Ley de la expectativa total

Proposición en teoría de la probabilidad

La proposición en teoría de probabilidad conocida como ley de la expectativa total , ^[1] ley de expectativas iteradas ^[2] ( LIE ), ley de Adán , ^[3] regla de la torre , ^[4] y teorema de suavizado , ^[5] entre otros nombres, establece que si es una variable aleatoria cuyo valor esperado está definido, y es cualquier variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}$

es decir, el valor esperado del valor esperado condicional de dado es el mismo que el valor esperado de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

El valor esperado condicional , con una variable aleatoria, no es un simple número; es una variable aleatoria cuyo valor depende del valor de . Es decir, el valor esperado condicional de dado el evento es un número y es una función de . Si escribimos para el valor de entonces la variable aleatoria es . ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g(y)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)}$ ${\displaystyle g(Y)}$

Un caso especial establece que si es una partición finita o contable del espacio muestral , entonces ${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Ejemplo

Supongamos que sólo dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de la fábrica funcionan durante un promedio de 5000 horas, mientras que las de la fábrica funcionan durante un promedio de 4000 horas. Se sabe que la fábrica suministra el 60% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es el tiempo esperado de funcionamiento de una bombilla comprada? ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Aplicando la ley de la expectativa total, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}}$

dónde

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$es la vida útil esperada de la bombilla;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada en fábrica ; ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada en fábrica ; ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$es la vida útil esperada de una bombilla fabricada por ; ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$es la vida útil esperada de una bombilla fabricada por . ${\displaystyle Y}$

Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene una vida útil esperada de 4.600 horas.

Prueba informal

Cuando una función de densidad de probabilidad conjunta está bien definida y las expectativas son integrables , escribimos para el caso general Una derivación similar funciona para distribuciones discretas utilizando suma en lugar de integración. Para el caso específico de una partición, dé a cada celda de la partición una etiqueta única y deje que la variable aleatoria Y sea la función del espacio muestral que asigna la etiqueta de una celda a cada punto de esa celda. $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\int x\Pr[X=x]~dx\\\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\\\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y))&=\int \left(\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\right)\Pr[Y=y]~dy\\&=\int \int x\Pr[X=x,Y=y]~dx~dy\\&=\int x\left(\int \Pr[X=x,Y=y]~dy\right)~dx\\&=\int x\Pr[X=x]~dx\\&=\operatorname {E} (X)\,.\end{aligned}}}$$

Prueba en el caso general

Sea un espacio de probabilidad en el que se definen dos subσ -álgebras . Para una variable aleatoria en dicho espacio, la ley de suavizado establece que si está definida, es decir , entonces ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.}$

Demostración . Dado que una expectativa condicional es una derivada de Radon-Nikodym , la verificación de las dos propiedades siguientes establece la ley de suavizado:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}}$- medible
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} ,}$a pesar de ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

La primera de estas propiedades se cumple por definición de la esperanza condicional. Para demostrar la segunda,

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

Entonces la integral está definida (no es igual a ). ${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

La segunda propiedad se cumple, pues, ya que implica ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} .}$

Corolario. En el caso especial cuando y , la ley de suavizado se reduce a ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Prueba alternativa para ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Esta es una consecuencia simple de la definición de expectativa condicional basada en la teoría de la medida . Por definición, es una variable aleatoria medible que satisface ${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]}$ ${\displaystyle \sigma (Y)}$

${\displaystyle \int _{A}\operatorname {E} [X\mid Y]\,d\operatorname {P} =\int _{A}X\,d\operatorname {P} ,}$

para cada conjunto medible . Tomando esto se comprueba la afirmación. ${\displaystyle A\in \sigma (Y)}$ ${\displaystyle A=\Omega }$

Véase también

• El teorema fundamental del póquer para una aplicación práctica.
• Ley de probabilidad total
• Ley de varianza total
• Ley de covarianza total
• Ley de acumulación total
• Distribución del producto#expectativa (aplicación de la Ley para demostrar que la expectativa del producto es producto de las expectativas)

Referencias

1. Weiss, Neil A. (2005). Un curso de probabilidad. Boston: Addison–Wesley. págs. 380–383. ISBN 0-321-18954-X.
2. "Ley de la expectativa iterada | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Consultado el 28 de marzo de 2018 .
3. "Las leyes de Adán y Eva". Leyes de Adán y Eva (aplicación Shiny) . 2024-09-15 . Consultado el 2022-09-15 .
4. Rhee, Chang-han (20 de septiembre de 2011). «Probabilidad y Estadística» (PDF) .
5. Wolpert, Robert (18 de noviembre de 2010). "Expectativa condicional" (PDF) .

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.(Teorema 34.4)
• Christopher Sims , "Notas sobre variables aleatorias, expectativas, densidades de probabilidad y martingalas", especialmente las ecuaciones (16) a (18)