Fórmula característica de Euler local

En el campo matemático de la cohomología de Galois , la fórmula característica de Euler local es un resultado debido a John Tate que calcula la característica de Euler de la cohomología de grupo del grupo de Galois absoluto G _K de un cuerpo local no arquimediano K.

Declaración

Sea K un cuerpo local no arquimediano, sea K ^s una clausura separable de K , sea G _K  = Gal( K ^s / K ) el grupo de Galois absoluto de K , y sea H ⁱ ( K ,  M ) la cohomología de grupo de G _K con coeficientes en M . Puesto que la dimensión cohomológica de G _K es dos, ^[1] H ⁱ ( K ,  M ) = 0 para i  ≥ 3. Por lo tanto, la característica de Euler solo involucra a los grupos con i  = 0, 1, 2.

Caso de módulos finitos

Sea M un módulo G K de orden finito m . La característica de Euler de M se define como ^[2]

${\displaystyle \chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{2}(K,M)}{\#H^{1}(K,M)}}}$

(los i -ésimos grupos de cohomología para i  ≥ 3 aparecen tácitamente ya que sus tamaños son todos uno).

Sea R el anillo de números enteros de K. El resultado de Tate establece entonces que si m es relativamente primo con respecto a la característica de K , entonces ^[3]

${\displaystyle \chi (G_{K},M)=\left(\#R/mR\right)^{-1},}$

es decir, el inverso del orden del anillo cociente R / mR .

Dos casos especiales que vale la pena destacar son los siguientes. Si el orden de M es relativamente primo con respecto a la característica del cuerpo de residuos de K , entonces la característica de Euler es uno. Si K es una extensión finita de los números p -ádicos Q _p , y si v _p denota la valoración p -ádica , entonces

${\displaystyle \chi (G_{K},M)=p^{-[K:\mathbf {Q} _{p}]v_{p}(m)}}$

donde [ K : Q _p ] es el grado de K sobre Q _p .

La característica de Euler se puede reescribir, utilizando la dualidad de Tate local , como

${\displaystyle \chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{0}(K,M^{\prime })}{\#H^{1}(K,M)}}}$

donde M ^′ es el dual de Tate local de M .

Notas

1. Serre 2002, §II.4.3
2. La característica de Euler en una teoría de cohomología se escribe normalmente como una suma alternada de los tamaños de los grupos de cohomología. En este caso, el producto alternado es más estándar.
3. Milne 2006, Teorema I.2.8

Referencias

• Milne, James S. (2006), Teoremas de dualidad aritmética (segunda ed.), Charleston, SC: BookSurge, LLC, ISBN 1-4196-4274-X, MR  2261462 , consultado el 27 de marzo de 2010
• Serre, Jean-Pierre (2002), Cohomología de Galois , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4, Sr.  1867431, traducción de Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).