Lema de Švarc-Milnor

En el tema matemático de la teoría geométrica de grupos , el lema de Švarc-Milnor (a veces también llamado lema de Milnor-Švarc , con ambas variantes a veces también deletreando Švarc como Schwarz) es una afirmación que dice que un grupo , equipado con un "bonito" isométrico discreto La acción en un espacio métrico es cuasi- isométrica . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Este resultado se remonta, en forma diferente, antes de que se introdujera formalmente la noción de cuasiisometría , al trabajo de Albert S. Schwarz (1955) ^[1] y John Milnor (1968). ^[2] Pierre de la Harpe llamó al lema de Švarc-Milnor "la observación fundamental en la teoría de grupos geométricos " ^[3] debido a su importancia para el tema. Ocasionalmente, ahora se utiliza el nombre "observación fundamental en la teoría de grupos geométricos" para esta afirmación, en lugar de llamarla lema de Švarc-Milnor; véase, por ejemplo, el teorema 8.2 del libro de Farb y Margalit. ^[4]

declaración precisa

En la literatura existen varias variaciones menores del enunciado del lema (consulte la sección de Notas a continuación). Aquí seguimos la versión dada en el libro de Bridson y Haefliger (ver Proposición 8.19 en la p. 140 allí). ^[5]

Sea un grupo que actúa por isometrías en un espacio de longitud adecuado tal que la acción sea propiamente discontinua y cocompacta . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Entonces el grupo se genera de forma finita y para cada conjunto generador finito de y cada punto el mapa de órbita ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in X}$

${\displaystyle f_{p}:(G,d_{S})\to X,\quad g\mapsto gp}$

es una cuasi-isometría .

Aquí está la palabra métrica correspondiente a . ${\displaystyle d_{S}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

A veces, una acción isométrica cocompacta propiamente discontinua de un grupo en un espacio métrico geodésico adecuado se denomina acción geométrica . ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Explicación de los términos.

Recuerde que un espacio métrico es propio si cada bola cerrada es compacta . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Una acción de on es propiamente discontinua si por cada compacto el conjunto ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle \{g\in G\mid gK\cap K\neq \varnothing \}}$

es finito.

La acción de on es cocompacta si el espacio cociente , equipado con la topología del cociente , es compacto. Según los demás supuestos del lema de Švarc-Milnor, la condición de cocompacidad es equivalente a la existencia de una bola cerrada de tal manera que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigcup _{g\in G}gB=X.}$

Ejemplos de aplicaciones del lema de Švarc-Milnor

Para los ejemplos 1 a 5 siguientes, consulte las páginas 89 y 90 del libro de de la Harpe. ^[3] El ejemplo 6 es el punto de partida de la parte del artículo de Richard Schwartz . ^[7]

1. Para cada uno, el grupo es cuasi isométrico al espacio euclidiano . ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
2. Si es una superficie orientada cerrada y conectada de característica de Euler negativa , entonces el grupo fundamental es casi isométrico con respecto al plano hiperbólico . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$
3. Si es una variedad suave conectada cerrada con una métrica de Riemann suave , entonces es cuasi-isométrica , donde está la cubierta universal de , donde está el retroceso de y donde está la métrica de trayectoria definida por la métrica de Riemann . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle ({\tilde {M}},d_{\tilde {g}})}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle d_{\tilde {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}}$
4. Si es un grupo de Lie de dimensión finita conectado equipado con una métrica de Riemann invariante a la izquierda y la métrica de ruta correspondiente, y si es una red uniforme, entonces es cuasi-isométrica . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \leq G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$
5. Si es una variedad 3 hiperbólica cerrada, entonces es casi isométrica para . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$
6. Si es una variedad 3 hiperbólica de volumen finito completa con cúspides, entonces es cuasi isométrica , donde hay una cierta colección invariante de horoballs y donde está equipada con la métrica de trayectoria inducida. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {H} ^{3}-{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Omega }$

Referencias

1. AS Švarc, Una invariante de volumen de coberturas (en ruso) , Doklady Akademii Nauk SSSR , vol. 105, 1955, págs. 32-34.
2. J. Milnor, Una nota sobre la curvatura y el grupo fundamental , Journal of Differential Geometry , vol. 2, 1968, págs. 1 a 7
3. Pierre de la Harpe, Temas de teoría de grupos geométricos . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago, Chicago, IL, 2000. ISBN  0-226-31719-6 ; pag. 87
4. Benson Farb y Dan Margalit, Introducción al mapeo de grupos de clases. Serie Matemática de Princeton, 49. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9 ; pag. 224 
5. MR Bridson y A. Haefliger, Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 319. Springer-Verlag, Berlín, 1999. ISBN 3-540-64324-9 
6. I. Kapovich y N. Benakli, Límites de grupos hiperbólicos. Teoría de grupos combinatoria y geométrica (Nueva York, 2000/Hoboken, Nueva Jersey, 2001), págs. 39–93, Contemp. Math., 296, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI, 2002, ISBN 0-8218-2822-3 ; Convenio 2.22 en la pág. 46 
7. Richard Schwartz , La clasificación cuasi-isométrica de redes de rango uno , Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, vol. 82, 1995, págs. 133-168