrar que efectivamente este es el caso aquí y para encontrar la solución única, siempre que las x _i sean diferentes por pares. A continuación se describe un método para calcular la solución. ^[3]

Método

Caso simple cuando todos los k=2

Al utilizar diferencias divididas para calcular el polinomio de Hermite de una función f , el primer paso es copiar cada punto m veces. (Aquí consideraremos el caso más simple para todos los puntos). Por lo tanto, dados los puntos de datos , y los valores y para una función que queremos interpolar, creamos un nuevo conjunto de datos tal que ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})}$ ${\displaystyle f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots ,f'(x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}}$$ $${\displaystyle z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}.}$$

Ahora, creamos una tabla de diferencias divididas para los puntos . Sin embargo, para algunas diferencias divididas, que no están definidas, la diferencia dividida se reemplaza por . Todos los demás se calculan normalmente. ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}}$ $${\displaystyle z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}}$$ ${\displaystyle f'(z_{i})}$

Un caso más general cuando k>2

En el caso general, supongamos que un punto dado tiene k derivadas. Entonces, el conjunto de datos contiene k copias idénticas de . Al crear la tabla, las diferencias divididas de valores idénticos se calcularán como ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{N}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle j=2,3,\ldots ,k}$ $${\displaystyle {\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!}}.}$$

Por ejemplo, etc. $${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f''(x_{i})}{2}}}$$ $${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6}}}$$

^{En [4]} se da un algoritmo rápido para el caso totalmente general. En ^[5] se describe un algoritmo más lento pero numéricamente más estable.

Ejemplo

Consideremos la función . Evaluando la función y sus dos primeras derivadas en , obtenemos los siguientes datos: ${\displaystyle f(x)=x^{8}+1}$ ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\}}$

Como tenemos dos derivadas con las que trabajar, construimos el conjunto . Nuestra tabla de diferencias divididas es entonces: y el polinomio generado es tomando los coeficientes de la diagonal de la tabla de diferencias divididas y multiplicando el k -ésimo coeficiente por , como lo haríamos al generar un polinomio de Newton. ${\displaystyle \{z_{i}\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{llcclrrrrr}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1}}=-8&&&&&&&\\z_{1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})}{1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_{3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_{1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac {f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}=0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}=0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5},z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_{6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{6})}{1}}=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''(z_{7})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1}}=8&&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&&\\\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\\&\quad {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i})}$

Interpolación de Hermite de Quinto

La interpolación de Hermite de quinto grado basada en la función ( ), su primera ( ) y segunda derivadas ( ) en dos puntos diferentes ( y ) se puede utilizar, por ejemplo, para interpolar la posición de un objeto en función de su posición, velocidad y aceleración. La forma general está dada por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})-f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})-{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{3}}}(x-x_{0})^{3}\\&+{\frac {3f(x_{0})-3f(x_{1})+2\left(f'(x_{0})+{\frac {1}{2}}f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{4}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})\\&+{\frac {6f(x_{1})-6f(x_{0})-3\left(f'(x_{0})+f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}\left(f''(x_{1})-f''(x_{0})\right)(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{5}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})^{2}.\end{aligned}}}$$

Error

Llamemos al polinomio calculado H y a la función original f . Consideremos primero el caso de valor real. Al evaluar un punto , la función de error es donde c es una incógnita dentro del rango , K es el número total de puntos de datos y es el número de derivadas conocidas en cada . El grado del polinomio de la derecha es, por lo tanto, uno mayor que el límite de grado para . Además, el error y todas sus derivadas hasta el orden st son cero en cada nodo, como debería ser. ${\displaystyle x\in [x_{0},x_{n}]}$ $${\displaystyle f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_{i}},}$$ ${\displaystyle [x_{0},x_{N}]}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle k_{i}-1}$

En el caso complejo, como se describe por ejemplo en la p. 360 en, ^[5] donde el contorno encierra y todos los nodos , y el polinomio del nodo es . $${\displaystyle f(z)-H(z)={\frac {w(z)}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{w(\zeta )(\zeta -z)}}d\zeta }$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle w(z)=\prod _{i}(z-x_{i})^{k_{i}}}$

Véase también

• Spline cúbico de Hermite
• Serie de Newton , también conocida como diferencias finitas
• El esquema de Neville
• Polinomios de Bernstein

Referencias

1. Hermite, Charles (1878). "Sobre la fórmula de interpolación de Lagrange". J. Reina Angew. Matemáticas . 84 : 70–79.
2. Traub, JF (diciembre de 1964). "Sobre la interpolación de Lagrange-Hermite". J. Society for Industrial and Applied Mathematics . 12 (4): 886–891. doi :10.1137/0112076. JSTOR  2946361.
3. Spitzbart, A (enero de 1960). "Una generalización de la interpolación de Hermite". American Mathematical Monthly . 67 (1): 42–46. doi :10.1080/00029890.1960.11989446. JSTOR  2308924 . Consultado el 2 de junio de 2024 .
4. Schneider, C; Werner, W (1991). "Interpolación de Hermite: el enfoque baricéntrico". Computing . 46 : 35–51. doi :10.1007/BF02239010.
5. Corless, Robert M; Fillion, Nicolas (2013). Introducción a los métodos numéricos para estudiantes de posgrado . Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4614-8452-3.

Enlaces externos

• Polinomio de interpolación de Hermites en Mathworld