Cono de potencia

En álgebra lineal , un cono de potencia es un tipo de cono convexo que es particularmente importante para modelar problemas de optimización convexa . ^{[1] [2]} Es una generalización del cono cuadrático : el cono cuadrático se define usando una ecuación cuadrática (con la potencia 2), mientras que un cono de potencia se puede definir usando cualquier potencia, no necesariamente 2.

Definición

El cono de potencia n -dimensional está parametrizado por un número real y se define como: ^[1] ${\displaystyle 0<r<1}$

${\displaystyle P_{n,r,1-r}:=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:~~x_{1}\geq 0,~~x_{2}\geq 0,~~x_{1}^{r}\cdot x_{2}^{1-r}\geq {\sqrt {x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\right\}}$

Una definición alternativa es

${\displaystyle P_{r,1-r}:=\left\{\mathbf {x_{1},x_{2},x_{3}} :~~x_{1}\geq 0,~~x_{2}\geq 0,~~x_{1}^{r}\cdot x_{2}^{1-r}\geq |x_{3}|\right\}}$

Aplicaciones

La principal aplicación del cono de potencia es en las restricciones de los programas de optimización convexa . Hay muchos problemas que pueden describirse como la minimización de una función convexa sobre un cono de potencia. ^[1]

Referencias

1. "Libro de cocina de modelado MOSEK - los conos de potencia".
2. Nesterov, Yurii (2006). Hacia la optimización cónica no simétrica .