Método Lax-Wendroff

El método Lax-Wendroff , llamado así por Peter Lax y Burton Wendroff , ^[1] es un método numérico para la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , basado en diferencias finitas . Tiene una precisión de segundo orden tanto en el espacio como en el tiempo. Este método es un ejemplo de integración temporal explícita donde la función que define la ecuación gobernante se evalúa en el momento actual.

Definición

Supongamos que tenemos una ecuación de la siguiente forma: donde x y t son variables independientes y se da el estado inicial, u ( x , 0) . $${\displaystyle {\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u(x,t))}{\partial x}}=0}$$

Caso lineal

En el caso lineal, donde f ( u ) = Au , y A es una constante, ^[2] Aquí se refiere a la dimensión y se refiere a la dimensión. Este esquema lineal se puede extender al caso no lineal general de diferentes maneras. Una de ellas es dejando $${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}A\left[u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}A^{2}\left[u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right].}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle A(u)=f'(u)={\frac {\partial f}{\partial u}}}$$

Caso no lineal

La forma conservativa de Lax-Wendroff para una ecuación no lineal general es entonces: donde es la matriz jacobiana evaluada en . $${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left[A_{i+1/2}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})\right)-A_{i-1/2}\left(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right)\right].}$$ ${\displaystyle A_{i\pm 1/2}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i\pm 1}^{n})}$

Métodos libres jacobianos

Para evitar la evaluación jacobiana, utilice un procedimiento de dos pasos.

Método Richtmyer

Lo que sigue es el método Lax-Wendroff de dos pasos de Richtmyer. El primer paso del método Lax-Wendroff de dos pasos de Richtmyer calcula valores para f ( u ( x , t )) en pasos de medio tiempo, t _{n + 1/2} y puntos de la cuadrícula a la mitad, x _{i + 1/2} . En el segundo paso, se calculan los valores en t _{n + 1} utilizando los datos para t _n y t _{n + 1/2} .

Primeros pasos (Lax): $${\displaystyle u_{i+1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})),}$$ $${\displaystyle u_{i-1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$$

Segundo paso: $${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left[f(u_{i+1/2}^{n+1/2})-f(u_{i-1/2}^{n+1/2})\right].}$$

Método MacCormack

MacCormack propuso otro método de este mismo tipo. El método de MacCormack utiliza primero la diferenciación hacia delante y luego la diferenciación hacia atrás:

Primer paso: Segundo paso: $${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})).}$$ $${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i}^{*})-f(u_{i-1}^{*})\right].}$$

Alternativamente, Primer paso: Segundo paso: $${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$$ $${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{*})-f(u_{i}^{*})\right].}$$

Referencias

1. PD Lax; B. Wendroff (1960). «Sistemas de leyes de conservación» (PDF) . Commun. Pure Appl. Math . 13 (2): 217–237. doi :10.1002/cpa.3160130205. Archivado desde el original el 25 de septiembre de 2017.
2. LeVeque, Randall J. (1992). Métodos numéricos para leyes de conservación (PDF) . Boston: Birkhäuser. pág. 125. ISBN. 0-8176-2723-5.

• Michael J. Thompson, Introducción a la dinámica de fluidos astrofísicos , Imperial College Press, Londres, 2006.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 20.1. Problemas de valor inicial conservativo de flujo". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. pág. 1040. ISBN 978-0-521-88068-8.