Modelo thurstoniano

Un modelo thurstoniano es un modelo de transitividad estocástica con variables latentes para describir el mapeo de alguna escala continua sobre categorías de respuesta discretas, posiblemente ordenadas. En el modelo, cada una de estas categorías de respuesta corresponde a una variable latente cuyo valor se extrae de una distribución normal , independientemente de las otras variables de respuesta y con varianza constante. Sin embargo, los avances de las últimas dos décadas han llevado a modelos thurstonianos que permiten términos de varianza desigual y covarianza distintos de cero. Los modelos thurstonianos se han utilizado como una alternativa a los modelos lineales generalizados en el análisis de tareas de discriminación sensorial . ^[1] También se han utilizado para modelar la memoria a largo plazo en tareas de clasificación de alternativas ordenadas, como el orden de las enmiendas a la Constitución de los EE. UU. ^[2] Su principal ventaja sobre otras tareas de clasificación de modelos es que tienen en cuenta la no independencia de las alternativas. ^[3] Ennis ^[4] proporciona una descripción completa de la derivación de modelos thurstonianos para una amplia variedad de tareas de comportamiento, incluidas la elección preferencial, las calificaciones, las tríadas, las tétradas, el par dual, lo mismo-diferente y el grado de diferencia, los rangos, la primera-última elección y la puntuación de aplicabilidad. En el Capítulo 7 de este libro ^{[ cita requerida ]} , se da una expresión de forma cerrada, derivada en 1988, para un modelo de similitud euclidiano-gaussiano que proporciona una solución al conocido problema de que muchos modelos thurstonianos son computacionalmente complejos y a menudo implican integración múltiple. En el Capítulo 10, se presenta una forma simple para tareas de clasificación que solo involucra el producto de funciones de distribución normal univariadas e incluye parámetros de dependencia inducidos por rango. Se demuestra un teorema que muestra que la forma particular de los parámetros de dependencia proporciona la única forma en que esta simplificación es posible. El capítulo 6 vincula la discriminación, la identificación y la elección preferencial a través de un modelo multivariado común en forma de sumas ponderadas de funciones de distribución F central y permite una matriz general de varianza-covarianza para los ítems.

Definición

Consideremos un conjunto de m opciones que han sido clasificadas por n jueces independientes. Esta clasificación puede representarse mediante el vector de ordenación r _n = (r _n1 , r _n2 ,...,r _nm ).

Se supone que las clasificaciones observadas se derivan de variables latentes de valor real z _ij , que representan la evaluación de la opción j por parte del juez i . Las clasificaciones r _i se derivan de manera determinista de z _i de modo que z _i (r _i1 ) < z _i (r _i2 ) < ... < z _i (r _im ).

Se supone que los z _{i se derivan de un valor de verdad fundamental subyacente} μ para cada opción. En el caso más general, son multivariados-normales:

${\displaystyle \mathbf {z} _{j}\ \sim \ {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } _{j},\mathbf {\Sigma } _{j})}$

Una simplificación común es asumir una distribución gaussiana isótropa, con un único parámetro de desviación estándar para cada juez:

${\displaystyle \mathbf {z} _{j}\ \sim \ {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } _{j},\sigma _{i}^{2}\mathbf {I} ).}$

Inferencia

El enfoque basado en el muestreador de Gibbs para estimar los parámetros del modelo se debe a Yao y Bockenholt (1999). ^[3]

• Paso 1: Dados β, Σ y r _i , muestree z _i .

Los z _ij deben muestrearse a partir de una distribución normal multivariada truncada para preservar su orden de rango. El muestreador de Gibbs normal multivariado truncado de Hajivassiliou se puede utilizar para muestrear de manera eficiente. ^{[5] [6]}

• Paso 2: Dado Σ, z _i , muestra β.

β se toma de una distribución normal :

${\displaystyle \beta \ \sim \ {\mathcal {N}}(\beta ^{*},\Sigma ^{*}).}$

donde β ^* y Σ ^* son las estimaciones actuales para las medias y las matrices de covarianza.

• Paso 3: Dado β, z _i , muestra Σ.

Σ ⁻¹ se muestrea a partir de un posterior de Wishart , combinando un anterior de Wishart con la probabilidad de datos de las muestras ε _i = z _i - β.

Ahora volvamos al paso 1.

Historia

Los modelos thurstonianos fueron introducidos por Louis Leon Thurstone para describir la ley del juicio comparativo . ^[7] Antes de 1999, los modelos thurstonianos rara vez se usaban para tareas de modelado que involucraban más de 4 opciones debido a la integración de alta dimensión requerida para estimar los parámetros del modelo. En 1999, Yao y Bockenholt introdujeron su enfoque basado en el muestreador de Gibbs para estimar los parámetros del modelo. ^[3] Este comentario, sin embargo, solo se aplica a la clasificación y los modelos thurstonianos con una gama mucho más amplia de aplicaciones se desarrollaron antes de 1999. Por ejemplo, un modelo thurstoniano multivariado para la elección preferencial con una estructura general de varianza-covarianza se analiza en el capítulo 6 de Ennis (2016) que se basó en artículos publicados en 1993 y 1994. Incluso antes, una forma cerrada para un modelo multivariado thurstoniano de similitud con matrices de covarianza arbitrarias se publicó en 1988 como se analiza en el Capítulo 7 de Ennis (2016). Este modelo tiene numerosas aplicaciones y no está limitado a ningún número particular de artículos o individuos.

Aplicaciones a la discriminación sensorial

Los modelos thurstonianos se han aplicado a una variedad de tareas de discriminación sensorial, incluida la discriminación auditiva, gustativa y olfativa, para estimar la distancia sensorial entre estímulos que se extienden a lo largo de un continuo sensorial. ^{[8] [9] [10]}

El enfoque thurstoniano motivó la explicación de Frijter (1979) de la paradoja de Gridgeman, también conocida como la paradoja de los no discriminadores discriminatorios: ^{[1] [9] [11] [12]} Las personas se desempeñan mejor en una tarea de elección forzada de tres alternativas cuando se les dice de antemano a qué dimensión del estímulo deben prestar atención. (Por ejemplo, las personas son mejores para identificar cuál de las tres bebidas es diferente de las otras dos cuando se les dice de antemano que la diferencia será en el grado de dulzura). Este resultado se explica por diferentes estrategias cognitivas: cuando la dimensión relevante se conoce de antemano, las personas pueden estimar valores a lo largo de esa dimensión en particular. Cuando la dimensión relevante no se conoce de antemano, deben confiar en una medida más general y multidimensional de la distancia sensorial.

El párrafo anterior contiene un malentendido común sobre la resolución thurstoniana de la paradoja de Gridgeman. Si bien es cierto que se utilizan diferentes reglas de decisión (estrategias cognitivas) para elegir entre tres alternativas, el mero hecho de conocer un atributo de antemano no explica la paradoja, ni se requiere que los sujetos se basen en una medida más general y multidimensional de la diferencia sensorial. En el método triangular, por ejemplo, se le indica al sujeto que elija el más diferente de tres elementos, dos de los cuales son supuestamente idénticos. Los elementos pueden diferir en una escala unidimensional y el sujeto puede ser consciente de la naturaleza de la escala de antemano. La paradoja de Gridgeman se seguirá observando. Esto ocurre debido al proceso de muestreo combinado con una regla de decisión basada en la distancia en lugar de una regla de decisión basada en la magnitud que se supone que modela los resultados de la tarea de elección forzada de 3 alternativas.

Véase también

• Escala de Thurstone
• Modelo Bradley-Terry
• Transitividad estocástica

Referencias

1. Lundahl, David (1997). "Modelos thurstonianos: ¿una respuesta a la paradoja de Gridgeman?". Métodos estadísticos del software CAMO.
2. Lee, Michael; Steyvers, Mark; de Young, Mindy; Miller, Brent (2011). "Un enfoque basado en modelos para medir la pericia en tareas de clasificación" (PDF) . Actas de CogSci 2011 (PDF) . ISBN 978-0-9768318-7-7.
3. Yao, G.; Bockenholt, U. (1999). "Estimación bayesiana de modelos de clasificación thurstonianos basados ​​en el muestreador de Gibbs" (PDF) . British Journal of Mathematical and Statistical Psychology . 52 : 19–92. doi :10.1348/000711099158973.
4. Ennis, Daniel (2016). Modelos thurstonianos: toma de decisiones categóricas en presencia de ruido . Richmond: The Institute for Perception. ISBN 978-0-9906446-0-6.
5. Hajivassiliou, VA (1993). "Métodos de estimación de simulación para modelos de variable dependiente limitada". En Maddala, GS; Rao, CR; Vinod, HD (eds.). Econometría . Manual de estadística. Vol. 11. Ámsterdam: Elsevier. ISBN 0444895779.
6. VA, Hajivassiliou; D., McFadden; P., Ruud (1996). "Simulación de probabilidades multivariadas de rectángulos normales y sus derivadas. Resultados teóricos y computacionales". Journal of Econometrics . 72 (1–2): 85–134. doi : 10.1016/0304-4076(94)01716-6 .
7. Thurstone, Louis Leon (1927). "Una ley del juicio comparativo". Psychological Review . 34 (4): 273–286. doi :10.1037/h0070288.Reimpreso: Thurstone, LL (1994). "Una ley de juicio comparativo". Psychological Review . 101 (2): 266–270. doi :10.1037/0033-295X.101.2.266.
8. Durlach, NI; Braida, LD (1969). "Percepción de la intensidad. I. Teoría preliminar de la resolución de la intensidad". Revista de la Sociedad Acústica de América . 46 (2): 372–383. Bibcode :1969ASAJ...46..372D. doi :10.1121/1.1911699. PMID  5804107.
9. Dessirier, Jean-Marc; O'Mahony, Michael (9 de octubre de 1998). "Comparación de los valores d′ para los métodos de discriminación 2-AFC (comparación por pares) y 3-AFC: modelos thurstonianos, análisis de sensibilidad secuencial y potencia". Calidad y preferencia alimentaria . 10 (1): 51–58. doi :10.1016/S0950-3293(98)00037-8.
10. Frijter, JER (1980). "Procedimientos de tres estímulos en psicofísica olfativa: una comparación experimental de los modelos de Thurstone-Ura y de elección forzada de tres alternativas de la teoría de detección de señales". Percepción y psicofísica . 28 (5): 390–7. doi : 10.3758/BF03204882 . PMID  7208248.
11. Gridgement, NT (1970). "Un nuevo examen de la prueba triangular de dos etapas para la percepción de las diferencias sensoriales". Revista de ciencia de los alimentos . 35 (1): 87–91. doi :10.1111/j.1365-2621.1970.tb12376.x.
12. Frijters, JER (1979). "La paradoja de los no discriminadores discriminatorios resuelta". Chemical Senses & Flavor . 4 (4): 355–8. doi :10.1093/chemse/4.4.355.