Integrador geométrico

Campo matemático de ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas

En el campo matemático de ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas , un integrador geométrico es un método numérico que preserva las propiedades geométricas del flujo exacto de una ecuación diferencial.

Ejemplo de péndulo

Podemos motivar el estudio de los integradores geométricos considerando el movimiento de un péndulo .

Supongamos que tenemos un péndulo cuyo cuerpo tiene masa y cuya varilla no tiene masa y su longitud es . Supongamos que la aceleración debida a la gravedad es . Denotemos por el desplazamiento angular de la varilla desde la vertical y por el momento del péndulo. El hamiltoniano del sistema, la suma de sus energías cinética y potencial , es ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \ell =1}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle p(t)}$

${\displaystyle H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac {1}{2}}p^{2}-\cos q,}$

lo que da las ecuaciones de Hamilton

${\displaystyle ({\dot {q}},{\dot {p}})=(\partial H/\partial p,-\partial H/\partial q)=(p,-\sin q).\,}$

Es natural tomar el espacio de configuración de todos como el círculo unitario , de modo que se encuentra en el cilindro . Sin embargo, tomaremos , simplemente porque el espacio -es más fácil de representar gráficamente. Definamos y . Experimentemos usando algunos métodos numéricos simples para integrar este sistema. Como es habitual, seleccionamos un tamaño de paso constante, , y para un entero no negativo arbitrario escribimos . Usamos los siguientes métodos. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (q,p)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z_{k}:=z(kh)}$

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k})\,}$( Euler explícito ),

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k+1})\,}$( Euler implícito ),

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(q_{k},p_{k+1})\,}$( Euler simpléctico ),

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf((z_{k+1}+z_{k})/2)\,}$(regla del punto medio implícita).

(Nótese que el método de Euler simpléctico trata q mediante el método de Euler explícito e implícito). ${\displaystyle p}$

La observación de que es constante a lo largo de las curvas solución de las ecuaciones de Hamilton nos permite describir las trayectorias exactas del sistema: son las curvas de nivel de . Trazamos, en , las trayectorias exactas y las soluciones numéricas del sistema. Para los métodos de Euler explícito e implícito tomamos , y z ₀  = (0,5, 0) y (1,5, 0) respectivamente; para los otros dos métodos tomamos , y z ₀  = (0, 0,7), (0, 1,4) y (0, 2,1). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p^{2}/2-\cos q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle h=0.2}$ ${\displaystyle h=0.3}$

Péndulo simple: trayectorias

El método de Euler explícito (o implícito) se desarrolla en espiral desde el origen (o hacia el origen). Los otros dos métodos muestran el comportamiento cualitativo correcto, ya que la regla del punto medio implícito coincide con la solución exacta en mayor medida que el método de Euler simpléctico.

Recuerde que el flujo exacto de un sistema hamiltoniano con un grado de libertad preserva el área, en el sentido de que ${\displaystyle \phi _{t}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial \phi _{t}}{\partial (q_{0},p_{0})}}=1}$Para todos . ${\displaystyle t}$

Esta fórmula se puede verificar fácilmente a mano. En nuestro ejemplo del péndulo, vemos que el flujo numérico del método explícito de Euler no preserva el área; es decir, ${\displaystyle \Phi _{{\mathrm {eE} },h}:z_{k}\mapsto z_{k+1}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {eE} },h}(z_{0})={\begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.}$

Se puede realizar un cálculo similar para el método de Euler implícito, donde el determinante es

${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {iE} },h}(z_{0})=(1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.}$

Sin embargo, el método de Euler simpléctico preserva el área:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE} },h}(z_{0})={\begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},}$

Por lo tanto , la regla del punto medio implícita tiene propiedades geométricas similares. ${\displaystyle \det(\partial \Phi _{{\mathrm {sE} },h}/\partial (q_{0},p_{0}))=1}$

En resumen: el ejemplo del péndulo muestra que, además de que los métodos de Euler explícitos e implícitos no son buenas opciones para resolver el problema, el método de Euler simpléctico y la regla del punto medio implícita concuerdan bien con el flujo exacto del sistema, y ​​la regla del punto medio concuerda más estrechamente. Además, estos dos últimos métodos preservan el área, al igual que el flujo exacto; son dos ejemplos de integradores geométricos (de hecho, simplécticos ).

Método de marco móvil

El método del marco móvil se puede utilizar para construir métodos numéricos que preserven las simetrías de Lie de la EDO. Los métodos existentes, como el de Runge-Kutta, se pueden modificar utilizando el método del marco móvil para producir versiones invariantes. ^[1]

Véase también

• Deriva energética
• Mímesis (matemáticas)

Referencias

1. Pilwon Kim (2006), "Invariantización de esquemas numéricos utilizando marcos móviles"

Lectura adicional

• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2002). Integración numérica geométrica: algoritmos que preservan la estructura para ecuaciones diferenciales ordinarias . Springer-Verlag. ISBN 3-540-43003-2.
• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005). Simulación de dinámica hamiltoniana . Cambridge University Press. ISBN 0-521-77290-7.
• Budd, CJ; Piggott, MD (2003). "Integración geométrica y sus aplicaciones". Manual de análisis numérico. Vol. 11. Elsevier. págs. 35–139. doi :10.1016/S1570-8659(02)11002-7. ISBN 9780444512475.
• Kim, Pilwon (2007). "Invariantización de esquemas numéricos utilizando marcos móviles". BIT Numerical Mathematics. Vol. 47, núm. 3. Springer. págs. 525–546. doi :10.1007/s10543-007-0138-8.