En matemáticas , especialmente en álgebra homológica y otras aplicaciones de la teoría de categorías abelianas , el lema de los cinco cortos es un caso especial del lema de los cinco . Afirma que para el siguiente diagrama conmutativo (en cualquier categoría abeliana o en la categoría de grupos ), si las filas son secuencias exactas cortas y si g y h son isomorfismos , entonces f también es un isomorfismo.
Se sigue inmediatamente del quinto lema .
La esencia del lema se puede resumir de la siguiente manera: si se tiene un homomorfismo f de un objeto B a un objeto B ′ , y este homomorfismo induce un isomorfismo de un subobjeto A de B a un subobjeto A ′ de B ′ y también un isomorfismo del objeto factor B / A a B ′ / A ′ , entonces f en sí mismo es un isomorfismo. Sin embargo, tenga en cuenta que la existencia de f (tal que el diagrama conmuta) tiene que asumirse desde el principio; dos objetos B y B ′ que simplemente tienen objetos sub- y factoriales isomorfos no necesitan ser ellos mismos isomorfos (por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos , B podría ser el grupo cíclico de orden cuatro y B ′ el cuatro-grupo de Klein ).