Lápiz Lefschetz

En matemáticas , un lápiz de Lefschetz es una construcción en geometría algebraica considerada por Solomon Lefschetz , utilizada para analizar la topología algebraica de una variedad algebraica . ${\displaystyle V}$

Descripción

Un lápiz es un tipo particular de sistema lineal de divisores en , es decir, una familia de un parámetro, parametrizada por la línea proyectiva . Esto significa que en el caso de una variedad algebraica compleja , un lápiz de Lefschetz es algo así como una fibración sobre la esfera de Riemann ; pero con dos salvedades sobre la singularidad. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

El primer punto surge si asumimos que se da como una variedad proyectiva , y los divisores en son secciones de hiperplanos . Supongamos que se dan hiperplanos y , que abarcan el lápiz — en otras palabras, se da por y por para formas lineales y , y la sección general del hiperplano se interseca con ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L=0}$ ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle L'=0}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L'}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lambda L+\mu L^{\prime }=0.\ }$

Entonces la intersección de con ; tiene codimensión dos. Hay una aplicación racional ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H'}$

${\displaystyle V\rightarrow P^{1}\ :\ p\mapsto \left[L'(p):-L(p)\right]}$

que de hecho está bien definido solo fuera de los puntos en la intersección de con . Para hacer una aplicación bien definida, se debe aplicar cierta expansión a . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

El segundo punto es que las fibras pueden "degenerarse" y adquirir puntos singulares (donde se aplica el lema de Bertini , la sección general del hiperplano será suave). Un lápiz de Lefschetz restringe la naturaleza de las singularidades adquiridas, de modo que la topología pueda analizarse mediante el método del ciclo de desaparición . Se requiere que las fibras con singularidades tengan una singularidad cuadrática única solamente. ^[1]

Se ha demostrado que los lápices de Lefschetz existen en la característica cero . Se aplican de manera similar, pero más complicada, que las funciones de Morse en variedades suaves . También se ha demostrado que los lápices de Lefschetz existen en la característica p para la topología étale.

Simon Donaldson ha encontrado un papel para los lápices de Lefschetz en la topología simpléctica , lo que ha llevado a un interés de investigación más reciente en ellos.

Véase también

• Teoría de Picard-Lefschetz

Referencias

• Donaldson, Simon K. (1998). "Fibraciones de Lefschetz en geometría simpléctica". Documenta Mathematica (Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II (Berlín, 1998)). Volumen extra II: 309–314. MR  1648081.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca Wiley Classics. Wiley Interscience. pág. 509. ISBN 0-471-05059-8.

Notas

1. "Transformación de monodromía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Enlaces externos

• Gompf, Robert (2005). "¿Qué es un lápiz Lefschetz?" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 52 (8).
• Gompf, Robert (2001). "La topología de las variedades simplécticas" (PDF) . Revista Turca de Matemáticas . 25 : 43–59. MR  1829078. Archivado desde el original (PDF) el 2022-02-06.