Las leyes del movimiento de Euler

Extender las leyes del movimiento de Newton a cuerpos rígidos.

En la mecánica clásica , las leyes de movimiento de Euler son ecuaciones de movimiento que extienden las leyes de movimiento de Newton para el movimiento de partículas puntuales a cuerpos rígidos . ^[1] Fueron formuladas por Leonhard Euler unos 50 años después de que Isaac Newton formulara sus leyes.

Descripción general

La primera ley de Euler

La primera ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento lineal p de un cuerpo rígido es igual a la resultante de todas las fuerzas externas F _ext que actúan sobre el cuerpo: ^[2]

${\displaystyle F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.}$

Las fuerzas internas entre las partículas que forman un cuerpo no contribuyen a cambiar el momento del cuerpo, ya que hay una fuerza igual y opuesta que no produce ningún efecto neto. ^[3]

El momento lineal de un cuerpo rígido es el producto de la masa del cuerpo por la velocidad de su centro de masa v _cm . ^{[1] [4] [5]}

Segunda ley de Euler

La segunda ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento angular L alrededor de un punto que está fijo en un sistema de referencia inercial (a menudo el centro de masa del cuerpo), es igual a la suma de los momentos externos de fuerza ( torques ) que actúan en ese cuerpo M sobre ese punto: ^{[1] [4] [5]}

${\displaystyle \mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}.}$

Tenga en cuenta que la fórmula anterior es válida sólo si tanto M como L se calculan con respecto a un sistema inercial fijo o un sistema paralelo al sistema inercial pero fijo en el centro de masa. Para cuerpos rígidos que se trasladan y giran en sólo dos dimensiones, esto se puede expresar como: ^[6]

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},}$

dónde:

• r _cm es el vector de posición del centro de masa del cuerpo con respecto al punto alrededor del cual se suman los momentos,
• un _cm es la aceleración lineal del centro de masa del cuerpo,
• m es la masa del cuerpo,
• α es la aceleración angular del cuerpo, y
• I es el momento de inercia del cuerpo respecto de su centro de masa.

Véanse también las ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos) .

Explicación y derivación

La distribución de fuerzas internas en un cuerpo deformable no es necesariamente igual en todas partes, es decir, las tensiones varían de un punto a otro. Esta variación de las fuerzas internas en todo el cuerpo se rige por la segunda ley del movimiento de Newton de conservación del momento lineal y del momento angular , que para su uso más simple se aplican a una partícula de masa pero se extienden en la mecánica continua a un cuerpo de masa continuamente distribuida. Para los cuerpos continuos estas leyes se denominan leyes del movimiento de Euler . ^[7]

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo con masa m , densidad de masa ρ y volumen V , es la integral de volumen integrada sobre el volumen del cuerpo:

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$

donde b es la fuerza que actúa sobre el cuerpo por unidad de masa ( dimensiones de aceleración, engañosamente llamada "fuerza corporal"), y dm = ρ dV es un elemento de masa infinitesimal del cuerpo.

Las fuerzas corporales y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo conducen a momentos correspondientes ( momentos de torsión ) de esas fuerzas con respecto a un punto determinado. Por lo tanto, el par total aplicado M alrededor del origen está dado por

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}}$

donde M _B y M _C indican respectivamente los momentos causados ​​por el cuerpo y las fuerzas de contacto.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) que actúan sobre el cuerpo se puede dar como la suma de una integral de volumen y superficie :

${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.}$

donde t = t ( n ) se llama tracción superficial , integrada sobre la superficie del cuerpo, a su vez n denota un vector unitario normal y dirigido hacia afuera a la superficie S.

Sea el sistema de coordenadas ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) un sistema de referencia inercial , r sea el vector de posición de una partícula puntual en el cuerpo continuo con respecto al origen del sistema de coordenadas, y v = ⁠dr​/dt⁠ sea el vector velocidad de ese punto.

El primer axioma o ley de Euler (ley del equilibrio del momento lineal o equilibrio de fuerzas) establece que en un sistema inercial la tasa de cambio temporal del momento lineal p de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual a la fuerza total aplicada F que actúa sobre esa porción, y se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$

El segundo axioma o ley de Euler (ley del equilibrio del momento angular o equilibrio de pares) establece que en un sistema inercial la tasa de cambio temporal del momento angular L de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual al par total aplicado M que actúa sobre esa porción, y se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$

donde es la velocidad, el volumen y las derivadas de p y L son derivadas materiales . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$

Ver también

• Lista de temas que llevan el nombre de Leonhard Euler
• Leyes de Euler de rotaciones de cuerpos rígidos.
• Ecuaciones de movimiento de Newton-Euler con 6 componentes, que combinan las dos leyes de Euler en una sola ecuación.

Referencias

1. McGill y King (1995). Mecánica de ingeniería, introducción a la dinámica (3ª ed.). Compañía editorial PWS. ISBN 0-534-93399-8.
2. Ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido. Consultado el 6 de junio de 2021.
3. Gris, Gary L.; Costanzo, Plesha (2010). Ingeniería Mecánica: Dinámica . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9.
4. Leyes del movimiento de Euler . Consultado el 30 de marzo de 2009 .
5. Rao, Anil Vithala (2006). Dinámica de partículas y cuerpos rígidos. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 355.ISBN​ 978-0-521-85811-3.
6. Ruina, Andy; Rudra Pratap (2002). Introducción a la Estática y la Dinámica (PDF) . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 771 . Consultado el 18 de octubre de 2011 .
7. Lubliner, Jacob (2008). Teoría de la plasticidad (PDF) (Ed. revisada). Publicaciones de Dover. págs. 27-28. ISBN 978-0-486-46290-5. Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2010.