Lema de Schreier

En matemáticas, el lema de Schreier es un teorema de la teoría de grupos utilizado en el algoritmo de Schreier-Sims y también para encontrar una presentación de un subgrupo .

Declaración

Supongamos que es un subgrupo de , que se genera de forma finita con el conjunto generador , es decir, . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$

Sea una transversal derecha de in . En otras palabras, es (la imagen de) una sección del mapa de cocientes , donde denota el conjunto de clases laterales derechas de in . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G\to H\backslash G}$ ${\displaystyle H\backslash G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

La definición se realiza dado que , es el representante elegido en la transversal de la clase lateral , es decir, ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\overline {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Hg}$

${\displaystyle g\in H{\overline {g}}.}$

Entonces es generado por el conjunto ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \{rs({\overline {rs}})^{-1}|r\in R,s\in S\}.}$

Por lo tanto, en particular, el lema de Schreier implica que cada subgrupo de índice finito de un grupo finitamente generado es nuevamente generado finitamente.

Ejemplo

El grupo Z ₃ = Z /3 Z es cíclico. Según el teorema de Cayley , Z ₃ es un subgrupo del grupo simétrico S ₃ . Ahora,

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{e,(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}}$

${\displaystyle S_{3}=\{e,(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}}$

¿ Dónde está la permutación de identidad? Nota S ₃ = { s ₁ = (1 2), s ₂ = (1 2 3) } . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \scriptstyle \langle }$ ${\displaystyle \scriptstyle \rangle }$

Z ₃ tiene solo dos clases laterales, Z ₃ y S ₃ \ Z ₃ , por lo que seleccionamos la transversal { t ₁ = e , t ₂ =(1 2) }, y tenemos

${\displaystyle {\begin{matrix}t_{1}s_{1}=(1\ 2),&\quad {\text{so}}\quad &{\overline {t_{1}s_{1}}}=(1\ 2)\\t_{1}s_{2}=(1\ 2\ 3),&\quad {\text{so}}\quad &{\overline {t_{1}s_{2}}}=e\\t_{2}s_{1}=e,&\quad {\text{so}}\quad &{\overline {t_{2}s_{1}}}=e\\t_{2}s_{2}=(2\ 3),&\quad {\text{so}}\quad &{\overline {t_{2}s_{2}}}=(1\ 2).\\\end{matrix}}}$

Finalmente,

${\displaystyle t_{1}s_{1}{\overline {t_{1}s_{1}}}^{-1}=e}$

${\displaystyle t_{1}s_{2}{\overline {t_{1}s_{2}}}^{-1}=(1\ 2\ 3)}$

${\displaystyle t_{2}s_{1}{\overline {t_{2}s_{1}}}^{-1}=e}$

${\displaystyle t_{2}s_{2}{\overline {t_{2}s_{2}}}^{-1}=(1\ 2\ 3).}$

Así, por el lema de subgrupos de Schreier, { e, (1 2 3) } genera Z ₃ , pero tener la identidad en el conjunto generador es redundante, por lo que se puede eliminar para obtener otro conjunto generador para Z ₃ , { (1 2 3 ) } (como se esperaba).

Referencias

• Seress, A. Algoritmos de grupos de permutación. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2002.