Teoría de Littlewood-Paley

En el análisis armónico , un campo dentro de las matemáticas, la teoría de Littlewood-Paley es un marco teórico utilizado para extender ciertos resultados sobre funciones L 2 a funciones L p para 1 <  p  < ∞. Se utiliza típicamente como sustituto de argumentos de ortogonalidad que solo se aplican a funciones L ^p cuando p  = 2. Una implementación implica estudiar una función descomponiéndola en términos de funciones con frecuencias localizadas y utilizando la función g de Littlewood-Paley para compararla con su integral de Poisson . El caso de 1 variable fue originado por JE Littlewood y R. Paley  (1931, 1937, 1938) y desarrollado aún más por los matemáticos polacos A. Zygmund y J. Marcinkiewicz en la década de 1930 utilizando la teoría de funciones complejas (Zygmund 2002, capítulos XIV, XV). EM Stein luego extendió la teoría a dimensiones superiores utilizando técnicas de variables reales.

La descomposición diádica de una función

La teoría de Littlewood-Paley utiliza una descomposición de una función f en una suma de funciones f _ρ con frecuencias localizadas. Existen varias formas de construir dicha descomposición; un método típico es el siguiente.

Si f(x) es una función en R , y ρ es un conjunto medible (en el espacio de frecuencia) con función característica , entonces f _ρ se define a través de su transformada de Fourier ${\displaystyle \chi _{\rho }(\xi )}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{\rho }:=\chi _{\rho }{\hat {f}}}$.

De manera informal, f _ρ es la parte de f cuyas frecuencias se encuentran en  ρ .

Si Δ es una colección de conjuntos medibles que (hasta la medida 0) son disjuntos y tienen unión en la línea real, entonces una función f con buen comportamiento puede escribirse como una suma de funciones f _ρ para ρ  ∈ Δ.

Cuando Δ consta de los conjuntos de la forma

${\displaystyle \rho =[-2^{k+1},-2^{k}]\cup [2^{k},2^{k+1}].}$

para k un entero, esto da una denominada "descomposición diádica" de f  : Σ _ρ  f _ρ .

Hay muchas variaciones de esta construcción; por ejemplo, la función característica de un conjunto utilizada en la definición de f _ρ puede reemplazarse por una función más suave.

Una estimación clave de la teoría de Littlewood-Paley es el teorema de Littlewood-Paley, que limita el tamaño de las funciones f _ρ en términos del tamaño de f . Hay muchas versiones de este teorema que corresponden a las diferentes formas de descomponer f . Una estimación típica es limitar la norma L ^{p de (Σ} _ρ | f _ρ | ² ) ^1/2 por un múltiplo de la norma  L ^p de f .

En dimensiones superiores es posible generalizar esta construcción sustituyendo los intervalos por rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Desafortunadamente, se trata de conjuntos bastante especiales, lo que limita las aplicaciones a dimensiones superiores.

El Littlewood-Paleygramofunción

La función g es un operador no lineal en L ^p ( R ⁿ ) que se puede utilizar para controlar la norma L ^p de una función f en términos de su integral de Poisson . La integral de Poisson u ( x , y ) de f se define para y  > 0 por

${\displaystyle u(x,y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}P_{y}(t)f(x-t)\,dt}$

donde el núcleo de Poisson P en la mitad superior del espacio está dado por ${\displaystyle \{(y;x)\in \mathbf {R} ^{n+1}\mid y>0\}}$

${\displaystyle P_{y}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi it\cdot x-2\pi |t|y}\,dt={\frac {\Gamma ((n+1)/2)}{\pi ^{(n+1)/2}}}{\frac {y}{(|x|^{2}+y^{2})^{(n+1)/2}}}.}$

La función g de Littlewood–Paley g ( f ) se define por

${\displaystyle g(f)(x)=\left(\int _{0}^{\infty }|\nabla u(x,y)|^{2}y\,dy\right)^{1/2}}$

Una propiedad básica de g es que conserva aproximadamente las normas. Más precisamente, para 1 <  p  < ∞, la relación de las L ^p normas de f y g ( f ) está limitada por arriba y por abajo por constantes positivas fijas que dependen de n y p pero no de  f .

Aplicaciones

Una de las primeras aplicaciones de la teoría de Littlewood-Paley fue la prueba de que si S _n son las sumas parciales de las series de Fourier de una función periódica L ^p ( p  > 1) y n _j es una secuencia que satisface n _{j +1} / n _j > q para algún q  > 1 fijo, entonces la secuencia S _{n j} converge casi en todas partes. Esto fue reemplazado posteriormente por el teorema de Carleson-Hunt que muestra que S _n converge en sí mismo casi en todas partes.

La teoría de Littlewood-Paley también se puede utilizar para demostrar el teorema del multiplicador de Marcinkiewicz .

Referencias

• Coifman, RR; Weiss, Guido (1978), "Reseña de libro: Littlewood-Paley y la teoría de multiplicadores", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 84 (2): 242–250, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14464-4 , ISSN  0002-9904, MR  1567040
• Edwards, RE; Gaudry, GI (1977), Littlewood-Paley y la teoría del multiplicador , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-07726-8, Sr.  0618663
• Frazier, Michael; Jawerth, Björn; Weiss, Guido (1991), Teoría de Littlewood-Paley y el estudio de espacios funcionales , Serie de conferencias regionales de matemáticas del CBMS, vol. 79, publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, doi : 10.1090/cbms/079 , ISBN 978-0-8218-0731-6, Sr.  1107300
• Littlewood, JE; Paley, REAC (1931), "Teoremas sobre series de Fourier y series de potencias", J. London Math. Soc. , 6 (3): 230–233, doi :10.1112/jlms/s1-6.3.230
• Littlewood, JE; Paley, REAC (1937), "Teoremas sobre series de Fourier y series de potencias (II)", Proc. London Math. Soc. , 42 (1): 52–89, doi :10.1112/plms/s2-42.1.52
• Littlewood, JE; Paley, REAC (1938), "Teoremas sobre series de Fourier y series de potencias (III)", Proc. London Math. Soc. , 43 (2): 105–126, doi :10.1112/plms/s2-43.2.105
• Stein, Elias M. (1970), Temas de análisis armónico relacionados con la teoría de Littlewood-Paley., Annals of Mathematics Studies, n.º 63, Princeton University Press , MR  0252961
• Zygmund, A. (2002) [1935], Series trigonométricas. Vol. I, II , Cambridge Mathematical Library (3.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-89053-3, Sr.  1963498